Volgorde van bewerkingen en haakjes

Een berekening kan meer dan één bewerking hebben. Voordat je begint, moet je weten welke bewerking eerst komt.

Een getallenuitdrukking gebruikt getallen en bewerkingstekens om een hoeveelheid aan te geven. Bijvoorbeeld: $2+3\times 4$ is een uitdrukking. Er staat geen gelijkteken in. De uitdrukking uitrekenen betekent dat je de waarde ervan bepaalt.

Twee manieren om te beginnen

Kijk naar $2+3\times 4$. Als je eerst optelt, krijg je 5. Vermenigvuldig je dat met 4, dan krijg je 20. Als je eerst vermenigvuldigt, krijg je met drie keer vier samen 12. Tel je er 2 bij op, dan krijg je 14. Dat zijn verschillende antwoorden bij dezelfde uitdrukking.

De rekenvolgorde is de afspraak die dit oplost. Een bewerking is een rekenhandeling: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen. Iedereen die een uitdrukking leest, volgt dezelfde afgesproken volgorde. Zo is duidelijk wat de uitdrukking betekent.

Hier komt de vermenigvuldiging eerst:

Bekijk de gelijke groepen

Stel je twee losse fiches voor naast drie zakjes met elk vier fiches. In de zakjes zitten samen $3\times 4=12$ fiches. Met de twee losse fiches erbij zijn het er 14.

Als je eerst de 2 bij de 3 optelt, haal je losse fiches en zakjes door elkaar. Je krijgt dan vijf zakjes van vier. Dat is een andere verzameling. Door eerst te vermenigvuldigen houd je de drie groepjes van vier bij elkaar.

Een verhaal over geld werkt net zo. Je hebt € 2 en krijgt drie keer € 4 fooi. De fooien zijn samen € 12, dus nu heb je € 14. De € 2 waarmee je begon, tel je één keer erbij op.

Een naam om te onthouden

Misschien ken je Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord. De beginletters staan voor machtsverheffen, vermenigvuldigen, delen, worteltrekken, optellen en aftrekken. Het ezelsbruggetje noemt haakjes niet: die werk je eerst uit. Worteltrekken valt buiten deze les. Haakjes groeperen getallen. Een exponent kan een kwadraat aangeven, zoals $4^2$. Je komt ze allebei binnenkort tegen.

Lees de letters voor vermenigvuldigen en delen als één paar: VD, en die voor optellen en aftrekken als een tweede paar: OA. Vermenigvuldigen en delen hebben dezelfde voorrang. Optellen en aftrekken hebben ook dezelfde voorrang. Werk binnen elk paar van links naar rechts; de woordvolgorde geeft vermenigvuldigen geen voorrang op delen.

In buitenlandse boeken kom je misschien GEMDAS, BODMAS of BIDMAS tegen. Dit zijn andere ezelsbruggetjes voor dezelfde volgorde. Ze gebruiken andere woorden voor groeperen, maar de rekenregel blijft hetzelfde.

Bekijk de hele uitdrukking voordat je gaat rekenen. Misschien moet je eerst een vermenigvuldiging of deling aan de rechterkant uitrekenen.

Als er geen groeperingstekens of kwadraten zijn, vermenigvuldig en deel je vóór je optelt en aftrekt. Neem bij elke nieuwe stap alle getallen en tekens over die je nog niet hebt gebruikt.

Trek een heel product af

Reken $28-4\times 5$ uit. De hoeveelheid die je aftrekt, is vier groepjes van vijf. Bereken die hoeveelheid eerst.

Trek nu af:

Als je met $28-4$ begint, krijg je 24 en na het vermenigvuldigen 120. Dan behandel je het hele verschil als vijf groepen. Er staan geen haakjes die aangeven dat je dat moet doen.

Delen komt ook vroeg

Reken $14+18÷6$ uit. De deling geeft de hoeveelheid die je bij 14 optelt.

