Wiskunde: Breuken – Groep 6

Wanneer je werkt met breuken, ontdek je dat er vele manieren zijn om hetzelfde getal uit te drukken. Dit is net zoals je "een half" kunt zeggen of "twee vierden" - beide betekenen precies hetzelfde! In deze sectie gaan we kijken hoe breuken met een noemer van 10 kunnen worden omgezet naar breuken met een noemer van 100.

Het omzetten van breuken met noemer 10 naar breuken met noemer 100 is de eerste stap naar het begrijpen van kommagetallen. Wanneer je begrijpt dat $\frac{3}{10}$ hetzelfde is als $\frac{30}{100}$, dan begrijp je ook waarom 0,3 en 0,30 dezelfde waarde hebben.

Laten we dit begrip ontwikkelen met een 10×10 raster 📊. Stel je voor dat je een vierkant hebt dat is verdeeld in 100 kleine vakjes (10 rijen en 10 kolommen). Als je 3 hele kolommen inkleurt, heb je $\frac{30}{100}$ van het vierkant gekleurd. Maar je kunt dit ook zien als $\frac{3}{10}$ van het vierkant, omdat je 3 van de 10 kolommen hebt genomen.

Dit laat zien dat:

• $\frac{3}{10} = \frac{30}{100}$
• $\frac{7}{10} = \frac{70}{100}$
• $\frac{1}{10} = \frac{10}{100}$

Kun je het patroon zien? 🤔 Wanneer je een breuk met noemer 10 omzet naar een breuk met noemer 100, vermenigvuldig je zowel de teller als de noemer met 10:

$\frac{4}{10} = \frac{4 \times 10}{10 \times 10} = \frac{40}{100}$

Dit werkt omdat je de breuk eigenlijk vermenigvuldigt met $\frac{10}{10}$, wat gelijk is aan 1. Vermenigvuldigen met 1 verandert de waarde van een getal niet!

Deze vaardigheid is heel nuttig in het dagelijks leven. Bijvoorbeeld:

• Als je 0,4 liter water hebt, kun je dit uitdrukken als $\frac{4}{10}$ liter of als $\frac{40}{100}$ liter
• Bij het meten van afstanden: 0,6 meter = $\frac{6}{10}$ meter = $\frac{60}{100}$ meter
• Bij geld: €0,50 = $\frac{5}{10}$ euro = $\frac{50}{100}$ euro

Deze regel werkt ook voor gemengde getallen! Bijvoorbeeld:

• $2\frac{3}{10} = 2\frac{30}{100}$
• $\frac{15}{10} = \frac{150}{100}$

Denk eraan dat $\frac{15}{10}$ eigenlijk $1\frac{5}{10}$ betekent, wat gelijk is aan $1\frac{50}{100}$ of $\frac{150}{100}$.

Nu je begrijpt hoe breuken met noemer 10 en 100 met elkaar verbonden zijn, kun je een grote stap maken naar het begrijpen van kommagetallen! Kommagetallen zijn eigenlijk gewoon een andere manier om breuken met noemers van 10, 100, 1000, enzovoort te schrijven.

Kommagetallen (ook wel decimalen genoemd) zijn een uitbreiding van ons tiendelig getallensysteem. Net zoals we hele getallen schrijven met een eenheden plaats, tientallen plaats, honderdallen plaats, zo hebben we ook plaatsen achter de komma:

• De eerste plaats achter de komma = tienden ($\frac{1}{10}$)
• De tweede plaats achter de komma = honderdsten ($\frac{1}{100}$)
• De derde plaats achter de komma = duizendsten ($\frac{1}{1000}$)

Laten we kijken hoe je breuken omzet naar kommagetallen:

Tienden:

• $\frac{3}{10}$ = 0,3 ("drie tienden")
• $\frac{7}{10}$ = 0,7 ("zeven tienden")
• $\frac{9}{10}$ = 0,9 ("negen tienden")

Honderdsten:

• $\frac{25}{100}$ = 0,25 ("vijfentwintig honderdsten")
• $\frac{8}{100}$ = 0,08 ("acht honderdsten")
• $\frac{99}{100}$ = 0,99 ("negenennegentig honderdsten")

Het omgekeerde werkt ook! Wanneer je een kommagetal ziet, kun je het terugvertalen naar een breuk:

• 0,4 = $\frac{4}{10}$ 📍
• 0,35 = $\frac{35}{100}$
• 0,06 = $\frac{6}{100}$

Bij gemengde getallen wordt het hele getal voor de komma geschreven:

• $2\frac{3}{10}$ = 2,3
• $1\frac{45}{100}$ = 1,45
• $3\frac{7}{10}$ = 3,7

Het mooie van dit systeem is dat je hetzelfde getal op verschillende manieren kunt schrijven:

• $\frac{5}{10} = \frac{50}{100} = 0,5 = 0,50$
• $\frac{2}{10} = \frac{20}{100} = 0,2 = 0,20$

