Schaaltekeningen, kaarten en centrale vermenigvuldigingen

Een kopie op schaal behoudt de vorm van het origineel. Elke lengte verandert met één gemeenschappelijke vermenigvuldigingsfactor, de vergrotingsfactor. Zijden, hoeken en punten die bij elkaar horen, heten overeenkomstige onderdelen. Het punt dat bij A hoort, krijgt vaak de naam A′, uitgesproken als “A accent”.

Bepaal de vermenigvuldigingsfactor

Zoek eerst de onderdelen die bij elkaar horen. Een korte zijde hoort meestal bij een korte zijde, ook als een kopie is gedraaid. Deel een lengte van de kopie door de oorspronkelijke lengte:

Een rechthoek meet 4 cm bij 6 cm. Een andere meet 10 cm bij 15 cm. Koppel 4 aan 10 en 6 aan 15. Bereken dan:

Beide zijden hebben dezelfde factor. Beide rechthoeken hebben ook rechte hoeken. De tweede rechthoek is een kopie op schaal met factor 2,5. Ook hun verhoudingen van breedte tot lengte zijn gelijk: 4 : 6 en 10 : 15 vereenvoudig je allebei tot 2 : 3.

De richting is belangrijk. Als je vanaf de grotere rechthoek teruggaat, krijg je een andere factor:

De factor voor de omgekeerde richting is het omgekeerde van de eerste: 1 gedeeld door 2,5. Benoem het origineel en de kopie voordat je deelt.

Controleer de hele figuur

Eén paar overeenkomstige zijden geeft een mogelijke factor. Controleer alle overeenkomstige zijden en hoeken om die te bevestigen. Vergelijk een rechthoek van 4 cm bij 6 cm met een rechthoek van 6 cm bij 8 cm. De korte zijden geven 1,5, maar de lange zijden geven ongeveer 1,33. Deze rechthoeken zijn geen kopieën op schaal van elkaar.

Dat verschil ontstond door bij elke oorspronkelijke zijde 2 cm op te tellen. Vergroten en verkleinen betekent vermenigvuldigen. Een echte kopie met factor 1,5 van de rechthoek van 4 cm bij 6 cm meet 6 cm bij 9 cm.

Hoeken blijven even groot. Een driehoek met hoeken van 30°, 60° en 90° heeft na vergroten met factor 3 nog steeds die hoeken. Zijn lengten worden drie keer zo groot; zijn hoeken niet. Bij veelhoeken kun je een veranderde vorm missen als je alleen de verhoudingen tussen zijden controleert. Een vierkant en een scheve ruit kunnen gelijke zijden hebben, maar verschillende hoeken.

Gebruik een bekende factor

Een factor groter dan 1 geeft een grotere kopie. Een factor tussen 0 en 1 geeft een kleinere kopie. Een factor 1 houdt de grootte gelijk. Breuken en decimale getallen werken net als natuurlijke getallen: 1/2 halveert elke lengte en 2,5 maakt elke lengte tweeënhalf keer zo groot.

Stel dat een driehoek zijden van 5 cm, 7 cm en 9 cm heeft. Zijn kopie heeft een langste zijde van 13,5 cm. De langste zijden komen overeen, dus:

Vermenigvuldig elke overgebleven oorspronkelijke zijde met 1,5. De onbekende lengten in de kopie zijn 7,5 cm en 10,5 cm. Om een oorspronkelijke lengte uit een lengte van de kopie terug te rekenen, deel je door de factor. Zo geeft 10,5 gedeeld door 1,5 de oorspronkelijke zijde van 7 cm.

Roosterpapier helpt je de verhoudingen van een figuur te behouden. Werk met horizontale en verticale verplaatsingen, ook met de verplaatsingen die een schuine zijde vormen. Kies een beginpunt met genoeg ruimte voor de nieuwe figuur.

Vergroot of verklein de roosterstappen

Een rechthoek van 3 hokjes breed en 2 hokjes hoog wordt 6 hokjes breed en 4 hokjes hoog met factor 2. Beide afmetingen verdubbelen. Als je de hoogte op 2 zou houden en de breedte zou verdubbelen, zou de vorm worden uitgerekt.

Noteer bij een schuine zijde hoe ver die horizontaal en omhoog loopt. Een verplaatsing van 2 hokjes naar rechts en 1 hokje omhoog wordt 6 naar rechts en 3 omhoog met factor 3. Trek een rechte lijn tussen de nieuwe eindpunten. De overeenkomstige helling blijft gelijk omdat beide aantallen stappen dezelfde factor gebruiken.

Tel diagonale roosterhokjes niet als lengte-eenheden. De diagonaal van een vierkant is langer dan een zijde. Door de horizontale en verticale stappen te vergroten of verkleinen, bepaal je het eindpunt zonder die diagonaal te meten.

Volg de omtrek van een samengestelde figuur

Je kunt een L-vorm volgen met deze verplaatsingen:

1. Ga 4 naar rechts en dan 1 omhoog.
2. Ga 3 naar links en dan 2 omhoog.
3. Ga 1 naar links en dan 3 omlaag.

Deze verplaatsingen sluiten de omtrek. Om de kopie met factor 2 te tekenen, verdubbel je elke verplaatsing:

1. Ga 8 naar rechts en dan 2 omhoog.
2. Ga 6 naar links en dan 4 omhoog.
3. Ga 2 naar links en dan 6 omlaag.

Verbind de hoekpunten in volgorde. Je hoort bij het beginpunt te eindigen. Een opening betekent dat een verplaatsing is vergeten of verkeerd geteld. Deze L-vorm heeft een omtrek van 14 eenheden en een oppervlakte van 6 oppervlakte-eenheden. De verdubbelde kopie heeft een omtrek van 28 eenheden en een oppervlakte van 24 oppervlakte-eenheden. De binnenhoek verandert mee met de buitenranden.

