Volume van kubussen en balken

Een baksteen neemt ruimte in op je bureau. Een kussen ook. Volume vertelt je hoeveel ruimte een voorwerp inneemt. Bij een holle doos kun je ook de ruimte binnenin meten.

Lengte, oppervlakte en volume

Deze metingen beantwoorden verschillende vragen. Denk aan een schoenendoos.

Een doos heeft lengte, breedte en hoogte. Het volume hangt af van alle drie de richtingen. In een hoge, smalle doos kan minder passen dan in een lage, brede doos.

Vergelijk door te vullen

Je kunt met droge rijst vergelijken hoeveel er in twee bakken past. Vul bak A tot de rand. Giet alle rijst in de lege bak B.

• Als de rijst over de rand van B valt, past er meer in A.
• Als er in B nog ruimte over is, past er meer in B.
• Als B precies vol raakt, past er evenveel in beide bakken.

Met de rijst kun je de ruimten binnenin vergelijken, ook als de bakken er verschillend uitzien.

Verplaats stukken zonder het volume te veranderen

Bouw een toren met 12 gelijke kubussen. Bouw van diezelfde kubussen nu een platte muur. Je hebt de vorm veranderd, maar je hebt nog steeds 12 kubussen. Het volume blijft gelijk. Ook als je een bal klei platdrukt, blijft het volume gelijk zolang je geen klei toevoegt of weghaalt.

De hoogte alleen kan je op het verkeerde been zetten. Een toren van 1 kubus breed, 1 kubus diep en 10 kubussen hoog bestaat uit 10 kubussen. Een lager blok van 3 kubussen lang, 2 kubussen breed en 2 kubussen hoog bestaat uit:

Het lagere blok heeft meer volume omdat het verder in de breedte en diepte uitsteekt.

Benoem de doosvormen

Een balk heeft zes rechthoekige vlakken. Tegenoverliggende vlakken zijn gelijk. Een balk heeft 12 ribben en 8 hoeken, die hoekpunten heten. Een schoenendoos is een bekend voorbeeld. Je kunt ook de Britse naam cuboid tegenkomen.

Een kubus is een bijzondere balk. De zes vlakken zijn vierkanten en alle ribben zijn even lang.

Volume en gewicht vertellen je verschillende dingen. Een groot kussen kan meer ruimte innemen dan een baksteen. Toch kan de baksteen zwaarder zijn.

Je kunt volume meten door een figuur met kubussen te vullen. De kubussen moeten allemaal even groot zijn. Dan telt elke kubus als evenveel ruimte.

Maak kennis met de eenheidskubus

Een eenheidskubus heeft ribben die elk 1 eenheid lang zijn. Het volume is 1 kubieke eenheid. Als elke ribbe 1 centimeter lang is, is het volume 1 kubieke centimeter, geschreven als 1 cm³.

Pak 18 centimeterkubussen zonder lege ruimten in een doos. Als ze de doos precies vullen, is het binnenvolume 18 cm³.

Laat geen tussenruimten of overlap toe

Zet kubussen met hun vlakken tegen elkaar. Een tussenruimte is ruimte die je niet hebt meegeteld. Bij overlap zou je een deel van de ruimte twee keer tellen.

Tussen knikkers blijven ruimten over, ook als ze elkaar raken. Als je knikkers telt, weet je hoeveel knikkers erin passen. Je meet daarmee niet precies alle ruimte in de doos.

Tel hele kubussen, ook de verborgen kubussen

Een tekening laat alleen de buitenkant van een model zien. In een volledig blok zitten ook kubussen aan de achterkant, onderaan en in het midden. Je kunt het model bouwen of je voorstellen dat je telkens één laag weghaalt.

Let goed op de kleine vierkanten op de vlakken. Van één kubus kun je in een tekening meerdere vlakken zien. Die vlakken horen nog steeds bij maar één kubus.

Een volledig blok van bijvoorbeeld 2 kubussen lang, 2 kubussen breed en 2 kubussen hoog heeft 8 kubussen. Een tekening kan drie vlakken met elk 4 vierkanten laten zien. Als je die 12 vierkanten telt, tel je vlakken en niet de 8 kubussen.

Een trap is anders dan een volle doos. Als de onderste rij 3 kubussen heeft, de volgende rij 2 en de bovenste rij 1, tel je de rijen op:

De trap heeft een volume van 6 kubieke eenheden. Vul de lege treden niet in gedachten op.

