Wiskunde: Meetkundig Redeneren – Groep 8

Het coördinatenvlak is een krachtig hulpmiddel om wiskundige relaties te visualiseren. In groep 8 breid je je kennis uit van alleen het eerste kwadrant naar alle vier kwadranten, en leer je werken met breuken en decimalen als coördinaten.

Het coördinatenvlak bestaat uit twee loodrechte getallenlijn: de x-as (horizontaal) en de y-as (verticaal). Deze assen kruisen elkaar in de oorsprong (0, 0) en verdelen het vlak in vier kwadranten 📍:

• Kwadrant I: x > 0 en y > 0 (rechtsboven)
• Kwadrant II: x < 0 en y > 0 (linksboven)
• Kwadrant III: x < 0 en y < 0 (linksonder)
• Kwadrant IV: x > 0 en y < 0 (rechtsonder)

Elk punt wordt weergegeven als een geordend paar (x, y), waarbij de x-coördinaat de horizontale positie aangeeft en de y-coördinaat de verticale positie.

Rationale getallen zijn alle getallen die geschreven kunnen worden als een breuk $\frac{a}{b}$, waarbij $b \neq 0$. Dit omvat:

• Hele getallen: $-3, 0, 5$
• Breuken: $\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 2\frac{1}{3}$
• Decimalen: $0.25, -1.75, 3.8$

Bij het plotten van punten zoals $(\frac{3}{2}, -2.5)$ moet je:

1. De x-coördinaat $\frac{3}{2} = 1.5$ lokaliseren op de x-as
2. De y-coördinaat $-2.5$ lokaliseren op de y-as
3. Het snijpunt van deze waarden markeren

Een belangrijk concept is spiegeling over de assen. Twee punten zijn elkaars spiegelbeeld over:

• x-as: als ze tegengestelde y-coördinaten hebben, bijvoorbeeld $(3, 4)$ en $(3, -4)$
• y-as: als ze tegengestelde x-coördinaten hebben, bijvoorbeeld $(2, -1)$ en $(-2, -1)$

Bijzondere punten liggen op de assen zelf:

• x-as: alle punten van de vorm $(a, 0)$, bijvoorbeeld $(5, 0)$ of $(-3.5, 0)$
• y-as: alle punten van de vorm $(0, b)$, bijvoorbeeld $(0, -2)$ of $(0, \frac{4}{3})$
• Oorsprong: het punt $(0, 0)$ ligt op beide assen

Het coördinatenvlak wordt gebruikt in vele situaties:

• GPS-navigatie: Je locatie wordt bepaald door lengte- en breedtegraad (coördinaten)
• Grafische ontwerp: Elementen worden gepositioneerd met x,y-coördinaten
• Spelontwikkeling: Karakters en objecten hebben precieze posities
• Architectuur: Bouwtekeningen gebruiken coördinatensystemen

Wanneer je werkt met breuken zoals $\frac{3}{4}$:

1. Converteer naar decimaal: $\frac{3}{4} = 0.75$
2. Lokaliseer tussen de hele getallen (tussen 0 en 1)
3. Schat de positie: $0.75$ ligt drie kwart van de weg van 0 naar 1

Voor gemengde getallen zoals $2\frac{1}{3}$:

1. Start bij het hele getal (2)
2. Voeg het breukdeel toe: $\frac{1}{3} \approx 0.33$
3. Het punt ligt bij ongeveer $2.33$

Het berekenen van afstanden tussen punten op het coördinatenvlak is een fundamentele vaardigheid die je helpt bij het oplossen van vele geometrische problemen. In groep 8 leer je afstanden berekenen tussen punten die horizontaal of verticaal van elkaar liggen.

Afstand tussen twee punten is de kortste lijn die hen verbindt. Voor punten die dezelfde x-coördinaat of y-coördinaat delen, kunnen we de absolute waarde gebruiken om deze afstand te berekenen.

Voor punten zoals $A(2, 3)$ en $B(-4, 3)$ die dezelfde y-coördinaat hebben:

Afstand = $|x_2 - x_1| = |-4 - 2| = |-6| = 6$ eenheden

De absolute waarde zorgt ervoor dat we altijd een positieve afstand krijgen, ongeacht de volgorde van de punten.