Als je eerst 14 en 18 optelt, wordt 32 de hoeveelheid die je deelt. In de uitdrukking wordt alleen 18 door 6 gedeeld.

Meer dan één deel

Een klas heeft vijf dienbladen met elk zes bekers en vier dienbladen met elk zeven bekers. Elke vermenigvuldiging geeft het totaal van één verzameling:

Bereken eerst het aantal bekers op de vijf dienbladen:

Bereken dan het aantal bekers op de vier dienbladen:

Je moet beide producten uitrekenen voordat je ze optelt. Je kunt op papier elk product licht onderstrepen om de twee hoeveelheden te zien.

Dezelfde aanpak werkt als één deel een deling is:

Als de meest linkse bewerking eerst komt

In $7\times 8-6$ staat de vermenigvuldiging al links. Je kunt daarmee beginnen en krijgt $56-6=50$. Je volgt dezelfde regel als hiervoor.

De plaats alleen bepaalt niet welke bewerking je eerst doet. In $9+6÷3$ staat de deling verder naar rechts, maar komt die eerst. Je krijgt $9+2=11$. Als je de uitdrukking gewoon van links naar rechts uitrekent, krijg je 5 en verander je de betekenis.

Vermenigvuldigen en delen hebben dezelfde voorrang. Als ze samen voorkomen, werk je dat deel van links naar rechts uit. Geen van beide bewerkingen komt altijd eerst.

Deel en vermenigvuldig daarna

Reken $36÷6\times 3$ uit. De deling staat links, dus begin je daarmee:

Als je eerst 6 met 3 vermenigvuldigt, krijg je $36÷18=2$. Dan maak je de vermenigvuldigingsfactor ten onrechte deel van het getal waardoor je deelt.

Je kunt de uitdrukking lezen als een opdracht: “Deel 36 door 6 en vermenigvuldig de uitkomst daarna met 3.” Houd elke bewerking bij het getal dat erbij hoort.

Trek af en tel daarna op

Optellen en aftrekken hebben ook dezelfde voorrang. In $23-8+4$ trek je eerst af, omdat die bewerking als eerste staat:

De 8 wordt eraf gehaald en de 4 wordt erbij opgeteld. Als je eerst 8 en 4 optelt, trek je beide hoeveelheden af. Dan krijg je 11 en verander je de opdracht.

Gebruik beide niveaus

Probeer $42÷7\times 3-5+2$. Werk eerst de deling en vermenigvuldiging van links naar rechts uit:

Werk nu de aftrekking en optelling van links naar rechts uit:

Het plusteken aan het einde komt niet vóór de aftrekking aan de beurt. De O van Op en de A van Antwoord horen bij hetzelfde niveau: optellen en aftrekken hebben dezelfde rang.

Makkelijker hoofdrekenen

Als een berekening alleen optellingen bevat, kun je een handige volgorde kiezen. Tel in $25+38+75$ eerst 25 en 75 op tot 100. Tel er dan 38 bij op en je krijgt 138.

Als de berekening alleen vermenigvuldigingen bevat, kun je ook een handige volgorde kiezen:

Als er ook aftrekkingen of delingen tussen staan, moet je beter opletten. Bij uitdrukkingen zoals de eerdere voorbeelden zorgt de aanpak van links naar rechts ervoor dat elke opdracht op haar plaats blijft.

Ronde haakjes zijn de gebogen tekens ( ). Ze houden een hoeveelheid bij elkaar en geven aan dat je eerst binnen die groep rekent.

Dezelfde getallen, andere opdrachten

Vergelijk $3+2\times 5$ en $(3+2)\times 5$. Zonder haakjes vermenigvuldig je eerst:

Met haakjes tel je eerst de gegroepeerde getallen op:

Door de haakjes wordt de hele som de hoeveelheid die je met 5 vermenigvuldigt.