Houd de maateenheid gelijk

Voor dezelfde doos heb je meer kleine dan grote kubussen nodig. Een kubus met ribben die twee keer zo lang zijn, neemt de plaats in van 8 kleinere kubussen:

In een ruimte die door 24 kleine kubussen wordt gevuld, passen dus 3 van die grote kubussen. De ruimte is niet kleiner geworden. Alleen de stukken waarmee je meet zijn veranderd. Gebruik kubussen van dezelfde grootte als je aantallen kubussen vergelijkt.

Kubussen één voor één tellen kan even duren. Bij een balk kan het sneller: elke volledige laag heeft evenveel kubussen.

Begin met één laag

Stel je een doos voor met 5 kubussen in de lengte. In de breedte zijn er 3 rijen. Elke rij bevat 5 kubussen, dus één laag bevat:

Dit lijkt op het berekenen van de oppervlakte van een rechthoek. De bodem beslaat 15 vierkante eenheden. Op elk vierkant staat één kubus, dus die laag bevat 15 kubussen.

Stapel de lagen

De doos is 4 kubussen hoog. Dat betekent dat er 4 gelijke lagen zijn. Tel 15, 30, 45, 60, of vermenigvuldig:

Het volume is 60 kubieke eenheden. Met de eerste vermenigvuldiging telde je één laag. Met de tweede telde je hoe vaak die laag voorkomt.

Draai de doos

Je kunt hetzelfde blok vanaf een andere kant tellen. Zet het zo neer dat de lagen 3 bij 4 kubussen zijn. Nu heeft elke laag 12 kubussen en zijn er 5 lagen:

Als je een blok draait, kijk je er anders tegenaan, maar de kubussen erin veranderen niet.

Gebruik aanwijzingen uit een gedeeltelijk gevulde doos

Stel dat er 6 kubussen in de lengte van een doos passen. In de breedte passen twee rijen en op elkaar passen 3 lagen. Je hoeft niet elke plaats te vullen om het volume van de volle doos te berekenen.

In één laag passen:

In drie lagen passen:

Als je 6, 2 en 3 optelt, tel je alleen de aantallen langs de ribben op. Je mist dan bijna alle kubussen binnenin.

Maak een schatting

Bij een schatting gebruik je getallen die dichtbij liggen en makkelijk rekenen als je niet precies kunt tellen. In de lengte van een doos passen ongeveer 10 suikerklontjes. Je schat dat er ongeveer 6 rijen en 4 lagen in passen.

In de doos passen ongeveer 240 suikerklontjes. Omdat je de aantallen rijen en lagen hebt geschat, zeg je “ongeveer” bij je antwoord.

Je hoeft niet elke kubus in een balk te tekenen. Meet de drie ribben die bij één hoekpunt samenkomen. Noem ze lengte, breedte en hoogte.

Schrijf de volumeformule op

Gebruik:

Hier betekent $V$ volume, $l$ lengte, $w$ breedte en $h$ hoogte. Bij ribbelengten in hele eenheden tel je met lengte maal breedte één laag eenheidskubussen. Met de hoogte tel je de lagen.

Een doos is 8 cm lang, 5 cm breed en 3 cm hoog. Bereken eerst één laag:

Tel dan alle 3 lagen:

Het volume is 120 cm³. Als je alleen 8 en 5 vermenigvuldigt, krijg je de oppervlakte van de bodem. Als je alle drie de lengten optelt, krijg je 16 cm, een totale lengte. Geen van beide geeft het volume van de doos.

Kies een makkelijke volgorde

Je kunt de drie getallen in elke volgorde vermenigvuldigen. Neem bij een doos met ribben van 5 cm, 7 cm en 4 cm eerst 5 en 4 samen:

Het volume is 140 cm³. Als je deze doos op zijn kant zet, verandert welke ribbe je de hoogte noemt. Het product verandert niet.

Gebruik gelijke ribben voor een kubus

Alle ribben van een kubus hebben dezelfde lengte, die we $s$ noemen. De formule is:

Een kubus met ribben van 4 cm heeft een volume van:

Dat is 64 cm³. De kleine 3 betekent “gebruik de ribbelengte drie keer als factor”. Het betekent niet dat je de ribbelengte met 3 vermenigvuldigt.