Voor punten zoals $C(-1, 5)$ en $D(-1, -3)$ die dezelfde x-coördinaat hebben:

Afstand = $|y_2 - y_1| = |-3 - 5| = |-8| = 8$ eenheden

Bij rationale coördinaten wordt het proces hetzelfde toegepast. Voor punten $E(\frac{1}{2}, 4)$ en $F(\frac{7}{2}, 4)$:

Afstand = $|\frac{7}{2} - \frac{1}{2}| = |\frac{6}{2}| = |3| = 3$ eenheden

Voor decimalen zoals $G(2.5, -1.8)$ en $H(2.5, 3.7)$:

Afstand = $|3.7 - (-1.8)| = |3.7 + 1.8| = |5.5| = 5.5$ eenheden

Speciale aandacht is nodig wanneer punten over een as verspreid liggen:

Voor punten $I(-3, 2)$ en $J(4, 2)$ die de y-as kruisen:

• Afstand van $I$ naar y-as: $|-3 - 0| = 3$ eenheden
• Afstand van y-as naar $J$: $|4 - 0| = 4$ eenheden
• Totale afstand: $3 + 4 = 7$ eenheden

Of direct: $|4 - (-3)| = |4 + 3| = 7$ eenheden

Stadsplanning 🏙️: Als het gemeentehuis op $(0, 0)$ staat, de bibliotheek op $(-3, 0)$ en het park op $(5, 0)$, dan is de afstand tussen bibliotheek en park: $|5 - (-3)| = 8$ blokken

Speelplein ontwerp 🎪: Een rechthoekig speelplein heeft hoeken op $(-4, -2)$, $(6, -2)$, $(6, 3)$ en $(-4, 3)$. De breedte is: $|6 - (-4)| = 10$ meter

De hoogte is: $|3 - (-2)| = 5$ meter

1. Volgorde verwarring: $|a - b| = |b - a|$, dus de volgorde maakt niet uit
2. Tekens vergeten: Bij negatieve getallen, let goed op: $|(-4) - 2| = |-6| = 6$
3. Punten op assen: Een punt zoals $(0, 5)$ ligt op de y-as, niet in een kwadrant

Je kunt afstandsberekening visualiseren door te denken aan de coördinaten als punten op getallenlijnen:

• Voor horizontale afstand: leg een getallenlijn door beide punten evenwijdig aan de x-as
• Voor verticale afstand: leg een getallenlijn door beide punten evenwijdig aan de y-as

In echte contexten hebben coördinaten vaak schaaleenheden:

• Als 1 eenheid = 0.5 km, dan is een afstand van 8 eenheden = $8 \times 0.5 = 4$ km
• Als 1 eenheid = €10, dan vertegenwoordigt een afstand van 6 eenheden = €60 verschil

Coördinaatgeometrie brengt algebra en meetkunde samen, waardoor je complexe ruimtelijke problemen kunt oplossen met behulp van getallen en formules. Je leert hoe je rechthoeken analyseert, ontbrekende hoekpunten vindt, en echte situaties modelleert op het coördinatenvlak.

Een rechthoek op het coördinatenvlak heeft vier hoekpunten waarbij de zijden evenwijdig zijn aan de assen. Voor een rechthoek met hoekpunten $A(-2, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, -3)$ en $D(-2, -3)$:

Breedte = $|4 - (-2)| = 6$ eenheden
Hoogte = $|1 - (-3)| = 4$ eenheden

De omtrek is de som van alle zijdenlengtes:

$P = 2 \times \text{breedte} + 2 \times \text{hoogte}$ $P = 2 \times 6 + 2 \times 4 = 12 + 8 = 20$ eenheden

De oppervlakte van een rechthoek is:

$A = \text{breedte} \times \text{hoogte}$ $A = 6 \times 4 = 24$ vierkante eenheden

Als je drie hoekpunten van een rechthoek kent, kun je het vierde vinden. Gegeven $A(1, 3)$, $B(7, 3)$ en $C(7, -2)$, vind $D$:

1. Analyseer de patronen:

   • $A$ en $B$ hebben dezelfde y-coördinaat (3)
   • $B$ en $C$ hebben dezelfde x-coördinaat (7)