Alle vormen betekenen precies hetzelfde! 🎯

Een getallenlijn helpt je om de verbinding tussen breuken en kommagetallen te zien. Als je een lijn tekent van 0 tot 1 en deze verdeelt in 10 gelijke delen, dan zie je:

0 — 0,1 — 0,2 — 0,3 — 0,4 — 0,5 — 0,6 — 0,7 — 0,8 — 0,9 — 1,0

Elke streep komt overeen met een breuk:

• 0,1 = $\frac{1}{10}$
• 0,5 = $\frac{5}{10}$
• 1,0 = $\frac{10}{10}$

In het dagelijks leven zie je breuken en kommagetallen vaak samen:

• Sport: Een hardloper rent 2,5 km, wat hetzelfde is als $2\frac{5}{10}$ km
• Koken: Een recept vraagt om 0,25 liter melk, wat $\frac{25}{100}$ liter is, of $\frac{1}{4}$ liter
• Geld: €1,75 betekent 1 euro en $\frac{75}{100}$ euro, oftewel $\frac{3}{4}$ euro extra

Het begrijpen van de verbinding tussen breuken en kommagetallen helpt je om:

• Flexibel te zijn in rekenen 🧮
• Problemen op verschillende manieren op te lossen
• Beter te begrijpen wat getallen betekenen
• Voor te bereiden op geavanceerdere wiskunde

Een van de meest krachtige eigenschappen van breuken is dat je hetzelfde getal op heel veel verschillende manieren kunt schrijven. Dit noemen we gelijkwaardige breuken - breuken die er anders uitzien maar precies dezelfde waarde hebben! Het is net zoals je "een half" kunt zeggen, maar ook "twee vierde" of "vijf tiende" - het betekent allemaal hetzelfde.

Gelijkwaardige breuken zijn verschillende breuken die dezelfde hoeveelheid vertegenwoordigen. Bijvoorbeeld:

• $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}$
• $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12}$
• $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12}$

Alle breuken in elke rij hebben precies dezelfde waarde! 🎯

Het geheim zit in het vermenigvuldigen van zowel de teller als de noemer met hetzelfde getal. Dit verandert de waarde van de breuk niet, omdat je eigenlijk vermenigvuldigt met 1.

Voorbeeld 1: $\frac{2}{3}$ omzetten

• $\frac{2}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{4}{6}$
• $\frac{2}{3} \times \frac{3}{3} = \frac{6}{9}$
• $\frac{2}{3} \times \frac{4}{4} = \frac{8}{12}$

Voorbeeld 2: $\frac{3}{5}$ omzetten

• $\frac{3}{5} \times \frac{2}{2} = \frac{6}{10}$
• $\frac{3}{5} \times \frac{3}{3} = \frac{9}{15}$
• $\frac{3}{5} \times \frac{4}{4} = \frac{12}{20}$

Breukstroken zijn een geweldige manier om gelijkwaardige breuken te ontdekken. Stel je voor dat je stroken papier hebt die allemaal even lang zijn:

• 1 hele strook = $\frac{1}{1}$
• 2 halve stroken = $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$
• 4 kwart stroken = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Wanneer je 2 kwart stroken naast elkaar legt, zie je dat ze precies zo lang zijn als 1 halve strook! Dit toont dat $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Cirkelmodellen werken ook fantastisch 🍕. Denk aan pizza's:

• 1 halve pizza = $\frac{1}{2}$
• 2 kwart pizza's = $\frac{2}{4}$
• 4 achtste pizza's = $\frac{4}{8}$

Alle drie geven je precies evenveel pizza!

Gelijkwaardige breuken werken ook voor breuken groter dan 1:

• $\frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{9}{6} = 1\frac{1}{2}$
• $\frac{5}{3} = \frac{10}{6} = \frac{15}{9} = 1\frac{2}{3}$
• $\frac{7}{4} = \frac{14}{8} = \frac{21}{12} = 1\frac{3}{4}$

Kruislings vermenigvuldigen is een handige truc:

• Voor $\frac{2}{3}$ en $\frac{4}{6}$: bereken $2 \times 6 = 12$ en $3 \times 4 = 12$
• Omdat beide 12 zijn, weet je dat de breuken gelijk zijn!

Visueel controleren: Teken of gebruik modellen om te zien of beide breuken dezelfde hoeveelheid voorstellen.