Maak een kleinere kopie

Bij factor 1/2 halveer je elke verplaatsing. Een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 6 hokjes en 4 hokjes wordt er een met rechthoekszijden van 3 hokjes en 2 hokjes. Een lengte van 5 hokjes wordt 2,5 hokjes. Een hoekpunt van het beeld kan halverwege tussen roosterlijnen vallen; het hoeft niet op een roosterpunt te liggen.

Controleer na het tekenen zowel de hoeken als de lengten. Rechte hoeken blijven recht. Bij schuine zijden moeten de horizontale en verticale verplaatsingen dezelfde verhouding hebben.

Teken zonder rooster

Gebruik een liniaal voor lengten en een geodriehoek voor hoeken. Een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 cm en 4 cm heeft een derde zijde van 5 cm. Teken bij factor 1,5 de rechthoekszijden 4,5 cm en 6 cm lang en houd de hoek ertussen op 90°. Als je de uiteinden verbindt, ontstaat een derde zijde van 7,5 cm.

Een kopie op schaal kan op het papier worden verplaatst, gedraaid of gespiegeld. Die veranderingen veranderen de grootte of vorm niet. Als een opgave ook een vermenigvuldigingscentrum geeft, bepaalt dat centrum waar de beeldpunten moeten komen.

Bij vergroten en verkleinen veranderen lengten en oppervlakten op verschillende manieren. De omtrek meet een rand in lengte-eenheden. De oppervlakte meet een vlak in oppervlakte-eenheden. Door die twee apart te houden, kies je makkelijker de juiste vermenigvuldigingsfactor.

Voor de omtrek gebruik je de lengtefactor

Elke zijde wordt met de vergrotingsfactor vermenigvuldigd, dus hun som ook. Als de vergrotingsfactor $k$ is, geldt:

Een driehoek met zijden van 5 cm, 7 cm en 9 cm heeft een omtrek van 21 cm. Met factor 1,5 is de omtrek:

Je kunt ook elke zijde vergroten en 7,5, 10,5 en 13,5 optellen. Als je de oorspronkelijke omtrek vermenigvuldigt, heb je minder stappen nodig.

Voor de oppervlakte gebruik je het kwadraat van de factor

Een rechthoek van 3 × 2 heeft een oppervlakte van 6 oppervlakte-eenheden. Met factor 3 wordt die 9 bij 6, met een oppervlakte van 54 oppervlakte-eenheden. Elk oorspronkelijk eenheidsvierkant wordt een blok van 3 × 3 met 9 eenheidsvierkanten. De oppervlaktefactor is 9 omdat beide afmetingen verdrievoudigen:

De regel geldt voor elke figuur. Een driehoek met basis 4 cm en hoogte 3 cm heeft een oppervlakte van 6 cm². Met factor 2 wordt de basis 8 cm en de hoogte 6 cm. De oppervlakte wordt 24 cm², vier keer de oorspronkelijke oppervlakte. Een cirkel met straal 3 cm heeft een oppervlakte van $9\pi$ cm². Als je de straal verdubbelt, wordt de oppervlakte $36\pi$ cm², ook vier keer zo groot.

Als je lengten verdubbelt, verdubbelt de oppervlakte niet. Vergelijk ter controle een rechthoek van 2 × 3 met de kopie van 4 × 6. Hun oppervlakten zijn 6 en 24. Zowel de breedte als de hoogte is veranderd, dus krijgt de oppervlakte twee factoren 2.

Verkleiningen en terugrekenen

Een rechthoek van 8 cm bij 6 cm heeft een oppervlakte van 48 cm². Als je de lengten halveert, krijg je een rechthoek van 4 cm bij 3 cm met een oppervlakte van 12 cm²:

De oppervlakte is een vierde, hoewel elke lengte de helft is. Hoeken blijven even groot als in het origineel.

Soms zijn de oppervlakten als eerste bekend. Een foto van 10 cm bij 15 cm heeft een oppervlakte van 150 cm². Een gelijkvormige afdruk heeft een oppervlakte van 600 cm². Bepaal eerst de oppervlaktefactor: 600 gedeeld door 150 is 4. De positieve lengtefactor is 2 omdat 2 in het kwadraat 4 is. De afdruk meet daarom 20 cm bij 30 cm. Een oppervlaktefactor van 25 zou een lengtefactor van 5 betekenen.

Reken oppervlakte-eenheden zorgvuldig om

Bij het omrekenen van oppervlakte-eenheden spelen ook twee richtingen een rol. Omdat 1 m gelijk is aan 100 cm, is een vierkante meter 100 cm bij 100 cm:

Omdat 1 dm gelijk is aan 10 cm, is een vierkante decimeter 10 cm bij 10 cm, oftewel 100 cm². Gebruik deze omrekeningen van oppervlakte-eenheden als de oppervlakte op een plattegrond in cm² of dm² is gemeten, maar de werkelijke oppervlakte in m² nodig is.

Een schaaltekening toont een voorwerp of plaats waarbij alle lengten met één gemeenschappelijke factor zijn veranderd. Plattegronden en kaarten verkleinen meestal de werkelijkheid. Een tekening van een klein insect kan het vergroten. De schaal verbindt de lengten op de tekening met de werkelijke lengten.

Schalen met eenheden

“1 cm stelt 2 m voor” betekent dat elke centimeter op de tekening voor 2 meter in werkelijkheid staat. Twee centimeter op de tekening staat voor 4 meter. De eenheden aan de twee kanten mogen verschillen omdat ze worden genoemd.

Op een metrische plattegrond kan ook “1 cm stelt 8 m voor” staan. Een andere mogelijke schrijfwijze is “1/4 cm = 1 m”. Hier betekent het gelijkteken “stelt voor”. Een kwart centimeter en een meter zijn geen gelijke werkelijke lengten.