2. Vind het vierde punt:

   • $D$ moet dezelfde x-coördinaat hebben als $A$: $x = 1$
   • $D$ moet dezelfde y-coördinaat hebben als $C$: $y = -2$
   • Dus $D = (1, -2)$

Tuinontwerp 🌻: Een rechthoekige tuin heeft hoekpunten op $(-5, -3)$, $(10, -3)$, $(10, 4)$ en $(-5, 4)$. Als elke eenheid 2 meter voorstelt:

• Lengte: $|10 - (-5)| = 15$ eenheden = $15 \times 2 = 30$ meter
• Breedte: $|4 - (-3)| = 7$ eenheden = $7 \times 2 = 14$ meter
• Omtrek: $2 \times (30 + 14) = 88$ meter
• Oppervlakte: $30 \times 14 = 420$ vierkante meter

Kosten berekening: Als tuintegels €15 per vierkante meter kosten: $420 \times €15 = €6.300$

Soms moet je rechthoeken combineren of opsplitsen:

L-vormige kamer: Een kamer bestaat uit twee rechthoeken:

• Groot rechthoek: hoekpunten $(0, 0)$, $(8, 0)$, $(8, 5)$, $(0, 5)$
• Klein rechthoek: hoekpunten $(8, 0)$, $(12, 0)$, $(12, 2)$, $(8, 2)$

Totale oppervlakte:

• Groot: $8 \times 5 = 40$ m²
• Klein: $4 \times 2 = 8$ m²
• Totaal: $40 + 8 = 48$ m²

Als een rechthoek een lengte-breedte verhouding van 3:2 heeft en hoekpunt $A(0, 0)$ en $B(6, 0)$ gegeven zijn:

1. Lengte: $|6 - 0| = 6$ eenheden
2. Verhouding toepassen: Als lengte:breedte = 3:2, dan breedte = $\frac{2}{3} \times 6 = 4$ eenheden
3. Andere hoekpunten: $C(6, 4)$ en $D(0, 4)$ of $C(6, -4)$ en $D(0, -4)$

Maximale oppervlakte: Een boer heeft 40 meter hek en wil een rechthoekige wei maken tegen een bestaande muur. Als één zijde tegen de muur ligt:

• Hek nodig: $2b + l = 40$ (waarbij $b$ = breedte, $l$ = lengte)
• Oppervlakte: $A = l \times b$
• Substitutie: $l = 40 - 2b$, dus $A = b(40 - 2b) = 40b - 2b^2$

Voor maximum oppervlakte bij $b = 10$ meter en $l = 20$ meter.

In computergraphics worden objecten gepositioneerd met coördinaten:

• Scherm resolutie: 1920×1080 pixels vormt een coördinatensysteem
• Game development: Karakters bewegen tussen coördinatenpunten
• CAD-ontwerp: Precisie tot op de millimeter met decimale coördinaten

Een van de mooiste ontdekkingen in de meetkunde is hoe de oppervlakte van een driehoek precies de helft is van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte. Deze fundamentele relatie helpt je bij het oplossen van veel meetkundige problemen.

Beschouw een rechthoek met basis $b$ en hoogte $h$. De oppervlakte is: $A_{rechthoek} = b \times h$

Als je deze rechthoek diagonaal in tweeën snijdt, krijg je twee congruente (identieke) rechte driehoeken. Omdat beide driehoeken exact hetzelfde zijn, heeft elke driehoek de helft van de oppervlakte van de rechthoek:

$A_{driehoek} = \frac{1}{2} \times b \times h$

Of korter geschreven: $A = \frac{1}{2}bh$

De basis van een driehoek kan elke zijde zijn die je kiest. De hoogte (ook wel altitude genoemd) is altijd de loodrechte afstand van de basis naar het tegenoverliggende hoekpunt.

Belangrijk: De hoogte staat altijd loodrecht (90°) op de basis! 📐

Voor een rechte driehoek zijn de twee loodrechte zijden automatisch basis en hoogte. Voor andere driehoeken moet je soms de hoogte construeren.