Wanneer je gelijkwaardige breuken maakt, gebeurt er iets interessants:

• Als je de teller vermenigvuldigt met 3, moet je de noemer ook vermenigvuldigen met 3
• Als je de teller deelt door 2, moet je de noemer ook delen door 2
• Beide moeten altijd hetzelfde gebeuren, anders krijg je een andere waarde

Let op deze veelgemaakte fouten:

• ❌ Alleen de teller vermenigvuldigen: $\frac{2}{3} \neq \frac{6}{3}$
• ❌ Alleen de noemer vermenigvuldigen: $\frac{2}{3} \neq \frac{2}{9}$
• ✅ Beide vermenigvuldigen: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$

Benchmark breuken zoals $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ en $1$ helpen je om de grootte van andere breuken in te schatten:

• Is $\frac{3}{5}$ groter of kleiner dan $\frac{1}{2}$?
• Omdat 3 meer is dan de helft van 5, is $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$

Gelijkwaardige breuken komen overal voor:

• Koken: $\frac{1}{2}$ kopje bloem = $\frac{2}{4}$ kopje = $\frac{4}{8}$ kopje
• Tijd: $\frac{1}{2}$ uur = $\frac{30}{60}$ minuten
• Sport: $\frac{3}{4}$ van de wedstrijd = $\frac{45}{60}$ minuten bij een uur durende wedstrijd

Nu je begrijpt wat gelijkwaardige breuken zijn, kun je leren hoe je breuken met elkaar vergelijkt om te bepalen welke groter, kleiner of gelijk is. Dit is een belangrijke vaardigheid die je helpt bij het oplossen van problemen en het maken van schattingen in het dagelijks leven.

Het vergelijken van breuken komt in veel situaties voor:

• Sport: Welke hardloper was sneller? Degene die $\frac{3}{4}$ van de baan heeft gelopen of degene die $\frac{2}{3}$ heeft gelopen? 🏃‍♂️
• Koken: Welke hoeveelheid is meer: $\frac{2}{3}$ kopje suiker of $\frac{5}{8}$ kopje suiker?
• Tijd: Wat is langer: $\frac{1}{2}$ uur of $\frac{3}{5}$ uur?

De getallenlijn is jouw beste vriend bij het vergelijken van breuken! Alle breuken hebben een exacte plek op de getallenlijn, en hoe verder naar rechts, hoe groter het getal.

Stel je een getallenlijn voor van 0 tot 2:

0 ——— ½ ——— 1 ——— 1½ ——— 2

Wanneer je breuken zoals $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{3}$ en $\frac{5}{3}$ erop zet:

0 — ⅓ — ½ — ⅔ — 1 — 4/3 — 1½ — 5/3 — 2

Nu kun je gemakkelijk zien dat: $\frac{1}{3} < \frac{2}{3} < \frac{4}{3} < \frac{5}{3}$

Benchmark breuken zoals 0, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ en 1 helpen je snel inschatten hoe groot een breuk is:

Voorbeeld 1: Vergelijk $\frac{3}{5}$ en $\frac{1}{2}$

• Is 3 meer dan de helft van 5? Ja, want de helft van 5 is 2,5
• Dus $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$ ✓

Voorbeeld 2: Vergelijk $\frac{2}{7}$ en $\frac{1}{2}$

• Is 2 meer dan de helft van 7? Nee, want de helft van 7 is 3,5
• Dus $\frac{2}{7} < \frac{1}{2}$ ✓

Wanneer breuken dezelfde noemer hebben, vergelijk je gewoon de tellers:

• $\frac{3}{8} < \frac{5}{8} < \frac{7}{8}$ (omdat 3 < 5 < 7)
• $\frac{11}{12} > \frac{9}{12}$ (omdat 11 > 9)

Wanneer breuken dezelfde teller hebben, is de breuk met de kleinere noemer groter:

• $\frac{3}{4} > \frac{3}{5} > \frac{3}{6}$
• Dit komt omdat je hetzelfde aantal delen neemt, maar van een groter geheel!

Denk aan pizza 🍕: 3 stukken van een pizza die in 4 delen is gesneden ($\frac{3}{4}$) is meer dan 3 stukken van een pizza die in 6 delen is gesneden ($\frac{3}{6}$).

Soms moet je breuken omzetten naar gelijkwaardige breuken met dezelfde noemer:

Voorbeeld: Vergelijk $\frac{2}{3}$ en $\frac{3}{4}$

1. Zoek een gemeenschappelijke noemer: 12 (omdat 3 × 4 = 12)
2. Zet om: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ en $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$
3. Vergelijk: $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, dus $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$

Bij gemengde getallen kijk je eerst naar het hele getal:

• $2\frac{1}{4} > 1\frac{3}{4}$ (omdat 2 > 1)
• $1\frac{2}{3} > 1\frac{1}{2}$ (hele getallen zijn gelijk, dus vergelijk de breuken)

Bij onechte breuken (breuken groter dan 1):

• $\frac{7}{3} > \frac{5}{3}$ (zelfde noemer, dus vergelijk tellers)
• $\frac{9}{4} > \frac{8}{5}$ (zet beide om: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ en $\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$)

Wanneer je meerdere breuken moet ordenen:

Voorbeeld: Orden $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{6}$ van klein naar groot

1. Vergelijk met benchmarks:

   • $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$ (omdat 3 < 4, de helft van 8)
   • $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$ (omdat $\frac{1}{2} = \frac{3}{6} < \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$)
   • $\frac{2}{3} < \frac{5}{6}$ (omdat $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} < \frac{5}{6}$)

2. Resultaat: $\frac{3}{8} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6}$

Gebruik deze symbolen om breuken te vergelijken:

• < betekent "kleiner dan"
• > betekent "groter dan"
• = betekent "gelijk aan"

Onthoud: De punt van < en > wijst altijd naar het kleinere getal!