Verhoudingsschalen

Een schaal van 1 : 200 lees je als “1 op 200”. Eén eenheid op de tekening staat voor 200 van dezelfde eenheid in werkelijkheid. Het kan betekenen dat 1 cm 200 cm voorstelt of dat 1 mm 200 mm voorstelt. Het betekent niet dat 1 cm 200 m voorstelt.

Om een schaal in woorden om te zetten in een verhouding, reken je beide lengten om naar dezelfde eenheid en vereenvoudig je. Omdat 1 m gelijk is aan 100 cm, wordt “1 cm stelt 5 m voor” 1 cm op 500 cm, oftewel 1 : 500.

Dezelfde methode werkt met centimeters en meters. Er gaan 100 centimeter in een meter, dus wordt “1 cm stelt 8 m voor” 1 : 800. Voor de schaal met een breuk geldt:

Om een verhouding om te zetten in een handige schaal in woorden, reken je de werkelijke lengte om. Bij 1 : 50.000 stelt één centimeter op de tekening 50.000 cm voor. Dat is 500 m of 0,5 km. Bij 1 : 2.500 stelt één centimeter op de tekening 25 m voor. Handige gegevens zijn 1 cm = 10 mm, 1 dm = 10 cm, 1 m = 100 cm en 1 km = 1.000 m = 100.000 cm.

Lees of maak een schaalstok

Een schaalstok is een lijn met streepjes waarbij werkelijke afstanden staan. Bij 1 : 50.000 stelt 2 cm 1 km voor. Teken een lijn met om de 2 cm een streepje en zet er 0, 1, 2 en 3 km bij. Een afstand over twee van die tussenruimten stelt 2 km voor.

Een schaalstok blijft bruikbaar als een hele kaart gelijkmatig van grootte verandert. De lijn en de kaart groeien of krimpen samen. De gedrukte verhouding blijft hetzelfde geschreven en beschrijft de kaart met de nieuwe grootte dus niet meer juist.

Vergelijk gelijkwaardige schalen

“1 cm stelt 5 m voor”, “2 cm stelt 10 m voor” en 1 : 500 beschrijven dezelfde schaal. Een schaalstok met stappen van 5 m die 1 cm uit elkaar liggen, laat die schaal ook zien. Bij “3 cm stelt 12 m voor” deel je beide delen door 3. Elke centimeter stelt 4 m voor, wat 1 : 400 geeft.

Een groter tweede getal geeft een kleinere tekening van hetzelfde voorwerp. Bij 1 : 1.000 stelt elke centimeter op papier meer afstand voor dan bij 1 : 100. Een verhoudingsschaal geeft ook een vergrotingsfactor: van werkelijkheid naar een tekening met schaal 1 : 500 is die 1/500; van tekening naar werkelijkheid is die 500.

Een schaal werkt in beide richtingen. Je kunt er een maat op de tekening mee omzetten in een werkelijke maat, of bepalen hoe lang je een werkelijk voorwerp moet tekenen. Bepaal voordat je gaat rekenen welke richting je nodig hebt.

Van tekening naar werkelijkheid

Bij een verhoudingsschaal van 1 : 50 vermenigvuldig je elke lengte op de tekening met 50. Een muur die 9 cm lang is getekend, stelt het volgende voor:

De vermenigvuldiging geeft de werkelijke lengte in dezelfde eenheid als de maat op de tekening. Reken daarna om naar een handige eenheid.

Bij een schaal met eenheden gebruik je het genoemde verband rechtstreeks. Bij “1 cm stelt 2,5 m voor” stelt een lijn van 7 cm 17,5 m voor. Een verhoudingstabel kan de eenheden duidelijk houden: 1 cm hoort bij 2,5 m, 2 cm bij 5 m en 4 cm bij 10 m.

Van werkelijkheid naar de tekening

Om een muur van 6 m op schaal 1 : 50 te tekenen, reken je eerst meters om naar centimeters. Er gaan 100 cm in een meter, dus:

Bij “1 cm stelt 2,5 m voor” heeft een muur van 20 m de lengte 20 gedeeld door 2,5 nodig, oftewel 8 cm. Bij “1 cm stelt 4 m voor” stelt een lengte van 5,5 cm op de plattegrond 22 m voor, terwijl een muur van 30 m een lengte van 7,5 cm op de tekening nodig heeft.

Bepaal een onbekende schaal

Een muur van 12 m wordt 6 cm lang getekend. Schrijf lengte op de tekening en werkelijke lengte als verhouding in één eenheid:

De schaal is 1 : 200, oftewel “1 cm stelt 2 m voor”. Als je 6 : 12 zou vereenvoudigen, zou je 1 : 2 krijgen en centimeters met meters mengen. Je moet eerst omrekenen.

De methode werkt ook voor kaarten. Een afstand van 4 cm die 10 km voorstelt, geeft 4 : 1.000.000, wat je vereenvoudigt tot 1 : 250.000.

Bepaal een vloeroppervlakte op twee manieren

Een kamer is 8 cm bij 6 cm getekend op schaal 1 : 50. Reken eerst de zijden om. De werkelijke lengten zijn 400 cm en 300 cm, oftewel 4 m en 3 m. De vloeroppervlakte is:

Je kunt ook de oppervlakte op de tekening vergroten. Die is 48 cm². Elke lengte wordt 50 keer zo groot, dus wordt de oppervlakte 50 in het kwadraat keer zo groot:

Deel door 10.000 om cm² om te rekenen naar m². Dat geeft dezelfde 12 m². Als je de oppervlakte met slechts 50 zou vermenigvuldigen, zou je de lengtefactor één keer gebruiken en een te kleine oppervlakte krijgen.

Op een plattegrond met “1/4 cm = 1 m” stelt elke hele centimeter 4 m voor. Een hal die 3 cm bij 2,5 cm is getekend, is daarom 12 m bij 10 m. De oppervlakte is 120 m². Als je eerst de zijlengten omrekent, zie je makkelijk wat de uiteindelijke oppervlakte-eenheid is.