Dakbedekking berekenen 🏠: Een driehoekige dakgevel heeft basis 8 meter en hoogte 3 meter. $A = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \text{ m}^2$

Als dakpannen €25 per m² kosten: $12 \times €25 = €300$

Zeilontwerp ⛵: Een driehoekig zeil heeft basis 4.5 meter en hoogte 6.2 meter. $A = \frac{1}{2} \times 4.5 \times 6.2 = \frac{1}{2} \times 27.9 = 13.95 \text{ m}^2$

Voor een driehoek met basis $\frac{3}{4}$ meter en hoogte $\frac{8}{5}$ meter:

$A = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{8}{5}$

$A = \frac{1 \times 3 \times 8}{2 \times 4 \times 5} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} = 0.6 \text{ m}^2$

Een driehoek kan verschillende basis-hoogte combinaties hebben:

Voor driehoek $ABC$ met zijden $a$, $b$, $c$:

• Als basis = zijde $a$, dan hoogte = loodrechte lijn naar hoekpunt $A$
• Als basis = zijde $b$, dan hoogte = loodrechte lijn naar hoekpunt $B$
• Als basis = zijde $c$, dan hoogte = loodrechte lijn naar hoekpunt $C$

Alle combinaties geven dezelfde oppervlakte!

1. Hoogte ≠ zijde: De hoogte is niet altijd een zijde van de driehoek
2. Loodrecht vereist: De hoogte moet altijd loodrecht op de basis staan
3. Formule toepassen: Vergeet niet om te delen door 2!

Je kunt de formule controleren door:

1. Een rechthoek te tekenen met dezelfde basis en hoogte
2. De oppervlakte van de rechthoek te berekenen
3. Te verifiëren dat de driehoek precies de helft is

Interessant feit: Een parallellogram heeft dezelfde oppervlakte als een rechthoek met dezelfde basis en hoogte: $A = b \times h$

Een driehoek is dus ook de helft van een parallellogram!

Grafisch ontwerp 🎨: Voor een driehoekig logo met basis 120 pixels en hoogte 80 pixels: $A = \frac{1}{2} \times 120 \times 80 = 4.800 \text{ pixels}^2$

Landschapsarchitectuur 🌳: Een driehoekig bloemenperk met basis 6.5 meter en hoogte 4.2 meter: $A = \frac{1}{2} \times 6.5 \times 4.2 = 13.65 \text{ m}^2$

Als je 15 planten per m² wilt: $13.65 \times 15 ≈ 205 \text{ planten}$

Veel vormen in de echte wereld zijn geen eenvoudige rechthoeken of driehoeken, maar samengestelde figuren - combinaties van bekende vormen. Door ze op te splitsen in herkenbare delen, kun je de totale oppervlakte berekenen.

Een samengestelde figuur kun je op verschillende manieren analyseren:

1. Compositie: Voeg oppervlaktes van deelfiguren bij elkaar op
2. Decompositie: Trek oppervlaktes van uitgesneden delen af van een grotere figuur

Een L-vorm kun je opsplitsen in twee rechthoeken:

Methode 1 - Horizontale splitsing:

• Rechthoek A: $8 \times 3 = 24$ cm²
• Rechthoek B: $5 \times 4 = 20$ cm²
• Totaal: $24 + 20 = 44$ cm²

Methode 2 - Verticale splitsing:

• Rechthoek C: $3 \times 7 = 21$ cm²
• Rechthoek D: $5 \times \frac{46-21}{5} = 23$ cm²
• Totaal: Zelfde resultaat ✓

T-vorm bestaat uit:

• Horizontale balk: lengte × breedte
• Verticale balk: lengte × breedte
• Let op: Vermijd dubbeltelling van het overlappende gebied!

U-vorm methoden:

1. Groot rechthoek minus uitsparing: $A_{groot} - A_{uitsparing}$
2. Drie rechthoeken optellen: linkerzijde + bodem + rechterzijde

Voor een huisvorm (rechthoek + driehoek):

• Rechthoekig deel: $A_1 = l \times b$
• Driehoekig dak: $A_2 = \frac{1}{2} \times \text{basis} \times \text{hoogte}$
• Totaal: $A_{totaal} = A_1 + A_2$

Voorbeeld: Huis met basis 12 m, hoogte rechthoek 8 m, dakriechthoogte 4 m:

• Rechthoek: $12 \times 8 = 96$ m²
• Driehoek: $\frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24$ m²
• Totaal: $96 + 24 = 120$ m²