Maak eerst de lengte-eenheden gelijk

Een doos meet 1 dm bij 6 cm bij 4 cm. Reken 1 dm om naar 10 cm voordat je vermenigvuldigt:

Het volume is 240 cm³. Als je 1, 6 en 4 samen zou gebruiken, zou je decimeters en centimeters door elkaar gebruiken.

Wat als een ribbelengte een kommagetal is?

Een doos meet 2,5 cm bij 4 cm bij 3 cm:

Het volume is 30 cm³. Hele centimeterkubussen passen niet precies langs de ribbe van 2,5 cm. Maar kubussen met ribben van een halve centimeter kunnen de ruimte wel vullen: 5 in de lengte, 8 in de breedte en 6 in de hoogte vormen samen 240 kleine kubussen. Acht kleine kubussen vullen 1 cm³, dus 240 kleine kubussen vullen 30 cm³. De kleinere kubussen laten zien waarom de formule nog steeds werkt.

Soms staat de oppervlakte van het onderste vlak al in de opgave. Je kunt die oppervlakte meteen gebruiken. Je hoeft de lengte en breedte niet apart te berekenen.

Een tweede vorm van de formule

Noem de oppervlakte van het grondvlak $B$. Dan geldt:

Bij een rechthoekig grondvlak is $B=l\times w$. Dit is dus dezelfde formule met drie ribbelengten, waarbij de eerste vermenigvuldiging al is gedaan.

Stel je bij ribbelengten in hele eenheden voor dat er op elk eenheidsvierkant van het grondvlak een kubus staat. Op een grondvlak van 24 cm² passen 24 centimeterkubussen in één laag. Bij een hoogte van 5 cm krijg je 5 van zulke lagen:

Het volume van de doos is 120 cm³. De formule met de oppervlakte van het grondvlak werkt ook bij afmetingen met kommagetallen.

Kies een vlak en de bijbehorende hoogte

Elk vlak van een balk kan het grondvlak zijn. De hoogte moet recht vanuit dat vlak lopen, onder een rechte hoek. Het is de derde ribbe, niet een ribbe die je al voor de oppervlakte van het grondvlak hebt gebruikt.

Neem een doos van 8 cm bij 5 cm bij 3 cm. De mogelijke grondvlakken geven deze combinaties:

Gebruik bij het grondvlak van 8 cm bij 5 cm de 3 cm als hoogte. Als je opnieuw 5 cm zou gebruiken, tel je één richting twee keer en laat je een andere weg.

Let op de eenheden

De oppervlakte van het grondvlak staat in vierkante eenheden. De hoogte staat in lengte-eenheden. Hun product staat in kubieke eenheden. Een grondvlak van 24 cm² vermenigvuldigd met een hoogte van 5 cm geeft 120 cm³, geen 120 cm².

Dezelfde aanpak werkt met centimeters. De bodem van een aquarium heeft een oppervlakte van 600 cm². Het water is 10 cm diep:

Het volume van het water is 6.000 cm³. Hier is de hoogte de waterdiepte, omdat je het water in het aquarium meet.

Een getal dat een volume aangeeft, heeft een eenheid nodig. “20” alleen vertelt je niet of je een heel kleine of een grote ruimte bedoelt. Stel je de kubus voor die bij de eenheid hoort.

Stel je de eenheid voor

Een kubieke centimeter, of cm³, is het volume van een kubus met ribben van 1 cm. De kleine eenhedenkubus in de meeste sets met tientallig materiaal heeft deze grootte. Kleine dozen kun je in cm³ meten.

Een kubieke meter, of m³, is het volume van een kubus met ribben van 1 m. Stel je een grote doos voor, 1 meter lang, breed en hoog. Gebruik m³ voor grote ruimten, zoals kamers of zwembaden.

De kleine 3 bovenaan vertelt je dat de eenheid ruimte in drie richtingen meet. Lees cm³ als “kubieke centimeter” en m³ als “kubieke meter”. Lees de kleine 3 niet als “keer 3”.

Kies uit metrieke eenheden

Een kubieke centimeter, geschreven als cm³, hoort bij een kubus met ribben van 1 centimeter. Een kubieke decimeter, dm³, hoort bij een kubus met ribben van 1 decimeter. Een kubieke meter, m³, hoort bij een kubus met ribben van 1 meter.