Controleer of de grootte logisch is. Een slaapkamer is enkele meters breed. Een antwoord zoals 0,24 m² voor een hele kamer wijst erop dat een vergrotingsfactor is vergeten of dat er een fout is gemaakt bij het omrekenen van oppervlakte-eenheden.

Een kaart kan de rechte afstand tussen twee plaatsen laten zien of een route die ertussen slingert. Meet de lengte die bij de reis past. Een weg of pad volgt meestal een langere route dan de rechte lijn tussen de uiteinden.

Rechte en kromme afstanden

Leg voor een rechte afstand de nulstreep van de liniaal bij het ene punt. Lees de afstand bij het andere punt af. Op een kaart met schaal 1 : 25.000 stelt een lijn van 6,4 cm het volgende voor:

Leg voor een kromme route een touwtje langs de route en markeer de uiteinden. Leg het touwtje recht en meet de gemarkeerde lengte. Je kunt de route ook verdelen in korte, bijna rechte stukken. Tel hun lengten op of zet ze na elkaar over op de rand van een strook papier, waarbij je de strook bij elke bocht draait.

Stukken van 2,1 cm, 3,4 cm en 1,5 cm zijn samen 7 cm. Bij 1 : 50.000 stelt dit 350.000 cm voor, oftewel 3,5 km. Met een schaallijn zet je de totale lengte over op de lijn en lees je de werkelijke afstand rechtstreeks af.

Vergelijk twee kaarten

Een weg van 1 km meet 4 cm bij schaal 1 : 25.000 en 2 cm bij schaal 1 : 50.000. Op de eerste kaart worden lengten twee keer zo lang getekend. Dezelfde oppervlakte in werkelijkheid neemt daardoor vier keer zoveel oppervlakte op papier in.

Op even grote bladen beslaat de kaart met schaal 1 : 25.000 een kleiner gebied met meer details. De kaart met schaal 1 : 50.000 beslaat een groter gebied. Vergelijk de breuken of probeer één werkelijke afstand als je de schaalgetallen verwarrend vindt.

Reken afstand om naar tijd

Gebruik de routeafstand en de gemiddelde snelheid tijdens de reis:

Een wandelpad meet 7,5 cm bij schaal 1 : 20.000. Het stelt 150.000 cm voor, oftewel 1,5 km. Bij 4 km/h is de wandeltijd:

Vermenigvuldig uren met 60 om 22,5 minuten te krijgen. Een decimaal uur is een deel van 60 minuten; 0,375 uur is niet 37,5 minuten.

Een wegenkaart gebruikt “1 cm stelt 25 km voor”. De volledige route over de weg meet 3,5 cm en is dus 87,5 km. Als je gemiddeld 50 km/h rijdt, duurt dat 1,75 uur, oftewel 1 uur 45 minuten.

Gebruik andere verhoudingen tussen grootheden

Een weg meet 12 cm bij schaal 1 : 500.000. Dat is 60 km. Een auto die 6,5 liter per 100 km verbruikt, heeft het volgende nodig:

De afstand is 0,6 van 100 km, dus is de brandstof 0,6 van 6,5 liter. Zorg dat de afstandseenheid overeenkomt met die van het verbruik.

Er gaan 100.000 cm in 1 km. Als je 150.000 cm door 100.000 deelt, krijg je 1,5 km, niet 15 km. Lees het noorden af van de noordpijl op de kaart voordat je richtingen beschrijft; het noorden ligt vaak boven, maar de pijl bevestigt dat.

Een handige schaal zorgt dat het hele voorwerp past en de onderdelen goed afleesbaar blijven. Begin met een ruwe schets en werkelijke afmetingen. Vergelijk zowel de lengte als de breedte met de beschikbare ruimte op papier.

Kies een schaal die past

Een tuin is 18 m bij 12 m. De ruimte op het papier is 20 cm bij 15 cm. Bij “1 cm stelt 1 m voor” is de plattegrond 18 cm bij 12 cm. Die past en benut de ruimte goed.

Bij “1 cm stelt 50 cm voor” zou de plattegrond 36 cm bij 24 cm zijn, te groot. Bij “1 cm stelt 2 m voor” zou die 9 cm bij 6 cm zijn. Dat past, maar in de kleinere tekening zijn details moeilijker te meten. Schalen met 1, 2, 5 of 10 werkelijke eenheden per centimeter houden de berekeningen vaak eenvoudig.

Reken om voordat je tekent

Kies voor een kamer van 5,4 m bij 3,6 m met een deur van 0,9 m de schaal 1 : 50. Reken de werkelijke afmetingen om naar centimeters en deel dan:

• Lengte: 540 gedeeld door 50 geeft 10,8 cm.
• Breedte: 360 gedeeld door 50 geeft 7,2 cm.
• Deuropening: 90 gedeeld door 50 geeft 1,8 cm.

Teken de rechthoek met een liniaal. Gebruik een gradenboog of geodriehoek om de hoeken op 90° te houden. Markeer de deuropening met de breedte op schaal. Schrijf de schaal op de plattegrond en zet zo nodig de werkelijke afmetingen erbij. Probeer lengten op de millimeter nauwkeurig te tekenen en te meten.

Kleine fouten op papier kunnen grote verschillen in werkelijkheid betekenen. Bij “1 cm stelt 2 km voor” stelt een fout van 1 mm 200 m voor. Een gemeten 8,3 cm staat voor ongeveer 16,6 km. Gebruik “ongeveer” voor een resultaat dat je van een tekening afleest.

Teken opnieuw op een nieuwe schaal

Een lijn van 10 cm op een plattegrond met “1 cm stelt 2 m voor” stelt 20 m voor. Bij “1 cm stelt 5 m voor” teken je diezelfde lengte als 4 cm.

Je kunt ook één vermenigvuldigingsfactor voor de hele tekening bepalen:

Vermenigvuldig elke oude lengte op de tekening met 0,4. Oppervlakten op papier worden 0,16 van hun oude grootte omdat 0,4 in het kwadraat 0,16 is. Een groter aantal werkelijke meters per centimeter geeft een kleinere tekening.