Volg binnen de haakjes de gewone volgorde

Haakjes betekenen niet “tel eerst op”. Ze betekenen “reken eerst deze groep uit”. Binnen de groep komen vermenigvuldigen en delen nog steeds vóór optellen en aftrekken.

Begin bij $(5+3\times 4)-6$ met de vermenigvuldiging binnen de haakjes:

Reken die groep verder uit en trek dan af:

Als je eerst 5 en 3 optelt, houd je geen rekening met de vermenigvuldiging binnen de haakjes.

Nadat je de groep hebt uitgerekend

Reken $32-(3+2)\times 4$ uit. Vervang het deel tussen haakjes door de waarde ervan:

De vermenigvuldiging komt nog steeds vóór de aftrekking:

Ga niet meteen van links naar rechts rekenen zodra een groep verdwijnt.

Vermenigvuldig de hele hoeveelheid

Vier kinderen kiezen ieder een tussendoortje van € 3 en een drankje van € 2. Elk kind geeft $3+2=5$ euro uit. Het totaal is:

Als je $4\times 3+2$ schrijft, tel je vier tussendoortjes maar slechts één drankje. De haakjes houden de volledige aankoop van één kind bij elkaar.

Soms wordt een keerteken weggelaten: $4(3+2)$ betekent $4\times (3+2)$. Als je het teken schrijft, is de opdracht makkelijker te zien.

Er kunnen twee afzonderlijke groepen naast elkaar staan:

Reken beide groepen uit voordat je deelt. Haakjes rond een product dat toch al eerst komt, zoals in $6+(2\times 5)$, maken alleen duidelijk wat bij elkaar hoort. De waarde is hetzelfde als die van $6+2\times 5$.

Een groep kan binnen een andere groep staan. Dan heb je haakjes binnen haakjes. Begin bij de binnenste groep en werk naar buiten.

Je kunt ronde haakjes ( ), vierkante haakjes [ ] en accolades { } tegenkomen. Alle drie groeperen ze een hoeveelheid. Door de verschillende vormen zie je makkelijker welke openings- en sluitingstekens bij elkaar horen.

Werk groep voor groep naar buiten

Reken $3\times [14-(2+5)]$ uit. De som staat zowel binnen de ronde als binnen de vierkante haakjes. Dit is de eerste groep die je kunt uitrekenen.

Reken daarna de vierkante haakjes uit:

Begin niet met $3\times 14$. De vermenigvuldigingsfactor werkt op de hele hoeveelheid tussen de vierkante haakjes.

Drie lagen

Reken nu $\{50-[4\times (3+5)]\}÷3$ uit.

1. De binnenste som is $3+5=8$. Vervang die om $\{50-[4\times 8]\}÷3$ te krijgen.
2. Reken de vierkante haakjes uit: $4\times 8=32$. Je hebt nu $\{50-32\}÷3$.
3. Reken de accolades uit: $50-32=18$. Je hebt nu $18÷3$.
4. Deel om 6 te krijgen.

Elke groep verdwijnt zodra de inhoud één getal is geworden.

Houd binnen elke laag de volgorde aan

Vervang in $[24-3\times (2+4)]$ eerst de binnenste som:

Vermenigvuldig nu binnen de vierkante haakjes:

Als je daarna $24-3$ zou doen, kreeg je 21 en daarna 126. De buitenste groep bevat nog steeds meer dan één bewerking, dus komt de vermenigvuldiging eerst.

Zoek de paren bij elkaar

Bij elk openingsteken hoort een sluitingsteken met dezelfde vorm. Volg een paar van het openingsteken tot het bijbehorende sluitingsteken. Alles daartussen hoort bij die groep.

Soms zie je alleen ronde haakjes, zoals op veel rekenmachines:

De binnenste som geeft 7. De buitenste groep wordt $7\times 3=21$. Trek daarna 4 af en je krijgt 17. De plaats van een groep bepaalt wanneer je die kunt uitrekenen, ook als alle tekens dezelfde vorm hebben.