1. Gebruik visuele modellen wanneer je twijfelt
2. Benchmark breuken zijn je snelste hulpmiddel
3. Getallenlijn helpt bij het visualiseren
4. Gelijkwaardige breuken maken kan vergelijken makkelijker maken
5. Schat eerst, reken daarna precies uit

❌ Fout: Denken dat $\frac{3}{7} > \frac{2}{5}$ omdat 7 > 5 ✅ Correct: Vergelijk de werkelijke waarden, niet alleen de noemers

❌ Fout: Bij $1\frac{2}{5}$ vs $1\frac{3}{7}$ alleen naar 2 vs 3 kijken ✅ Correct: Vergelijk $\frac{2}{5}$ met $\frac{3}{7}$ door gelijkwaardige breuken te maken

Net zoals je hele getallen kunt ontbinden (bijvoorbeeld 8 = 5 + 3 of 8 = 2 + 2 + 2 + 2), kun je ook breuken ontbinden in kleinere delen. Dit is een fundamentele vaardigheid die je helpt om breuken beter te begrijpen en vormt de basis voor het optellen en aftrekken van breuken.

Het ontbinden van een breuk betekent dat je de breuk opbreekt in een som van kleinere breuken met dezelfde noemer. Het is alsof je een chocoladereep 🍫 die uit 8 stukjes bestaat, op verschillende manieren kunt verdelen.

Bijvoorbeeld, $\frac{5}{8}$ kun je ontbinden als:

• $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$
• $\frac{2}{8} + \frac{3}{8}$
• $\frac{1}{8} + \frac{4}{8}$
• $\frac{2}{8} + \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

Alle manieren geven hetzelfde resultaat: $\frac{5}{8}$!

Eenheidbreuken zijn breuken met 1 als teller, zoals $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$. Deze zijn de "bouwstenen" van alle andere breuken:

• $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
• $\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$
• $\frac{7}{10} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10}$

Dit helpt je om te begrijpen dat $\frac{3}{4}$ eigenlijk betekent "drie keer een vierde deel".

Breukstroken zijn perfect voor het ontbinden van breuken. Stel je voor dat je stroken papier hebt:

• Een hele strook = $\frac{6}{6}$
• Je kunt deze ontbinden als: $\frac{2}{6} + \frac{4}{6}$ (korte strook + lange strook)
• Of als: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$ (zes kleine strookjes)
• Of als: $\frac{3}{6} + \frac{3}{6}$ (twee middelgrote stroken)

Cirkelmodellen werken ook geweldig 🎯. Een pizza die in 8 stukken is gesneden:

• $\frac{5}{8}$ van de pizza = 5 stukken
• Je kunt dit ontbinden als: 2 stukken + 3 stukken = $\frac{2}{8} + \frac{3}{8}$
• Of als: 1 stuk + 1 stuk + 1 stuk + 1 stuk + 1 stuk = $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Het mooie van breuken ontbinden is dat er altijd meerdere juiste antwoorden zijn! Laten we $\frac{7}{12}$ eens op verschillende manieren ontbinden:

Manier 1: Alleen eenheidbreuken $\frac{7}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}$

Manier 2: Gemixte breuken $\frac{7}{12} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12}$

Manier 3: Andere combinatie $\frac{7}{12} = \frac{2}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12}$

Manier 4: Nog een combinatie $\frac{7}{12} = \frac{1}{12} + \frac{6}{12}$

Alle vier de manieren zijn correct!

Bij gemengde getallen wordt het nog interessanter. Je kunt zowel het hele getal als de breuk ontbinden:

$2\frac{3}{5}$ ontbinden:

• $2\frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5}$ (apart houden)
• $2\frac{3}{5} = 1 + 1 + \frac{3}{5}$ (hele getallen ontbinden)
• $2\frac{3}{5} = 2 + \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$ (breuk ontbinden)
• $2\frac{3}{5} = 1 + 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$ (alles ontbinden)

Bij onechte breuken (breuken groter dan 1) kun je ook creatief ontbinden:

$\frac{9}{4}$ ontbinden:

• $\frac{9}{4} = \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$ (1 hele + een rest)
• $\frac{9}{4} = \frac{4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$ (2 hele + een rest)
• $\frac{9}{4} = \frac{3}{4} + \frac{6}{4}$
• $\frac{9}{4} = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}$

Het is belangrijk om je ontbindingen als wiskundige vergelijkingen te schrijven:

• Correct: $\frac{5}{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$
• Correct: $\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$
• Fout: $\frac{5}{6} = \frac{2}{6} + \frac{4}{6}$ (dit geeft $\frac{6}{6}$, niet $\frac{5}{6}$!)