Werk met modellen en vergrote tekeningen

Een schaalmodel is driedimensionaal. De lengte, breedte en hoogte gebruiken allemaal dezelfde factor. De lengte van een model op schaal 1 : 18 van een auto van 4,5 m lang is:

Een modelgebouw op schaal 1 : 200 van 30 cm hoog stelt een gebouw voor van 6.000 cm, oftewel 60 m hoog.

Sommige tekeningen vergroten kleine voorwerpen. Bij 20 : 1 zijn lengten op de tekening twintig keer de werkelijke lengten. Een mier van 4 mm wordt 80 mm lang getekend. Een detail van 30 mm op die tekening stelt in werkelijkheid 1,5 mm voor; dat vind je door 30 door 20 te delen.

Een centrale vermenigvuldiging vergroot of verkleint een figuur en bepaalt waar het beeld komt. Daarvoor zijn een centrum en een positieve vergrotingsfactor nodig. De beginfiguur is het origineel, of de oorspronkelijke figuur. Het resultaat is het beeld. In veel landen heet een centrale vermenigvuldiging een vergroting, ook als de figuur kleiner wordt.

Meet vanaf het centrum

Neem O als centrum en $k$ als factor. Teken voor elk punt P de halflijn die begint bij O en door P gaat. Het beeld P′ ligt op dezelfde halflijn, met:

Als P 3 cm van O ligt, plaatst factor 2 P′ op 6 cm van O. Tel niet nog eens 6 cm voorbij P erbij op: dan zou het beeld op 9 cm van O komen. De vermenigvuldigde afstand is de hele afstand vanaf het centrum.

Met factor 1/3 gaat dezelfde P over in een punt op 1 cm van O. Bij een positieve factor blijft een beeldpunt dat niet het centrum is aan dezelfde kant van O als het oorspronkelijke punt.

Wat de factor verandert

Het centrum zelf blijft vast. Als de factor verschilt van 1, verandert de plaats van het beeld als je het centrum verandert, ook als de factor gelijk blijft. Met factor 1 blijft de figuur bij elke keuze van het centrum onveranderd.

Elke lengte gebruikt de factor. Als AB 4 cm is en de factor 1,5, is A′B′ 6 cm. De omtrek gebruikt dezelfde factor en de oppervlakte het kwadraat ervan. Hoeken blijven even groot, dus een centrale vermenigvuldiging maakt een kopie op schaal.

Lijnen en de richting van de figuur

Een lijn door het centrum wordt op zichzelf afgebeeld. Punten kunnen erlangs bewegen, maar de hele lijn blijft op zijn plaats. Een lijn die niet door het centrum gaat, wordt afgebeeld op een evenwijdige lijn. Overeenkomstige zijden zijn daarom evenwijdig of liggen op dezelfde lijn door O.

Bij een positieve factor is het beeld op dezelfde manier gericht als het origineel. Het is niet gedraaid of gespiegeld. Je kunt een draaiing of spiegeling combineren met een centrale vermenigvuldiging als een gelijkvormige figuur anders is gericht.

Waar het centrum kan liggen

Het centrum kan buiten, binnen of op de figuur liggen. Als het een hoekpunt is, blijft dat hoekpunt op zijn plaats. De twee zijden die daar samenkomen, blijven op dezelfde lijnen liggen. Als het centrum binnen een convexe figuur ligt, zoals een driehoek of rechthoek, omringt een vergroting met een factor groter dan 1 het origineel.

Verschuivingen, draaiingen en spiegelingen zijn isometrieën. Ze behouden lengten en hoeken. Een centrale vermenigvuldiging met een factor anders dan 1 behoudt hoeken maar verandert lengten. Zo kun je de grootte veranderen voordat je een figuur naar de gewenste plaats verplaatst.

Om een figuur centraal te vermenigvuldigen, bepaal je elk beeld van een hoekpunt vanuit het centrum. Verbind die beeldpunten in de oorspronkelijke volgorde. Dezelfde methode werkt voor driehoeken, rechthoeken en samengestelde omtrekken.

Gebruik halflijnen en gemeten afstanden

Teken vanuit het centrum een halflijn door elk oorspronkelijk hoekpunt. Meet elke afstand vanaf het centrum, vermenigvuldig die met de factor en markeer het beeld van het hoekpunt op die afstand op de halflijn. Bij een verkleining ligt het beeldpunt tussen het centrum en het oorspronkelijke punt.

Op een rooster tel je horizontale en verticale stappen in plaats van schuine afstanden te meten. Met centrum (2, 1) ligt P(4, 3) 2 naar rechts en 2 omhoog. Neem voor factor 2 vanaf het centrum 4 naar rechts en 4 omhoog. Het beeld is P′(6, 5).

Centrum in de oorsprong

Als het centrum (0, 0) is, geven de coördinaten al de stappen vanaf het centrum. Vermenigvuldig beide coördinaten:

Driehoek A(1, 1), B(3, 1), C(1, 2) heeft na een centrale vermenigvuldiging met factor 3 als beeld A′(3, 3), B′(9, 3), C′(3, 6). De horizontale zijde AB is 2 eenheden lang; A′B′ is 6 eenheden lang.

Voor negatieve coördinaten gebruik je dezelfde regel. Met factor 1/2 gaat (6, 4) over in (3, 2) en gaat (−4, 2) over in (−2, 1). Als je een negatieve coördinaat halveert, behoudt die zijn teken en wordt de afstand tot nul gehalveerd. De coördinaten mogen negatief zijn terwijl de vergrotingsfactor positief is.