Gebruik cm³ voor een kleine doos. De ruimte in een koelkast kan in dm³ worden aangegeven. Tuinaarde en bodembedekking kunnen in m³ worden verkocht.

Heel kleine en heel grote ruimten

Een kubieke millimeter, mm³, hoort bij een kubus met ribben van 1 mm. Je kunt de eenheid gebruiken voor heel kleine volumes. Een kubieke kilometer, km³, hoort bij een kubus met ribben van 1 km. Je kunt de eenheid gebruiken voor enorme volumes, zoals het water in een groot meer.

Kies een eenheid waarmee je je de grootte makkelijk kunt voorstellen. Een kamer meten in cm³ kan, maar het geeft een heel groot getal. Kubieke meters zijn makkelijker om mee te werken.

Kies de eenheid die past bij wat je meet

Het volume van een doos kan niet 120 cm² zijn. Dat symbool hoort bij een vlakke oppervlakte.

Schat met een bekende kubus

Een klaslokaal van ongeveer 10 m lang, 8 m breed en 3 m hoog heeft een volume van:

Dat is ongeveer 240 m³. Stel je voor dat 240 kubussen met ribben van 1 m het lokaal vullen. Dit beeld helpt je beoordelen of een antwoord over volume kan kloppen.

Een doos houdt hetzelfde volume als je de eenheid verandert. Het getal verandert omdat je kubussen van een andere grootte telt.

Reken alle drie de richtingen om

Je weet dat 1 m gelijk is aan 100 cm. Bij een kubieke meter moet je drie ribbelengten omrekenen. In centimeters is de eenheidskubus 100 cm lang, 100 cm breed en 100 cm hoog:

Dus 1 m³ = 1.000.000 cm³. Als je alleen 100 gebruikt, reken je maar één richting om. Met 10.000 reken je twee richtingen om. Dat is de factor voor vierkante eenheden. Voor volume heb je alle drie de richtingen nodig.

Bepaal andere omrekenfactoren voor kubieke eenheden

Elke rij begint met één grote kubus. Tel hoeveel kleinere kubussen die vullen.

Bepaal of je moet vermenigvuldigen of delen

Als je naar kleinere kubussen omrekent, heb je er meer nodig. Vermenigvuldig met de omrekenfactor voor kubieke eenheden:

Dus 3 m³ is 3.000.000 cm³. Ook is 2 m³ gelijk aan 2.000 dm³, omdat elke kubieke meter 1.000 kubieke decimeter bevat.

Als je naar grotere kubussen omrekent, deel je:

Dus 2.000 cm³ is 2 dm³. Op dezelfde manier is 5.000.000 cm³ gelijk aan 5 m³.

Kies een handige aanpak

Bij een doos van 3 dm bij 2 dm bij 1 dm geeft het vermenigvuldigen van de ribbelengten 6 dm³. Reken dit volume om door 6 met 1.000 te vermenigvuldigen. Je krijgt dan 6.000 cm³.

Je kunt ook eerst de ribbelengten omrekenen: 30 cm, 20 cm en 10 cm. Dan geldt:

Beide manieren beschrijven dezelfde doos. Als je bij het omrekenen naar een kleinere eenheid een kleiner getal krijgt, controleer dan of je misschien per ongeluk hebt gedeeld.

Een voorwerp waarin je iets kunt bewaren, heeft wanden en een lege ruimte binnenin. Inhoud betekent hoeveel erin past. Het is het volume van die ruimte binnenin.

Ontdek het verband tussen kubieke centimeters en milliliters

Eén milliliter neemt precies één kubieke centimeter in:

In een binnenvolume van 250 cm³ past dus 250 mL. Beide eenheden beschrijven een hoeveelheid ruimte. Je kunt liters gebruiken voor rijst of zand en kubieke meters voor water.

Een liter is 1.000 mL. Stel je een kubus voor met binnenmaten van 10 cm langs elke ribbe:

Het binnenvolume is 1.000 cm³, dus de inhoud is precies 1 L. In een grote waterfles past misschien 1 L. Op een theelepel past ongeveer 5 mL.

Een kubieke meter is veel groter. Die bevat 1.000.000 cm³, oftewel 1.000.000 mL. Delen door 1.000 geeft 1.000 L.