Als je haakjes toevoegt, kan dat veranderen wat een uitdrukking je laat doen. Probeer de nieuwe groepering en bereken de waarde om te zien of die werkt.

Verander een waarde

Zonder haakjes is $7+3\times 4$ gelijk aan 19. Als je de som groepeert, krijg je:

Als je het product groepeert, krijg je $7+(3\times 4)=19$. De waarde blijft gelijk, omdat de vermenigvuldiging toch al eerst kwam.

Stel dat je wilt dat $18-6÷3$ de waarde 4 heeft. Zonder haakjes is de waarde 16. Probeer de aftrekking te groeperen:

Je hebt de getallen en tekens in hun oorspronkelijke volgorde laten staan. Door de nieuwe haakjes komt de aftrekking vóór de deling.

Groepeer opnieuw om hoofdrekenen makkelijker te maken

Met de associatieve eigenschap kun je optellingen of vermenigvuldigingen anders groeperen zonder de uitkomst te veranderen:

Kies een groep die je makkelijk kunt uitrekenen. Deze regel geldt niet voor aftrekken of delen. Bijvoorbeeld: $(18-7)-3=8$, maar $18-(7-3)=14$.

Ook bij delen kan de uitkomst veranderen: $(32÷8)÷2=2$, maar $32÷(8÷2)=8$.

Vermenigvuldig elk deel

De distributieve eigenschap geeft een andere manier om een som te vermenigvuldigen:

Elk van de zeven groepjes bevat een tien en een vier. Je hebt van elk deel zeven nodig. Als je alleen de 10 vermenigvuldigt, krijg je $70+4=74$ en mis je zes keer vier.

Dit werkt ook bij aftrekken. Zie voor $6\times 99$ de 99 als $100-1$:

Verdeel een totaal in delen

Je kunt delen van een totaal door hetzelfde getal delen:

Je verdeelt alle 42 voorwerpen over drie groepen. Maar je kunt het getal waardoor je deelt niet op deze manier splitsen. In $30÷(3+2)$ deel je door 5 en krijg je 6. Als je 30 door 3 en door 2 deelt en daarna optelt, krijg je $10+15=25$.

Om een getal te kwadrateren, vermenigvuldig je het met zichzelf. Een kleine verhoogde 2 geeft aan dat je dit moet doen. Je leest $6^2$ als “zes in het kwadraat”.

De verhoogde 2 is een exponent. Die betekent niet “vermenigvuldig met 2”. Zes verdubbeld is 12, maar zes in het kwadraat is 36.

Stel je een vierkant voor

Stel je een vierkant voor dat bestaat uit zes rijen van zes eenheidsvierkanten. Het bevat 36 eenheidsvierkanten. Daarom heten getallen die je krijgt door hele getallen te kwadrateren kwadraten.

De kwadraten van één tot en met twaalf zijn:

Je kunt elk ervan opnieuw berekenen door de zijlengte met zichzelf te vermenigvuldigen.

Geef kwadraten hun plaats in de volgorde

Reken eerst groepen uit, dan kwadraten, dan vermenigvuldigingen en delingen en dan optellingen en aftrekkingen.

Kwadrateer bij $5+3^2\times 4$ eerst de 3:

Vermenigvuldig daarna en tel ten slotte op:

Kwadrateren komt ook vóór aftrekken: $14-3^2=14-9=5$.

Welke hoeveelheid wordt gekwadrateerd?

Een exponent werkt op het getal dat er direct voor staat. Na een sluitend haakje werkt hij op de hele groep.

Vergelijk $2\times 4^2$ met $(2\times 4{)}^2$. In de eerste uitdrukking kwadrateer je 4 tot 16 en vermenigvuldig je daarna met 2 om 32 te krijgen. In de tweede reken je de groep uit tot 8 en kwadrateer je daarna 8 om 64 te krijgen.