Centrum buiten de oorsprong

Bij een ander centrum bepaal je eerst de stappen vanaf dat centrum. Vermenigvuldig de stappen met de factor en tel ze daarna bij de coördinaten van het centrum op. Voor centrum (a, b) geeft dit:

Gebruik centrum (2, 0), factor 1/2 en P(6, 4):

1. Van (2, 0) naar (6, 4) is 4 naar rechts en 4 omhoog.
2. Halveer die stappen tot 2 naar rechts en 2 omhoog.
3. Begin bij (2, 0) en neem die stappen om (4, 2) te bereiken.

Als je de oorspronkelijke coördinaten rechtstreeks zou vermenigvuldigen, zou je (3, 2) krijgen. Dan zou je de oorsprong als centrum gebruiken en de transformatie veranderen.

Houd een hoekpunt in het centrum vast

Een vierkant heeft hoekpunten (1, 1), (3, 1), (3, 3) en (1, 3). Met centrum (1, 1) en factor 2 zijn de beeldhoekpunten (1, 1), (5, 1), (5, 5) en (1, 5). Het hoekpunt in het centrum heeft nul stappen nodig en blijft vast. De zijlengte verdubbelt van 2 naar 4 en de oppervlakte groeit van 4 naar 16 oppervlakte-eenheden.

Controleer of elk beeldpunt buiten het centrum op dezelfde halflijn ligt als het oorspronkelijke punt, op het juiste veelvoud van de oorspronkelijke afstand. Controleer ook overeenkomstige zijden: die moeten evenwijdig zijn of op dezelfde lijn liggen en hun lengten moeten de gegeven factor gebruiken.

Een volledige beschrijving van een centrale vermenigvuldiging geeft zowel het centrum als de factor. “Twee keer zo groot” geeft een verandering in grootte aan, maar laat de plaats onduidelijk. Gebruik overeenkomstige zijden voor de factor en overeenkomstige punten voor het centrum.

Bepaal eerst de factor

Driehoek P(3, 2), Q(5, 2), R(3, 3) heeft als beeld P′(5, 3), Q′(9, 3), R′(5, 5). De zijde PQ is 2 eenheden lang en P′Q′ is 4 eenheden lang. Deel de lengte in het beeld door de oorspronkelijke lengte:

Controleer een andere zijde. PR is 1 eenheid en P′R′ is 2 eenheden, wat ook factor 2 geeft. Het grotere beeld past bij een factor groter dan 1. Als je het origineel door het beeld zou delen, zou je 1/2 krijgen, de factor van de omgekeerde transformatie.

Bepaal het centrum

Teken een lijn door P en P′. Teken een andere lijn door Q en Q′. Verleng de lijnen totdat ze elkaar snijden. In dit voorbeeld snijden ze elkaar in (1, 1). De lijn door R en R′ gaat door hetzelfde punt en bevestigt het resultaat.

Gebruik paren waarvan de verbindingslijnen verschillend zijn. Als een hoekpunt vast blijft terwijl andere hoekpunten bewegen, is dat vaste hoekpunt het centrum. Als bij factor 1 elk punt vast blijft, is er niet één centrum te bepalen: elk centrum geeft dezelfde onveranderde figuur.

Controleer het gevonden centrum

Tel de stappen van (1, 1) naar de oorspronkelijke punten en daarna naar hun beelden:

• P ligt 2 naar rechts en 1 omhoog; P′ ligt 4 naar rechts en 2 omhoog.
• Q ligt 4 naar rechts en 1 omhoog; Q′ ligt 8 naar rechts en 2 omhoog.
• R ligt 2 naar rechts en 2 omhoog; R′ ligt 4 naar rechts en 4 omhoog.

Beide aantallen stappen verdubbelen telkens. Elk oorspronkelijk punt en beeldpunt ligt op dezelfde halflijn vanuit (1, 1). De volledige beschrijving is “een centrale vermenigvuldiging met centrum (1, 1) en vergrotingsfactor 2”.

Zonder coördinaten vergelijk je de gemeten afstanden vanaf het centrum. Als OP 2,4 cm is en OP′ 6 cm, is de factor 6 gedeeld door 2,4, oftewel 2,5. Gebruik de hele afstand van het centrum tot het beeldpunt, niet alleen de afstand van P tot P′.

Maak de transformatie ongedaan

Gebruik hetzelfde centrum en de omgekeerde factor. Met factor 1/2 vanuit (1, 1) gaat de beelddriehoek terug naar het origineel. P′ ligt bijvoorbeeld 4 naar rechts en 2 omhoog vanaf het centrum. Als je die stappen halveert, krijg je 2 naar rechts en 1 omhoog en kom je bij P(3, 2).

Controleer of één centrale vermenigvuldiging genoeg is

Bij één centrale vermenigvuldiging met een positieve factor blijft de figuur op dezelfde manier gericht. Overeenkomstige zijden zijn evenwijdig of liggen op dezelfde lijn en verbindingslijnen door overeenkomstige punten snijden elkaar in één centrum als de factor verschilt van 1.

Voor een gedraaide of gespiegelde kopie is ook een draaiing of spiegeling nodig. Een kopie van dezelfde grootte die alleen is verschoven, is het resultaat van een verschuiving. Zoek de overeenkomstige punten aan de hand van hun namen voordat je lijnen trekt; als je niet-overeenkomstige hoekpunten verbindt, kun je een verkeerd centrum vinden.

Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene op de andere kan worden afgebeeld door een centrale vermenigvuldiging gecombineerd met verschuivingen, draaiingen of spiegelingen. Ze hebben dezelfde vorm. Ze kunnen verschillende afmetingen hebben en in verschillende richtingen wijzen.

Koppel de onderdelen in volgorde

Het teken $\sim$ betekent “is gelijkvormig met”. In:

hoort A bij D, B bij E en C bij F. Daarom hoort AB bij DE, BC bij EF en CA bij FD. Gebruik de volgorde van de letters, ook als een driehoek op het blad is gedraaid. Als je de onderste zijden koppelt alleen omdat ze allebei onderaan liggen, kun je de verkeerde lengten bij elkaar zoeken.