Meet de binnenkant

Een aquarium meet aan de binnenkant 50 cm bij 30 cm bij 40 cm. De inhoud is:

Er past 60.000 cm³ in, oftewel 60.000 mL. Reken milliliters om naar liters:

Er past 60 L in het aquarium als het tot die hoogte gevuld is.

De buitenmaten zijn inclusief de wanden. Een gesloten holle kubus is aan de buitenkant 12 cm breed, met aan tegenoverliggende kanten wanden van 1 cm dik. De binnenmaat langs een ribbe is 10 cm. In de ruimte binnenin past 1 L, terwijl het volume van de hele kubus aan de buitenkant 1.728 cm³ is. Je kunt de wanden niet met water vullen.

Meet een steen met water

Met een maatbeker kun je het volume van een onregelmatig voorwerp bepalen. Kies een voorwerp dat helemaal zinkt en geen water opzuigt. Lees het watervolume af voordat je het voorwerp helemaal onder water legt en daarna nog eens. Het voorwerp verplaatst zijn eigen volume aan water.

Als de stand in de maatbeker van 400 mL naar 550 mL gaat:

Het volume van de steen is 150 cm³. De laatste aflezing bevat ook het water dat al in de maatbeker zat. Trek de eerste aflezing ervan af om de extra ruimte te bepalen die de steen inneemt.

Soms ken je het volume van een doos, maar niet alle ribbelengten. Denk na over hoeveel kubussen er in elke laag passen. Bepaal dan hoeveel lagen je nodig hebt.

Bereken een ontbrekende hoogte

Een doos heeft een volume van 72 cm³. De doos is 4 cm lang en 3 cm breed. Eén laag centimeterkubussen bevat:

Deel het totale aantal kubussen door het aantal kubussen in elke laag:

De hoogte is 6 cm. Controleer door de drie ribbelengten te vermenigvuldigen:

Voor elke ontbrekende ribbelengte deel je het volume door het product van de andere twee ribbelengten. Als de oppervlakte van het grondvlak al bekend is, gebruik je:

Een ruimte met een volume van 180 m³ en een vloeroppervlakte van 30 m² is 6 m hoog.

Bereken de ribbelengte van een kubus

Bij een kubus met een volume van 125 cm³ zoek je een ribbelengte die je drie keer als factor gebruikt. Probeer hele getallen die in de buurt liggen:

De ribbelengte is 5 cm. Door 125 door 3 te delen maak je de derde macht niet ongedaan. Je hebt drie gelijke factoren nodig met een product van 125.

Hetzelfde volume, een andere vorm

In dozen kan hetzelfde aantal eenheidskubussen passen terwijl ze er toch verschillend uitzien. Dit zijn alle verschillende afmetingen in hele centimeters voor dozen met een volume van 24 cm³, waarbij gedraaide versies als dezelfde doos tellen:

Bereken beide volumes om twee dozen te vergelijken. Een doos van 6 cm bij 5 cm bij 4 cm heeft een volume van 120 cm³. Een doos van 8 cm bij 4 cm bij 4 cm heeft een volume van 128 cm³. De eerste doos is breder, maar heeft daardoor niet een groter volume.

Verander één ribbelengte of alle drie

Begin met een doos van 2 cm bij 3 cm bij 4 cm. Het volume is 24 cm³. Verdubbel alleen de lengte:

Het volume verdubbelt. Verdubbel nu in plaats daarvan alle drie de oorspronkelijke ribbelengten:

Het volume is nu 8 keer zo groot. Er zijn twee keer zoveel kubussen in elk van de drie richtingen. Dat geeft een factor $2\times 2\times 2=8$.

Een ruimtelijke figuur met treden is niet altijd één balk. Je kunt het volume toch meten met kleinere balken. Teken een verdeellijn zodat de delen op elkaar aansluiten zonder te overlappen.

Zet de maten bij een blok met treden

Stel je een L-vormig blok voor dat 4 cm diep is. Van voren is het 10 cm breed. De onderste trede is over de volle breedte 3 cm hoog. Links staat een toren van 4 cm breed die tot een totale hoogte van 8 cm komt.

Verdeel de figuur langs de bovenkant van de onderste trede. De toren boven die trede is:

De toren is 5 cm hoog, geen 8 cm. De eerste 3 cm van de hoogte horen al bij het onderste deel.