Bij een som is het net zo belangrijk om op te letten:

Als je de afzonderlijke getallen kwadrateert, krijg je $2^2+5^2=4+25=29$. Dat is een andere uitdrukking. Een kwadraat na een groep geldt voor de volledige waarde van die groep.

Gebruik kwadraten voor oppervlakte

Een vierkante mat heeft zijden van 5 meter lang. De oppervlakte is $5^2=25$ vierkante meter. Twee van zulke matten en een strook van 6 vierkante meter bedekken samen:

Het antwoord is 56 vierkante meter. De 2 telt de matten; de verhoogde 2 vertelt je hoe je de oppervlakte van elke mat berekent.

Een lange uitdrukking wordt makkelijker als je steeds één deel korter maakt. Neem al het andere precies over, inclusief tekens en groeperingstekens.

Werk in vier rondes: groepen, kwadraten, vermenigvuldigen en delen, en dan optellen en aftrekken. Bij de laatste twee paren werk je van links naar rechts.

Volg een volledige berekening

Reken $64-(2+4{)}^2+18÷3\times 2$ uit.

Reken eerst de groep uit:

Kwadrateer daarna de 6:

De deling komt hier vóór de vermenigvuldiging, omdat ze links staat:

Trek ten slotte af en tel op van links naar rechts:

Zie je hoe de 64 en het minteken op hun plaats bleven staan tot je ze nodig had? Elke regel geeft dezelfde waarde aan: 40.

Wat een gelijkteken zegt

Het teken $=$ betekent “heeft dezelfde waarde als”. Het betekent niet “en daarna deed ik dit”. Je mag stappen alleen verbinden als de hoeveelheden aan beide kanten gelijk zijn.

Bijvoorbeeld: $3\times 7+5=21+5=26$ is een juiste reeks. Elk deel heeft de waarde 26.

De reeks $3\times 7=21+5=26$ is fout. De eerste uitdrukking is gelijk aan 21, terwijl de volgende gelijk is aan 26. Dit is een onjuist doorgekoppeld gelijkteken. Laat de nog niet gebruikte $+5$ vanaf het begin staan, of schrijf afzonderlijke berekeningen met woorden ertussen.

Kommagetallen volgen dezelfde volgorde

Vermenigvuldig bij $\mathrm{1,2}+3\times \mathrm{0,2}$ eerst:

Een komma verandert de waarde van een getal, niet de plaats ervan in de volgorde.

Zoek een foutje

Als je eindantwoord niet lijkt te kloppen, vergelijk dan opeenvolgende regels. Controleer het deel dat je hebt uitgerekend en daarna de delen die je hebt overgenomen. Een vergeten getal, een veranderd teken of een ontbrekend haakje kan de hele uitdrukking veranderen. Laat een paar groeperingstekens staan totdat de inhoud één getal is geworden.

Rekenwoorden helpen je bewerkingstekens te kiezen. Een som is de uitkomst van optellen. Een verschil komt uit een aftrekking. Een product komt uit een vermenigvuldiging en een quotiënt uit een deling.

“Het product van 7 en 8” betekent $7\times 8$. “Het quotiënt van 45 en 5” betekent $45÷5$.

Let op het begingetal

De volgorde van de woorden kan verschillen van de volgorde van de getallen die je opschrijft. Bij “Trek 7 af van 19” begin je met 19 en haal je er 7 af:

“Zeven minder dan 19” betekent hetzelfde. Als je $7-19$ schrijft, draai je de handeling om. Het woord “van” wijst je hier op de hoeveelheid waarmee je begint.

Houd een uitkomst bij elkaar

Bij “Tel 6 en 9 op en vermenigvuldig daarna met 4” gebruik je de hele som in de volgende stap:

Door de haakjes komt de optelling eerst. Zonder haakjes wordt in $6+9\times 4$ alleen de 9 met 4 vermenigvuldigd.

“Vier keer de som van 6 en 9” beschrijft dezelfde berekening. “Drie keer het verschil van 16 en 5” wordt $3\times (16-5)$.