Vloerbedekking 🏠: Een kamer heeft een uitstulping:

• Hoofdkamer: $6 \times 4 = 24$ m²
• Uitstulping: $2 \times 1.5 = 3$ m²
• Totaal: $24 + 3 = 27$ m²

Als tapijt €35 per m² kost: $27 \times €35 = €945$

Tuinontwerp 🌻: Een L-vormige bloemenperk:

• Deel 1: $5 \times 2.5 = 12.5$ m²
• Deel 2: $3 \times 1.8 = 5.4$ m²
• Totaal: $12.5 + 5.4 = 17.9$ m²

Als potgrond €8 per m² kost: $17.9 \times €8 = €143.20$

Voor complexere afmetingen:

Rechthoek 1: $2\frac{1}{2} \times 1\frac{3}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{7}{4} = \frac{35}{8} = 4\frac{3}{8}$ m²

Rechthoek 2: $3.25 \times 2.6 = 8.45$ m²

Totaal: $4\frac{3}{8} + 8.45 = 4.375 + 8.45 = 12.825$ m²

Raamberekening 🪟: Een muur van $4 \times 3$ m heeft twee ramen van elk $1.2 \times 0.8$ m:

• Totale muur: $4 \times 3 = 12$ m²
• Per raam: $1.2 \times 0.8 = 0.96$ m²
• Twee ramen: $2 \times 0.96 = 1.92$ m²
• Verfoppervlak: $12 - 1.92 = 10.08$ m²

1. Schets maken: Teken de figuur en markeer afmetingen
2. Deelfiguren identificeren: Zoek rechthoeken, driehoeken, en andere bekende vormen
3. Afmetingen bepalen: Bereken ontbrekende lengtes waar nodig
4. Systematisch berekenen: Werk stap voor stap door alle delen
5. Controleer je antwoord: Overweeg alternatieve opsplitsingen als verificatie

Soms moet je ontbrekende afmetingen afleiden:

Gegeven: L-vorm met totale oppervlakte 45 cm², rechthoek A = $6 \times 4$ cm² Gezocht: Afmetingen rechthoek B

• Oppervlakte A: $6 \times 4 = 24$ cm²
• Oppervlakte B: $45 - 24 = 21$ cm²
• Als breedte B = 3 cm, dan lengte = $\frac{21}{3} = 7$ cm

Vloerplan analyse 📐: Architecten gebruiken samengestelde figuren voor:

• Kostenberekening van materialen
• Efficiënte ruimtebenutting
• Voldoen aan bouwvoorschriften
• Energieberekeningen voor verwarming

Volume is de hoeveelheid ruimte die een driedimensionaal object inneemt. Voor rechthoekige prisma's (dozen, kamers, zwembaden) leer je hoe je het volume berekent en waarom de formule werkt.

Volume meet de ruimte-inhoud van een 3D-figuur. Het wordt uitgedrukt in kubieke eenheden zoals cm³, m³, of liter.

Denk aan volume als "Hoeveel kleine blokjes passen erin?" 📦

Voor een rechthoekige prisma (doos-vorm): $V = \text{lengte} \times \text{breedte} \times \text{hoogte}$ $V = l \times b \times h$

Of alternatief: $V = \text{basis oppervlakte} \times \text{hoogte}$ $V = A_{basis} \times h$

Stel je voor dat je een doos vult met eenheidskubussen van 1×1×1:

• Onderste laag: $l \times b$ kubussen (basis oppervlakte)
• Aantal lagen: $h$ lagen hoog
• Totaal: $l \times b \times h$ kubussen

Elke kubiek heeft volume 1, dus totale volume = aantal kubussen!