Bereken elk deel en tel dan op

Het onderste deel meet 10 cm bij 3 cm bij 4 cm:

De toren bovenop meet 4 cm bij 5 cm bij 4 cm:

Tel de twee volumes op:

Het hele blok heeft een volume van 200 cm³.

Probeer een andere verdeling

Je kunt ook een linkerkolom met de volledige hoogte gebruiken. Die meet 4 cm bij 8 cm bij 4 cm en heeft een volume van 128 cm³. Het deel rechtsonder heeft een breedte van:

Het volume daarvan is $6\times 3\times 4=72$ cm³. Als je 128 en 72 optelt, krijg je opnieuw 200 cm³. De verdelingen verschillen, maar bij beide tel je elk deel één keer.

Trek een lege hoek af

Je kunt je ook de volledige balk om het blok heen voorstellen. Die balk meet 10 cm bij 8 cm bij 4 cm en heeft dus een volume van 320 cm³.

De lege hoek rechtsboven meet 6 cm bij 5 cm bij 4 cm. Het volume daarvan is 120 cm³. Trek dit af:

Tel de hoek niet twee keer

Als je het hele onderste deel en de linkerkolom met de volledige hoogte optelt, overlappen ze elkaar. Hun gemeenschappelijke hoekstuk meet 4 cm bij 3 cm bij 4 cm, oftewel 48 cm³.

In het foute totaal van 248 cm³ is dat hoekstuk twee keer meegeteld. Trek één keer 48 cm³ af om 200 cm³ te krijgen. Het is makkelijker om vóór het rekenen delen te tekenen die elkaar niet overlappen.

Begin met wat je moet berekenen. Is het een volume, een inhoud, een lengte of een aantal kubussen? Schets de doos en zet de maten erbij. Maak de lengte-eenheden gelijk voordat je een formule gebruikt.

Vul tot de juiste diepte

Een plantenbak is 8 dm lang en 3 dm breed. De aarde moet 1 dm diep zijn:

Je hebt 24 dm³ aarde nodig. Gebruik de diepte van het materiaal dat je meet.

Een bak heeft binnenmaten van 60 cm bij 40 cm bij 50 cm. Het water is maar 30 cm diep. Het volume van het water is:

Dat is 72.000 cm³, oftewel 72 L. Als je 50 cm zou gebruiken, zou je de inhoud van de volle bak berekenen: 120 L.

Bereken hoeveel het water stijgt

De oppervlakte van het grondvlak van de bak is 2.400 cm². Giet er 12 L water bij. Reken dat eerst om naar 12.000 cm³. Verdeel dat extra volume over het grondvlak:

Het water stijgt 5 cm, van 30 cm naar 35 cm. Er is nog ruimte onder de bovenrand van de bak op 50 cm.

Reken bij een bak van 1 m lang, 50 cm breed en 40 cm hoog eerst 1 m om naar 100 cm. De volledige inhoud is 200.000 cm³, oftewel 200 L.

Pak hele kubussen in

Hoeveel kubussen met ribben van 2 cm passen in een doos van 6 cm bij 4 cm bij 5 cm, in rechte rijen met de ribben van de kubussen langs de ribben van de doos?

• In de lengte passen 3 kubussen.
• In de breedte passen 2 kubussen.
• In de hoogte passen maar 2 hele kubussen. Er blijft 1 cm over.

Je kunt 12 kubussen inpakken. Als je het volume van de doos, 120 cm³, deelt door het volume van één kubus, 8 cm³, krijg je 15. Maar die extra kubussen passen niet in de ruimte van 1 cm bovenaan.

Als langs elke ribbe een heel aantal ribben van de kubussen past, werkt het delen van de volumes ook. In een doos van 6 cm bij 4 cm bij 6 cm passen 18 kubussen met ribben van 2 cm en blijft geen ruimte over.

Controleer de grootte van je antwoord

Schat bij een doos van 19 cm bij 11 cm bij 9 cm met 20, 10 en 9. Dat geeft ongeveer 1.800 cm³. Het exacte antwoord, 1.881 cm³, ligt daar dichtbij. Eindig met de gevraagde eenheid: voor een antwoord over een bak in liters moet je na het berekenen van cm³ nog een keer omrekenen.