Een zin heeft niet altijd extra haakjes nodig. “Vermenigvuldig 7 met 6 en tel er daarna 4 bij op” is $7\times 6+4$. De vermenigvuldiging komt toch al eerst.

Bouw van binnen naar buiten

Schrijf bij een langere opdracht de eerste hoeveelheid op en bouw daaromheen verder. Probeer “Trek 3 af van 11, vermenigvuldig de uitkomst met 5 en tel er daarna 2 bij op.”

1. Begin met het verschil: $11-3$.
2. Vermenigvuldig die hele uitkomst: $(11-3)\times 5$.
3. Tel de laatste hoeveelheid erbij op: $(11-3)\times 5+2$.

Lees je uitdrukking terug om haar te controleren. Ze zegt dat je moet aftrekken, het verschil moet vermenigvuldigen en daarna moet optellen. De waarde is $8\times 5+2=42$.

Lees twee vergelijkbare uitdrukkingen

$6\times (14-4)$ betekent “zes keer het verschil van 14 en 4”. Je trekt eerst af.

$6\times 14-4$ betekent “vermenigvuldig 6 met 14 en trek er daarna 4 van af”. Hier wordt alleen 4 van het product afgetrokken. De haakjes laten zien of de aftrekking binnen de hoeveelheid hoort die wordt vermenigvuldigd.

Je kunt iets over een uitdrukking te weten komen zonder de exacte waarde te bepalen. Zoek de laatste bewerking. Die laat zien hoe de belangrijkste hoeveelheden worden samengevoegd.

Eén hele hoeveelheid vermenigvuldigd

In $3\times (18932+921)$ is de som één gegroepeerde hoeveelheid. De laatste bewerking vermenigvuldigt die hele hoeveelheid met 3. De uitdrukking is dus drie keer zo groot als $18932+921$. Je hoeft de som niet uit te rekenen om dat te weten.

Stel je drie dezelfde dozen voor. In elke doos zit dezelfde gecombineerde verzameling. In drie dozen zit drie keer de inhoud van één doos, hoeveel dat ook is.

Een som of een product?

In $8+5\times 7$ komt de vermenigvuldiging eerst en de optelling als laatste. Je kunt dit “8 plus het product van 5 en 7” noemen. De hele uitdrukking is een som.

In $(8+5)\times 7$ gebeurt de optelling binnen de groep en komt de vermenigvuldiging als laatste. De uitdrukking is een product: zeven keer de som van 8 en 5.

Als je de tweede uitdrukking “8 plus vijf keer zeven” zou noemen, liet je de 8 buiten de vermenigvuldiging. Dat beschrijft juist de eerste uitdrukking.

Welke hoeveelheid wordt gehalveerd?

$(1400+260)÷2$ betekent de helft van de gecombineerde hoeveelheid. Beide delen staan binnen de groep.

$1400+260÷2$ betekent 1.400 plus de helft van 260. Alleen 260 wordt door 2 gedeeld. In de eerste uitdrukking deel je het hele totaal; in de tweede deel je maar één deel.

Vergelijk zonder totalen te berekenen

Vergelijk $4\times (300+17)$ met $4\times (300+71)$. In beide gevallen wordt een som met 4 vermenigvuldigd. De tweede som is groter omdat 71 groter is dan 17. Als je beide positieve sommen met 4 vermenigvuldigt, blijft de tweede uitkomst groter.

De structuur kan ook laten zien dat uitdrukkingen gelijk zijn:

Twaalf groepjes van 19 en nog één groepje vormen samen dertien groepjes. Je kunt de gelijkheid uitleggen zonder een van de producten uit te rekenen.

Door de structuur te lezen kun je ook de grootte controleren. De som $18932+921$ ligt dicht bij 20.000. Drie keer zoveel ligt dicht bij 60.000. Een veel kleinere uitkomst op de rekenmachine is een reden om de invoer te controleren.