Het ontbinden van breuken helpt je om:

1. Flexibel denken over getallen 🧠
2. Patronen ontdekken in breuken
3. Voorbereiden op optellen en aftrekken
4. Begrip ontwikkelen van hoe breuken in elkaar zitten
5. Problemen oplossen op verschillende manieren

Koken: Als een recept $\frac{3}{4}$ kopje suiker vraagt, kun je dit ontbinden als:

• $\frac{1}{4}$ kopje + $\frac{1}{4}$ kopje + $\frac{1}{4}$ kopje
• Of $\frac{1}{2}$ kopje + $\frac{1}{4}$ kopje

Sport: Als je $\frac{7}{8}$ van een rondje hebt gelopen, kun je dit zien als:

• $\frac{4}{8}$ (halve rondje) + $\frac{3}{8}$ (nog een stukje)
• Of $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

1. Begin simpel: Probeer eerst met eenheidbreuken
2. Gebruik modellen: Teken cirkels, rechthoeken of stroken
3. Controleer altijd: Tel op of je uitkomst klopt
4. Wees creatief: Er zijn altijd meerdere goede antwoorden
5. Oefen veel: Hoe meer je oefent, hoe flexibeler je wordt

Nu je begrijpt hoe breuken ontbonden kunnen worden, ben je klaar voor de volgende stap: het optellen en aftrekken van breuken! Wanneer breuken dezelfde noemer hebben, is dit eigenlijk heel logisch en lijkt het veel op het optellen en aftrekken van hele getallen.

Wanneer breuken dezelfde noemer hebben, werk je met dezelfde soort "stukjes". Het is alsof je appels bij appels optelt 🍎 + 🍎, niet appels bij peren. Dit maakt het optellen en aftrekken veel eenvoudiger!

Bijvoorbeeld:

• $\frac{2}{8} + \frac{3}{8}$ = "2 achtsten plus 3 achtsten"
• $\frac{5}{6} - \frac{2}{6}$ = "5 zesdelen minus 2 zesdelen"

Bij het optellen van breuken met gelijke noemers: Tel de tellers op, de noemer blijft hetzelfde

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

Voorbeelden:

• $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2 + 1}{5} = \frac{3}{5}$
• $\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3 + 4}{10} = \frac{7}{10}$
• $\frac{1}{12} + \frac{5}{12} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12}$

Bij het aftrekken van breuken met gelijke noemers: Trek de tellers af, de noemer blijft hetzelfde

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

Voorbeelden:

• $\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7 - 3}{8} = \frac{4}{8}$
• $\frac{9}{10} - \frac{2}{10} = \frac{9 - 2}{10} = \frac{7}{10}$
• $\frac{11}{12} - \frac{5}{12} = \frac{11 - 5}{12} = \frac{6}{12}$

Denk aan pizza 🍕! Als je een pizza hebt die in 8 stukken is gesneden:

• Je hebt 3 stukken: $\frac{3}{8}$
• Je krijgt er 2 bij: $\frac{2}{8}$
• Nu heb je 5 stukken: $\frac{5}{8}$

De pizza is nog steeds in 8 stukken gesneden (de noemer), je hebt alleen meer stukken (de tellers worden opgeteld)!

Breukstroken maken dit heel duidelijk:

• $\frac{2}{6}$ = twee zesde-strookjes
• $\frac{3}{6}$ = drie zesde-strookjes
• $\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$ = vijf zesde-strookjes

Getallenlijn is ook handig:

0 — ⅙ — ⅖ — ½ — ⅔ — ⅚ — 1

Om $\frac{1}{6} + \frac{2}{6}$ te berekenen, begin je bij $\frac{1}{6}$ en spring je 2 stapjes naar rechts naar $\frac{3}{6}$.

Soms krijg je een antwoord waarbij de teller groter is dan de noemer:

$\frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6}$

Dit kun je hergroeperen: $\frac{9}{6} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} = 1 + \frac{3}{6} = 1\frac{3}{6}$

Of je kunt het direct schrijven als: $\frac{9}{6} = 1\frac{3}{6}$

Bij gemengde getallen tel je de hele getallen apart op en de breuken apart:

Optellen: $2\frac{3}{8} + 1\frac{2}{8} = (2 + 1) + (\frac{3}{8} + \frac{2}{8}) = 3 + \frac{5}{8} = 3\frac{5}{8}$

Aftrekken: $3\frac{5}{8} - 1\frac{2}{8} = (3 - 1) + (\frac{5}{8} - \frac{2}{8}) = 2 + \frac{3}{8} = 2\frac{3}{8}$

Soms kun je de breuk niet direct aftrekken:

$2\frac{1}{8} - 1\frac{3}{8}$

Je kunt niet $\frac{1}{8} - \frac{3}{8}$ doen! Dan moet je "lenen" van het hele getal: $2\frac{1}{8} = 1\frac{9}{8}$ (omdat $2 = 1 + 1 = 1 + \frac{8}{8}$, dus $2\frac{1}{8} = 1\frac{8}{8} + \frac{1}{8} = 1\frac{9}{8}$)

Nu kun je wel aftrekken: $1\frac{9}{8} - 1\frac{3}{8} = 0 + \frac{6}{8} = \frac{6}{8}$

Je kunt eigenschappen gebruiken die je kent van hele getallen:

Commutatieve eigenschap (volgorde maakt niet uit): $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

Associatieve eigenschap (groepering maakt niet uit): $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = (\frac{1}{9} + \frac{2}{9}) + \frac{3}{9} = \frac{3}{9} + \frac{3}{9} = \frac{6}{9}$

Of: $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{1}{9} + (\frac{2}{9} + \frac{3}{9}) = \frac{1}{9} + \frac{5}{9} = \frac{6}{9}$

Koken 👨‍🍳: Een recept vraagt $\frac{2}{3}$ kopje bloem voor het deeg en $\frac{1}{3}$ kopje bloem voor de topping. Hoeveel bloem heb je totaal nodig? $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ kopje bloem

Sport 🏃‍♀️: Je hebt $\frac{7}{10}$ km gelopen en wilt in totaal $\frac{9}{10}$ km lopen. Hoeveel moet je nog? $\frac{9}{10} - \frac{7}{10} = \frac{2}{10}$ km

Tijd: Je hebt $\frac{3}{4}$ uur aan huiswerk gedaan en $\frac{1}{4}$ uur aan lezen. Hoeveel tijd in totaal? $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$ uur

❌ Fout: Noemers ook optellen $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$ (FOUT!)

✅ Correct: Alleen tellers optellen $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

❌ Fout: Vergeten te hergroeperen $\frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3}$ (dit kan beter als 2 geschreven worden)

✅ Correct: Wel hergroeperen $\frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$

1. Controleer altijd of de noemers gelijk zijn
2. Gebruik visuele modellen wanneer je twijfelt
3. Hergroepeer wanneer de teller groter wordt dan de noemer
4. Oefen met verschillende soorten problemen
5. Denk aan praktische situaties om betekenis te geven aan je antwoorden

Tot nu toe heb je geleerd om breuken op te tellen en af te trekken wanneer ze dezelfde noemer hebben. Maar wat gebeurt er als de noemers verschillend zijn? In deze sectie neem je de eerste stappen naar het optellen van breuken met verschillende noemers, specifiek met noemers van 10 en 100.

Breuken met noemers van 10 en 100 zijn speciaal omdat ze direct verbonden zijn met ons decimale systeem. Deze combinatie komt ook veel voor in het dagelijks leven - denk aan centimeters (1/100 meter) en decimeters (1/10 meter), of centen (1/100 euro) en dubbeltjes (1/10 euro) 💰.

Bovendien is het omzetten tussen 10 en 100 relatief eenvoudig, wat een perfecte inleiding is op het werken met ongelijke noemers.

Om breuken met verschillende noemers op te tellen, moeten we ze eerst gelijkwaardig maken met dezelfde noemer. Bij breuken met noemers 10 en 100 is dit gelukkig heel eenvoudig!

Het geheim: zet de breuk met noemer 10 om naar een breuk met noemer 100

$\frac{a}{10} = \frac{a \times 10}{10 \times 10} = \frac{10a}{100}$

Laten we $\frac{3}{10} + \frac{25}{100}$ oplossen:

Stap 1: Herken dat de noemers verschillend zijn (10 en 100) Stap 2: Zet $\frac{3}{10}$ om naar honderdsten: $\frac{3}{10} = \frac{30}{100}$ Stap 3: Nu kun je optellen: $\frac{30}{100} + \frac{25}{100} = \frac{55}{100}$

Dus: $\frac{3}{10} + \frac{25}{100} = \frac{55}{100}$

Decimaalrasters (10×10 roosters) zijn perfecte hulpmiddelen voor dit type problemen 📊. Stel je een vierkant voor met 100 kleine vakjes:

• $\frac{3}{10}$ = 3 hele kolommen (30 vakjes)
• $\frac{25}{100}$ = 25 losse vakjes
• Samen = 30 + 25 = 55 vakjes = $\frac{55}{100}$

Dit visuele model laat duidelijk zien waarom je eerst gelijkwaardige breuken moet maken!