Overeenkomstige hoeken zijn gelijk en overeenkomstige zijlengten hebben één gemeenschappelijke factor. Kortste zijden horen bij kortste zijden; langste zijden bij langste zijden. Congruente figuren zijn ook gelijkvormig, met factor 1.

Controleer grootte en vorm

Rechthoeken van 4 bij 6 en 6 bij 9 hebben voor beide afmetingen factor 1,5. Hun hoeken zijn allemaal rechte hoeken, dus zijn ze gelijkvormig. Rechthoeken van 4 bij 6 en 6 bij 8 geven verschillende factoren en zijn niet gelijkvormig.

Bij veelhoeken zijn alleen gelijke hoeken niet genoeg. Een vierkant van 2 × 2 en een rechthoek van 2 × 5 hebben allebei vier rechte hoeken, maar de verhoudingen tussen hun zijden komen niet overeen. Alleen gelijke verhoudingen tussen zijden zijn ook niet genoeg: een vierkant en een scheve ruit kunnen dezelfde zijlengten hebben terwijl hun hoeken verschillen. Elke twee vierkanten zijn gelijkvormig, net als elke twee cirkels.

Bepaal een onbekende lengte

Stel dat ABC gelijkvormig is met DEF, met AB = 4, BC = 6, CA = 8 en DE = 6. De overeenkomst geeft:

Gebruik dezelfde factor voor de andere zijden. EF is 9 en FD is 12. Controleer de verhoudingen 9 gedeeld door 6 en 12 gedeeld door 8; beide geven 1,5. Als een lengte bij de kleinere figuur hoort, deel je een grotere overeenkomstige lengte door 1,5 om die terug te vinden.

Beschrijf een opeenvolging van transformaties

Begin met driehoekshoekpunten (1, 1), (2, 1) en (1, 3). Vermenigvuldig centraal vanuit de oorsprong met factor 2 om (2, 2), (4, 2) en (2, 6) te krijgen. Verschuif daarna 3 eenheden naar rechts om (5, 2), (7, 2) en (5, 6) te krijgen.

Deze opeenvolging beeldt de eerste driehoek af op de laatste. De centrale vermenigvuldiging verandert de grootte; de verschuiving plaatst de driehoek op de gewenste plaats. Beschrijf het centrum en de factor van de centrale vermenigvuldiging en daarna de afstand en richting van de verschuiving. Geef bij een draaiing of spiegeling ook de gegevens die nodig zijn om die transformatie vast te leggen.

Met foto's kun je de vorm op een herkenbare manier controleren. Een foto van 10 cm bij 15 cm wordt met factor 2 20 cm bij 30 cm. Een afdruk van 20 cm bij 25 cm geeft de factoren 2 en ongeveer 1,67. Als je de hele foto op die afmeting houdt, wordt hij uitgerekt; om de verhoudingen te behouden, moet je de foto bijsnijden of ruimte ongebruikt laten.

Een koershoek beschrijft een richting met een hoek. Begin bij het noorden, draai met de klok mee en schrijf drie cijfers. Zo geef je een nauwkeurige richting aan, ook als geen benoemde windrichting er precies mee overeenkomt.

Windrichtingen en drie cijfers

De hoofdwindrichtingen zijn met de klok mee noord, oost, zuid en west. Ze liggen 90° uit elkaar. Noordoost, zuidoost, zuidwest en noordwest liggen daar halverwege tussen, zodat je op een windroos met acht richtingen stappen van 45° maakt.

Schrijf bij koershoeken 8° als 008° en 45° als 045°. Noord wordt hier geschreven als 000°; je kunt ook 360° zien voor een volledige draai terug naar het noorden.

Lees het beginpunt af

“De koershoek van B vanuit A” meet je bij A. Teken een noordlijn bij A en een lijn van A naar B. Meet de hoek ertussen met de klok mee. Het woord “vanuit” geeft aan waar je het middelpunt van de geodriehoek legt.

Noordlijnen bij verschillende punten op een kaart zijn evenwijdig. Volg de noordpijl van de kaart. Als het noorden naar de bovenrand wijst, kunnen de noordlijnen evenwijdig lopen aan de verticale roosterlijnen of de zijrand.

Gebruik een geodriehoek van 180°

Voor een richting ten oosten van de noordlijn kun je een koershoek tot 180° rechtstreeks met de klok mee vanaf het noorden aflezen. Leg het middelpunt van de geodriehoek op het beginpunt, leg de nul bij het noorden en lees de schaalverdeling af die met de klok mee naar de bestemming oploopt.

Een richting ten westen van de noordlijn heeft een koershoek groter dan 180°. Meet de kleinere hoek tegen de klok in vanaf het noorden en trek die hoek daarna af van 360°. Een hoek van 70° tegen de klok in geeft:

Je kunt ook met de klok mee vanaf het zuiden meten en er 180° bij optellen.

Teken een gegeven koershoek

Om vanuit P 230° te tekenen, teken je een noordlijn bij P. De richting ligt 50° met de klok mee voorbij het zuiden, omdat 180° plus 50° gelijk is aan 230°. Markeer die hoek en teken vanuit P een halflijn door de markering. Een andere methode is om 130° tegen de klok in vanaf het noorden te meten.

Schat het gebied voordat je een geodriehoek afleest. Een noordoostelijke richting ligt tussen 000° en 090°; zuidoost tussen 090° en 180°; zuidwest tussen 180° en 270°; noordwest tussen 270° en 360°. Als je bijvoorbeeld 060° afleest voor een noordwestelijke richting, geeft dat aan dat je verkeerd om hebt gemeten of de verkeerde schaalverdeling hebt gebruikt.

Met koershoeken kun je een terugrichting beschrijven of meerdere richtingen vergelijken. Bepaal eerst of je een route omkeert, vanuit een koers draait of halflijnen vanuit één punt vergelijkt. Elk gebruikt een ander verband tussen hoeken.