Zoek eerst wat de vraag van je vraagt. Bepaal daarna wat elke hoeveelheid en handeling betekent. Schrijf één uitdrukking waarvan de stappen bij het verhaal passen.

Pakjes en dan een cadeau

Nora heeft vier pakjes met elk negen stickers. Ze geeft zeven stickers weg. Hoeveel houdt ze er over?

De vier pakjes bevatten $4\times 9$ stickers. Zeven weggeven betekent dat je 7 aftrekt:

Nora heeft 29 stickers over. De zin vertelt je wat het getal 29 telt.

Trek de totale kosten af

Jules koopt drie kaarten van € 4 per stuk en één postzegel van € 2. Jules betaalt met € 20. Hoeveel wisselgeld krijgt Jules terug?

De kosten in euro zijn $3\times 4+2$. Zet die hele hoeveelheid tussen haakjes voordat je haar van de betaling aftrekt:

Vermenigvuldig en tel op binnen de groep:

Jules krijgt € 6 wisselgeld. Zonder de groep zou je bij $20-3\times 4+2$ de prijs van de postzegel weer optellen. Je zou € 10 krijgen, terwijl de postzegel geld kost.

Verdeel het hele totaal

Vijf kinderen verdelen drie dienbladen met elk tien crackers en vijf losse crackers. Het totaal is $3\times 10+5$. Elke cracker wordt verdeeld, dus zet je dat totaal tussen haakjes:

Elk kind krijgt zeven crackers. Controleer door terug te rekenen: vijf kinderen met elk zeven crackers hebben er samen 35.

Je kunt ook elk deel afzonderlijk verdelen: $3\times 10÷5+5÷5=6+1=7$. Beide uitdrukkingen passen bij hetzelfde verhaal over verdelen.

Vergelijk twee verzamelingen

Het ene team heeft zes dozen met elk 18 blikjes. Een ander team heeft vijf dozen met elk 23 blikjes. Het tweede team heeft er meer. Het aantal extra blikjes is:

De vermenigvuldigingen komen toch al vóór de aftrekking. Er zijn geen extra haakjes nodig.

Neem een oppervlakte mee

Een vierkant vloerkleed heeft zijden van 3 meter lang. Een rechthoekig vloerkleed is 3 meter bij 2 meter. Hun totale oppervlakte is:

Samen bedekken ze 15 vierkante meter. Lees je uitdrukking terug bij het verhaal: één deel bepaalt de oppervlakte van elk vloerkleed en de laatste optelling voegt die samen.

Niet alle rekenmachines gaan op dezelfde manier om met verschillende bewerkingen. Test die van jou voordat je er een hele uitdrukking mee controleert.

Probeer een korte test

Voer $2+3\times 4$ in en druk op het gelijkteken. Een rekenmachine die de rekenvolgorde volgt, geeft 14. Een rekenmachine die na elke toetsdruk direct rekent, geeft 20: die telt 2 en 3 op voordat hij met 4 vermenigvuldigt.

Een wetenschappelijke rekenmachine volgt de rekenvolgorde. Veel eenvoudige rekenmachines werken stap voor stap. Een rekenmachineapp kan op beide manieren werken, dus probeer de test daar ook.

Reken op een rekenmachine die stap voor stap werkt, de bewerkingen die eerst komen afzonderlijk uit. Bereken bij $9+4\times 6$ eerst $4\times 6=24$. Schrijf 24 op en bereken daarna $9+24=33$.

Voer elke groep in

Voer op een rekenmachine met haakjes de groepen in die in de uitdrukking staan. Gebruik ook voor vierkante haakjes en accolades ronde haakjes.

Voor $3\times [14-(2+5)]$ moet de invoer op het scherm $3\times (14-(2+5))$ zijn. De binnenste som staat nog steeds binnen de buitenste aftrekking. De waarde is 21.