Voorbeeld 1: $\frac{7}{10} + \frac{15}{100}$

• Zet om: $\frac{7}{10} = \frac{70}{100}$
• Tel op: $\frac{70}{100} + \frac{15}{100} = \frac{85}{100}$

Voorbeeld 2: $\frac{2}{10} + \frac{48}{100}$

• Zet om: $\frac{2}{10} = \frac{20}{100}$
• Tel op: $\frac{20}{100} + \frac{48}{100} = \frac{68}{100}$

Voorbeeld 3: $\frac{9}{10} + \frac{7}{100}$

• Zet om: $\frac{9}{10} = \frac{90}{100}$
• Tel op: $\frac{90}{100} + \frac{7}{100} = \frac{97}{100}$

Soms is het handig om de breuk met noemer 100 om te zetten naar noemer 10, maar alleen als dit een hele teller geeft:

$\frac{30}{100} + \frac{4}{10}$

• Zet om: $\frac{30}{100} = \frac{3}{10}$ (omdat 30 ÷ 10 = 3)
• Tel op: $\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$

Maar pas op! $\frac{35}{100}$ kun je NIET netjes omzetten naar tienden, omdat 35 ÷ 10 = 3,5.

Deze breuken zijn direct verbonden met kommagetallen:

• $\frac{3}{10} = 0,3$
• $\frac{25}{100} = 0,25$
• $\frac{3}{10} + \frac{25}{100} = 0,3 + 0,25 = 0,55 = \frac{55}{100}$

Dit toont de krachtige verbinding tussen breuken en decimalen! 🔗

Geld 💶: Je hebt €0,40 (= $\frac{4}{10}$ euro) en vindt €0,35 (= $\frac{35}{100}$ euro). Hoeveel heb je nu? $\frac{4}{10} + \frac{35}{100} = \frac{40}{100} + \frac{35}{100} = \frac{75}{100}$ euro = €0,75

Afstand 📏: Je loopt 0,3 km (= $\frac{3}{10}$ km) en daarna nog 0,45 km (= $\frac{45}{100}$ km). Totaal? $\frac{3}{10} + \frac{45}{100} = \frac{30}{100} + \frac{45}{100} = \frac{75}{100}$ km = 0,75 km

Tijd: Een taak duurt 0,2 uur (= $\frac{2}{10}$ uur) en een andere 0,15 uur (= $\frac{15}{100}$ uur). Samen? $\frac{2}{10} + \frac{15}{100} = \frac{20}{100} + \frac{15}{100} = \frac{35}{100}$ uur = 0,35 uur

Het principe werkt ook voor aftrekken:

$\frac{8}{10} - \frac{25}{100}$

• Zet om: $\frac{8}{10} = \frac{80}{100}$
• Trek af: $\frac{80}{100} - \frac{25}{100} = \frac{55}{100}$

Base-10 blokken kunnen ook helpen:

• Grote blokken (tienden) = $\frac{1}{10}$
• Kleine kubusjes (honderdsten) = $\frac{1}{100}$
• 1 groot blok = 10 kleine kubusjes

Om $\frac{2}{10} + \frac{35}{100}$ te modelleren:

• Neem 2 grote blokken ($\frac{2}{10}$)
• Ruil ze om voor 20 kleine kubusjes ($\frac{20}{100}$)
• Voeg 35 kleine kubusjes toe ($\frac{35}{100}$)
• Totaal: 55 kleine kubusjes ($\frac{55}{100}$)

Het leren optellen van breuken met noemers 10 en 100:

1. Introduceert het concept van gemeenschappelijke noemers
2. Bouwt vertrouwen met een relatief eenvoudig geval
3. Verbindt breuken met kommagetallen
4. Bereidt voor op complexere ongelijke noemers later
5. Heeft veel praktische toepassingen

❌ Fout: Direct optellen zonder gemeenschappelijke noemer $\frac{3}{10} + \frac{25}{100} = \frac{28}{110}$ (FOUT!)

✅ Correct: Eerst gelijkwaardige breuken maken $\frac{3}{10} + \frac{25}{100} = \frac{30}{100} + \frac{25}{100} = \frac{55}{100}$

❌ Fout: Foutieve omzetting $\frac{3}{10} = \frac{3}{100}$ (FOUT! Moet $\frac{30}{100}$ zijn)

✅ Correct: Juiste omzetting $\frac{3}{10} = \frac{3 \times 10}{10 \times 10} = \frac{30}{100}$

Vermenigvuldigen met breuken lijkt misschien ingewikkeld, maar het bouwt voort op alles wat je al weet over vermenigvuldigen! In deze sectie ontdek je hoe je een heel getal met een breuk kunt vermenigvuldigen, en andersom. Dit vormt de basis voor alle breuk-vermenigvuldiging die je later gaat leren.

Net zoals $3 \times 4$ betekent "3 keer 4 optellen" ($4 + 4 + 4$), betekent $3 \times \frac{1}{4}$ "3 keer $\frac{1}{4}$ optellen".

$3 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Dit is de fundamentele verbinding tussen vermenigvuldiging en optelling bij breuken! 🔗

Wanneer je een heel getal vermenigvuldigt met een breuk, vertelt het hele getal je hoeveel objecten je hebt, en de breuk vertelt je de grootte van elk object.