Zwembad 🏊: lengte 12 m, breedte 6 m, diepte 1.5 m $V = 12 \times 6 \times 1.5 = 108 \text{ m}^3$

In liters: $108 \text{ m}^3 = 108.000 \text{ liter}$

Opslag container: lengte 8 m, breedte 2.5 m, hoogte 3 m $V = 8 \times 2.5 \times 3 = 60 \text{ m}^3$

Voor een doos met afmetingen $2\frac{1}{4}$ × $1\frac{1}{2}$ × $\frac{3}{4}$ meter:

Converteer naar onechte breuken: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}, \quad 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}, \quad \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

$V = \frac{9}{4} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9 \times 3 \times 3}{4 \times 2 \times 4} = \frac{81}{32} = 2\frac{17}{32} \text{ m}^3$

Aquarium: 45.5 cm × 25.8 cm × 30.2 cm $V = 45.5 \times 25.8 \times 30.2 = 35.449.59 \text{ cm}^3$

In liters: $35.449.59 \text{ cm}^3 = 35.45 \text{ liter}$

Belangrijk: Let goed op eenheden!

• $1 \text{ m}^3 = 1.000.000 \text{ cm}^3$
• $1 \text{ m}^3 = 1.000 \text{ liter}$
• $1 \text{ liter} = 1.000 \text{ cm}^3$

Verhuisdoos 📦: 60 cm × 40 cm × 35 cm $V = 60 \times 40 \times 35 = 84.000 \text{ cm}^3 = 84 \text{ liter}$

Beton bestellen 🏗️: Fundering 15 m × 8 m × 0.3 m $V = 15 \times 8 \times 0.3 = 36 \text{ m}^3$

Als beton €120 per m³ kost: $36 \times €120 = €4.320$

Regenwateropvang 🌧️: Tank 2.5 m × 1.8 m × 1.2 m $V = 2.5 \times 1.8 \times 1.2 = 5.4 \text{ m}^3 = 5.400 \text{ liter}$

Als je het volume en twee afmetingen kent:

Gegeven: Volume = 240 m³, lengte = 8 m, breedte = 5 m
Gezocht: Hoogte

$240 = 8 \times 5 \times h$ $240 = 40h$ $h = \frac{240}{40} = 6 \text{ m}$

Verschil onthouden:

• Oppervlakte: hoeveelheid verf voor de buitenkant (m²)
• Volume: hoeveelheid water om te vullen (m³)

Voor gevorderde problemen gebruik je fractional unit cubes:

Een doos $1\frac{1}{4}$ × $1$ × $1\frac{1}{2}$ gevuld met kubussen van $\frac{1}{4}$ × $\frac{1}{4}$ × $\frac{1}{4}$:

• Aantal kubussen: $\frac{5/4}{1/4} \times \frac{1}{1/4} \times \frac{3/2}{1/4} = 5 \times 4 \times 6 = 120$
• Volume per kubiek: $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$
• Totaal volume: $120 \times \frac{1}{64} = \frac{120}{64} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$

Maximaal volume: Een open doos maken van een plat stuk karton 30×20 cm door gelijke vierkanten uit de hoeken te knippen:

Als je vierkanten van $x$ cm knipt:

• Nieuwe afmetingen: $(30-2x)$ × $(20-2x)$ × $x$
• Volume: $V(x) = x(30-2x)(20-2x)$

Voor maximaal volume los je op: $\frac{dV}{dx} = 0$

De oppervlakte van een 3D-figuur is de totale hoeveelheid materiaal die je nodig hebt om het helemaal in te pakken. Door uitvouwmodellen (netten) te gebruiken, kun je deze oppervlakte systematisch berekenen.

Belangrijk onderscheid:

• Volume: ruimte-inhoud (kubieke eenheden: m³, cm³)
• Oppervlakte: buitenoppervlak (vierkante eenheden: m², cm²)

Denk aan oppervlakte als "Hoeveel inpakpapier heb ik nodig?" 🎁

Een uitvouwmodel of net is een platte weergave van alle vlakken van een 3D-figuur, zo opgevouwen dat ze aan elkaar grenzen.