Zorg dat bij elk openingshaakje een sluitend haakje hoort. Sommige rekenmachines voegen een ontbrekend sluitend haakje aan het einde toe. Daardoor kan een groep op de verkeerde plaats worden afgesloten. Controleer het scherm voordat je op het gelijkteken drukt.

Een breukstreep groepeert twee hoeveelheden

Een breukstreep groepeert alles wat erboven en alles wat eronder staat. Bijvoorbeeld:

Om dit met een deelteken in te voeren, schrijf je:

Als je $25+11÷9-3$ invoert, wordt alleen 11 door 9 gedeeld. Je deelt dan niet de volledige bovenkant door de volledige onderkant.

Controleer wat wordt gekwadrateerd

De uitdrukkingen $3+4^2$ en $(3+4{)}^2$ hebben de waarden 19 en 49. In de eerste wordt alleen 4 gekwadrateerd. In de tweede wordt de hele som gekwadrateerd.

Gebruik de kwadraattoets en bekijk bij welke hoeveelheid op het scherm het kwadraat staat. Om een hele som te kwadrateren, voer je ook de haakjes in. Je kunt ook eerst de som berekenen en die uitkomst daarna met zichzelf vermenigvuldigen. Voor de tweede uitdrukking bereken je eerst 7 en daarna $7\times 7=49$.

Vergelijk het scherm met je geschreven uitdrukking voordat je een uitkomst overneemt: getallen, tekens, groepen en kwadraten moeten allemaal overeenkomen.

Een schatting is een snel bepaalde waarde die dicht bij het exacte antwoord ligt. Gebruik handige getallen in de buurt om de grootte van een uitkomst te beoordelen.

Houd bij het schatten dezelfde bewerkingen en groepen aan. Door afronden mogen de getallen veranderen, maar niet de betekenis van de berekening.

Schat voordat je rekent

Gebruik voor $39\times 22+198÷2$ de getallen 40, 20 en 200:

Vermenigvuldig en deel voordat je optelt:

De exacte uitkomst is $858+99=957$. Die ligt redelijk dicht bij 900. Een uitkomst van 9.570 zou kunnen wijzen op een extra cijfer of een verkeerd geplaatste komma.

Verander de volgorde niet

Schat $298+19\times 4$ met $300+20\times 4=380$. Als je de afgeronde optelling tussen haakjes zou zetten, kreeg je $(300+20)\times 4=1280$. Bij die schatting wordt ook de 300 vermenigvuldigd, dus reken je een andere uitdrukking uit.

Het exacte antwoord is $298+76=374$, dicht bij 380.

Als antwoorden verschillen

Voer de uitdrukking nadat je met de hand hebt gerekend in op een rekenmachine die de volgorde van bewerkingen volgt. Als de antwoorden verschillen, voer je haar nog eens zorgvuldig in. Vergelijk daarna je geschreven stappen regel voor regel.

Een verkeerde waarde kan je op de fout wijzen. Bij $26-3\times 5$ krijg je 115 als je eerst aftrekt en daarna vermenigvuldigt: $23\times 5=115$. De juiste berekening is $26-15=11$.

Met een schatting ontdek je snel grote fouten. Een antwoord dat dichtbij ligt kan nog steeds een kleine fout bevatten, dus controleer ook de exacte berekening.

Controleer het verhaal door terug te rekenen

Stel dat boodschappen € 17 kosten en je € 25 betaalt. Je wisselgeld is € 8. Tel de kosten en het wisselgeld op:

Zo krijg je de betaling weer terug. Als je boodschappen contant betaalt, kan het wisselgeld niet hoger zijn dan het bedrag dat je hebt gegeven. Een antwoord van € 28 wisselgeld zou niet bij deze aankoop passen.

Als je eerlijk verdeelt, vermenigvuldig je het deel per persoon met het aantal mensen. Als zes vrienden elk acht kralen krijgen, hebben ze samen $6\times 8=48$ kralen. Vergelijk dat met het totaal waarmee je begon.