Bepaal de terugkoers

De terugkoers wijst van de bestemming naar het begin. Tegengestelde richtingen verschillen een halve draai, oftewel 180°. De noordlijnen op de twee plaatsen zijn evenwijdig.

• Tel bij een koershoek onder 180° 180° op.
• Trek van een koershoek van 180° of meer 180° af.

Zo wordt 060° omgekeerd 240°, 300° wordt 120° en 180° wordt 000°. Als een vuurtoren op een koershoek van 135° vanuit een haven ligt, ligt de haven op een koershoek van 315° vanuit de vuurtoren.

Als je 060° van 360° aftrekt, krijg je 300°, de spiegeling in de noordlijn. De juiste tegengestelde richting is 240°.

Bepaal de kleinste hoek tussen richtingen

Als twee koershoeken in hetzelfde punt beginnen, trek je het kleinste getal af van het grootste. Als het resultaat hoogstens 180° is, is dat de kleinste hoek tussen de richtingen.

Een punt B ligt op koershoek 040° vanuit A en C ligt op koershoek 110° vanuit A. Hoek BAC is:

Als het verschil groter is dan 180°, trek je het af van 360°. De koershoeken 350° en 010° verschillen getalsmatig 340°. Hun richtingen liggen over het noorden gemeten slechts 20° uit elkaar, omdat 360° min 340° gelijk is aan 20°.

Volg een draai

Een draai met de klok mee tel je op bij de huidige koershoek. Een draai tegen de klok in trek je ervan af. Een wandelaar met koers 070° die 90° met de klok mee draait, krijgt koers 160°. Een draai van 90° tegen de klok in vanaf 070° geeft −20°; tel er 360° bij op om de koers als 340° te schrijven.

Reken ook verder rond na een volledige draai. Vanaf 300° geeft een draai van 90° met de klok mee 390°. Trek er 360° van af om de nieuwe koershoek als 030° te schrijven. De draai meet je vanaf de oude koers; de nieuwe koershoek meet je vanaf het noorden.

Bepaal een punt met twee koershoeken

Plaats A en B op een schaaltekening met B 10 km precies ten oosten van A. Een boot ligt op koershoek 045° vanuit A en 315° vanuit B.

Teken bij elk punt een noordlijn. Teken vanuit A de halflijn naar het noordoosten. Teken vanuit B de halflijn naar het noordwesten. Hun snijpunt geeft de plaats van de boot aan, 5 km ten noorden van het midden van AB. Meten van A naar het snijpunt geeft ongeveer 7,1 km.

Elke koershoek heeft zijn eigen beginpunt. Als je beide halflijnen vanuit A zou tekenen, zou de informatie van B verloren gaan. Verleng de halflijnen in de aangegeven richtingen en markeer het snijpunt duidelijk voordat je afstanden meet.

Een navigatieroute kan uit meerdere trajectdelen bestaan. Elk trajectdeel heeft een afstand en een koershoek. Een schaaltekening brengt die trajectdelen samen, zodat je de eindpositie, de rechtstreekse terugweg en de terugrichting kunt meten.

Teken het eerste trajectdeel

Een schip vaart 8 km op koershoek 070° en daarna 5 km op koershoek 160°. Kies “1 cm stelt 1 km voor”, zodat de lengten 8 cm en 5 cm worden. Laat genoeg ruimte voor beide trajectdelen.

Markeer beginpunt A en teken daar een noordlijn. Meet 070° met de klok mee vanaf het noorden. Teken een lijnstuk van 8 cm in die richting naar B. Zo bepaal je het punt waar de koers verandert.

Begin de volgende koershoek bij het punt waar de koers verandert

Teken bij B een nieuwe noordlijn evenwijdig aan de eerste. Meet 160° met de klok mee vanaf deze nieuwe lijn. Teken het tweede trajectdeel 5 cm lang naar C.

Meet de tweede koershoek niet bij A. Dat zou een tweede richting vanaf het begin beschrijven, geen route die vanaf B verdergaat. Houd ook de koershoek en de draai uit elkaar: de koers verandert met 90°, maar de tweede koershoek is 160° vanaf het noorden.

Lees de rechtstreekse afstand en koershoek af

Verbind A met C. Als je op de schaaltekening meet, krijg je ongeveer 9,4 cm, dus ligt C ongeveer 9,4 km van A. Meet bij A met de klok mee vanaf het noorden tot AC. De koershoek is ongeveer 102°.

De rechtstreekse terugweg is CA. De koershoek daarvan is ongeveer:

Van A via B naar C is in totaal 13 km. De rechtstreekse afstand AC is korter omdat die de bocht afsnijdt.

Controleer een route met een rechte hoek

De verandering van koers 070° naar 160° is 90°. De route vormt een rechthoekige driehoek. Bij een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de langste zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de andere twee zijden. Dit is de stelling van Pythagoras:

Dat komt overeen met de gemeten 9,4 km. Metingen op een tekening zijn benaderingen. Meet hoeken op de graad en lengten op de millimeter nauwkeurig en geef het resultaat met een passende nauwkeurigheid.

Combineer de route met tijd

Bij 12 km/h duren de twee oorspronkelijke trajectdelen 13 gedeeld door 12 uur, oftewel 1 uur 5 minuten. De rechtstreekse terugweg duurt ongeveer 9,4 gedeeld door 12 uur. Als je met 60 vermenigvuldigt, krijg je ongeveer 47 minuten.

Om een camping op 2,5 km van een station op koershoek 300° te plaatsen bij schaal 1 : 50.000, reken je eerst 2,5 km om naar 250.000 cm. Deel door 50.000 om 5 cm te krijgen. Teken vanuit het station koershoek 300° en markeer de camping op 5 cm langs die lijn.

Gebruik voor langere routes een schaal waarbij de route nog past. Voor trajectdelen van 30 km tot 40 km kan “1 cm stelt 5 km voor” geschikt zijn. Controleer of de hele route past en schrijf de gekozen schaal naast de tekening.