Voor een kubus zijn er 11 verschillende mogelijke netten! 🎲

Een rechthoekige prisma heeft 6 vlakken:

• 2 bases: boven en onder (elk $l \times b$)
• 4 zijvlakken: voor, achter, links, rechts
  • 2 vlakken van $l \times h$
  • 2 vlakken van $b \times h$

Oppervlakte formule: $A = 2(lb + lh + bh)$

Voorbeeld: Doos met lengte 8 cm, breedte 6 cm, hoogte 4 cm

1. Basis/bovenkant: $2 \times (8 \times 6) = 2 \times 48 = 96$ cm²
2. Voor/achterkant: $2 \times (8 \times 4) = 2 \times 32 = 64$ cm²
3. Links/rechts: $2 \times (6 \times 4) = 2 \times 24 = 48$ cm²
4. Totaal: $96 + 64 + 48 = 208$ cm²

Of met de formule: $A = 2(48 + 32 + 24) = 2 \times 104 = 208$ cm²

Een kubus heeft 6 identieke vierkante vlakken met zijde $s$: $A_{kubus} = 6s^2$

Voorbeeld: Kubus met ribbe 5 cm $A = 6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150$ cm²

Een rechthoekige piramide heeft:

• 1 rechthoekige basis: $l \times b$
• 4 driehoekige vlakken: elk met oppervlakte $\frac{1}{2} \times \text{basis} \times \text{schuine hoogte}$

Let op: De schuine hoogte is niet de hoogte van de piramide!

Voorbeeld: Piramide met basis 6×4 cm en schuine hoogtes 5 cm (voor lange zijden) en 4.5 cm (voor korte zijden)

1. Basis: $6 \times 4 = 24$ cm²
2. Lange driehoeken: $2 \times \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 30$ cm²
3. Korte driehoeken: $2 \times \frac{1}{2} \times 4 \times 4.5 = 18$ cm²
4. Totaal: $24 + 30 + 18 = 72$ cm²

Inpakpapier 🎁: Voor een cadeau in een doos 25×18×12 cm: $A = 2(25 \times 18 + 25 \times 12 + 18 \times 12)$ $A = 2(450 + 300 + 216) = 2 \times 966 = 1932$ cm²

Met 10% extra voor overlap: $1932 \times 1.1 = 2125$ cm² ≈ 0.21 m²

Verfberekening 🎨: Een kamer 4×3×2.5 m (zonder ramen/deuren):

• Muren: $2(4 \times 2.5) + 2(3 \times 2.5) = 20 + 15 = 35$ m²
• Plafond: $4 \times 3 = 12$ m²
• Totaal: $35 + 12 = 47$ m²

Als verf 1 liter per 8 m² dekt: $\frac{47}{8} = 5.9$ liter ≈ 6 liter

Tent ontwerp ⛺: Een piramidevormige tent met vierkante basis 3×3 m en schuine hoogte 2.8 m:

• Basis (grond): $3 \times 3 = 9$ m²
• 4 driehoekige vlakken: $4 \times \frac{1}{2} \times 3 \times 2.8 = 4 \times 4.2 = 16.8$ m²
• Totaal doek: $16.8$ m² (basis niet van doek)

Doos: $2\frac{1}{4}$ × $1\frac{1}{2}$ × $\frac{3}{4}$ meter

Converteer: $\frac{9}{4}$ × $\frac{3}{2}$ × $\frac{3}{4}$ meter

$A = 2\left(\frac{9}{4} \times \frac{3}{2} + \frac{9}{4} \times \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \times \frac{3}{4}\right)$

$A = 2\left(\frac{27}{8} + \frac{27}{16} + \frac{9}{8}\right)$

Converteer naar gemeenschappelijke noemer (16): $A = 2\left(\frac{54}{16} + \frac{27}{16} + \frac{18}{16}\right) = 2 \times \frac{99}{16} = \frac{198}{16} = \frac{99}{8} = 12\frac{3}{8}$ m²

Om een net te maken:

1. Kies een startbasis
2. Voeg aangrenzende vlakken toe zonder overlap
3. Controleer of alle vlakken er zijn
4. Test of het net kan vouwen tot de 3D-vorm

Voor samengestelde figuren:

1. Split in eenvoudige prisma's of piramides
2. Bereken oppervlakte van elk deel
3. Trek gemeenschappelijke vlakken af (geen dubbeltelling!)
4. Tel resterende oppervlaktes bij elkaar op

Doos productie: Karton kost €0.15 per dm². Voor dozen 2×1.5×1 dm: $A = 2(2 \times 1.5 + 2 \times 1 + 1.5 \times 1) = 2(3 + 2 + 1.5) = 13$ dm²

Kosten per doos: $13 \times €0.15 = €1.95$

Voor 1000 dozen: $1000 \times €1.95 = €1.950$