Voorbeeld: $5 \times \frac{2}{3}$

• Je hebt 5 objecten
• Elk object heeft grootte $\frac{2}{3}$
• Totaal: $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

Kijk naar dit patroon:

• $1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
• $2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
• $3 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3}$
• $4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Zie je het patroon? 🤔 Je vermenigvuldigt de teller met het hele getal, de noemer blijft hetzelfde!

$n \times \frac{a}{b} = \frac{n \times a}{b}$

Wanneer je een breuk vermenigvuldigt met een heel getal, neem je een deel van die hoeveelheid.

Voorbeeld: $\frac{2}{3} \times 6$

• Je neemt $\frac{2}{3}$ (twee derde) van 6
• $\frac{2}{3}$ van 6 = $\frac{2 \times 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Dit kun je ook visualiseren: verdeel 6 in 3 gelijke groepen (elk 2), neem dan 2 van die groepen = 4.

Het mooie is dat de volgorde niet uitmaakt (commutatieve eigenschap): $3 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}$

Maar de betekenis is anders:

• $3 \times \frac{1}{4}$: "3 objecten van elk $\frac{1}{4}$ grootte"
• $\frac{1}{4} \times 3$: "$\frac{1}{4}$ van 3"

Beide geven hetzelfde antwoord, maar vertellen een ander verhaal! 📖

Getallenlijn voor $4 \times \frac{1}{3}$:

0 — ⅓ — ⅔ — 1 — 1⅓
     ↑    ↑   ↑    ↑
    stap stap stap stap

Start bij 0, maak 4 sprongen van $\frac{1}{3}$, kom uit bij $\frac{4}{3}$.

Rechthoekmodellen voor $\frac{2}{5} \times 10$: Teken een rechthoek voor 10 eenheden, verdeel in 5 gelijke delen, kleur 2 delen in. Het gekleurde deel vertegenwoordigt $\frac{2 \times 10}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

Cirkels voor $3 \times \frac{2}{4}$: Teken 3 cirkels, verdeel elke cirkel in 4 delen, kleur 2 delen per cirkel in. Totaal gekleurde delen: $\frac{6}{4} = 1\frac{2}{4}$.

Koken 👨‍🍳: Een recept voor 1 persoon vraagt $\frac{3}{4}$ kopje rijst. Voor 4 personen heb je nodig: $4 \times \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3$ kopjes rijst

Sport 🏃‍♀️: Elke ronde is $\frac{2}{5}$ km. Na 3 ronden heb je gelopen: $3 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ km

Ambachten ✂️: Elk armbandje heeft $\frac{3}{8}$ meter touw nodig. Voor 6 armbandjes: $6 \times \frac{3}{8} = \frac{18}{8} = 2\frac{2}{8}$ meter touw

Geld 💰: Een sticker kost $\frac{1}{4}$ euro. 8 stickers kosten: $8 \times \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$ euro

Voorbeeld: $\frac{3}{4} \times 8$ Dit betekent "$\frac{3}{4}$ van 8":

• Verdeel 8 in 4 gelijke delen: elk deel is 2
• Neem 3 van die delen: $3 \times 2 = 6$
• Of reken: $\frac{3 \times 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Vermenigvuldiging werkt ook met onechte breuken en gemengde getallen:

Onechte breuk: $2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

Gemengd getal: $3 \times 1\frac{2}{5}$ Twee manieren:

1. Distributieve eigenschap: $3 \times (1 + \frac{2}{5}) = 3 \times 1 + 3 \times \frac{2}{5} = 3 + \frac{6}{5} = 3 + 1\frac{1}{5} = 4\frac{1}{5}$
2. Omzetten naar onechte breuk: $1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$, dus $3 \times \frac{7}{5} = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5}$

Gebruik benchmarks om te controleren of je antwoord redelijk is:

$7 \times \frac{3}{4}$

• Schatting: $\frac{3}{4}$ is bijna 1, dus het antwoord moet ongeveer 7 zijn
• Uitrekenen: $\frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}$
• Hmm, dat is minder dan 7 omdat $\frac{3}{4} < 1$ ✓

Merkwaardig genoeg kan vermenigvuldigen met een breuk ook gezien worden als delen: $\frac{1}{3} \times 12 = \frac{12}{3} = 4$

Dit is hetzelfde als $12 \div 3 = 4$!

Algemeen: $\frac{1}{n} \times a = \frac{a}{n} = a \div n$

Het leren vermenigvuldigen van hele getallen en breuken:

1. Bouwt begrip van wat vermenigvuldiging betekent
2. Verbindt bekende concepten (hele getallen) met nieuwe (breuken)
3. Bereidt voor op breuk × breuk vermenigvuldiging
4. Heeft veel praktische toepassingen
5. Ontwikkelt flexibel denken over getallen

Voor hele getal × breuk: Denk aan herhaalde optelling Voor breuk × heel getal: Denk aan "een deel van" Voor gemengde getallen: Gebruik distributieve eigenschap of zet om naar onechte breuk Voor controle: Schat met benchmark breuken