Razonamiento probabilístico y redes bayesianas

Un agente puede ver solo una parte de su entorno. Un sensor puede tener ruido y una acción puede tener varios resultados. La probabilidad permite al agente asignar un grado de creencia a cada posibilidad y revisar esas creencias cuando llega información.

Mundos, sucesos y variables

El espacio muestral, $\mathrm{\Omega }$, enumera todos los resultados posibles. Sus resultados son mutuamente excluyentes y exhaustivos: ocurre exactamente uno. Un suceso es un conjunto de estos resultados, como «el autobús llega tarde». Su probabilidad es la suma de las probabilidades de sus resultados.

Una variable aleatoria asigna un valor a cada resultado. Su dominio enumera los valores posibles. Por ejemplo, $Weather$ tiene el dominio $\{sun,cloud,rain\}$. Escribe las variables con mayúscula inicial y los valores en minúscula. Para la variable booleana $Rain$, $r$ significa verdadero y $\mathrm{\neg }r$ significa falso. La coma en $P(r,t)$ significa «y».

Las probabilidades están entre 0 y 1, y las probabilidades de todos los resultados suman 1. Los sucesos complementarios cumplen $P(\mathrm{\neg }a)=1-P(a)$. Una distribución enumera la probabilidad de cada valor de una variable; una probabilidad a priori describe la creencia antes de incorporar la evidencia de interés.

Interpreta una tabla conjunta

Una distribución conjunta da la probabilidad de cada combinación de valores. Este es un modelo del tiempo y el autobús:

Las seis celdas son los seis mundos posibles y juntas suman 1. El total de una fila es la probabilidad de ese tiempo, por lo que una fila no tiene que sumar 1. Para la lluvia, $P(rain)=\mathrm{0,08}+\mathrm{0,12}=\mathrm{0,20}$. La columna de retraso da $P(late)=\mathrm{0,10}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,12}=\mathrm{0,34}$.

Esta operación es la marginalización, o eliminación por suma. Para conservar $X$ y eliminar $Y$, usa $P(x)={\sum }_{y}P(x,y)$. Suma sobre todos los valores de la variable que se elimina, incluidos los valores falsos para las variables booleanas.

Cuenta una vez la intersección

El suceso «lluvia o retraso» incluye todas las celdas de la fila de lluvia o de la columna de retraso. Su probabilidad es

La resta elimina la intersección contada dos veces. En general, $P(a\vee b)=P(a)+P(b)-P(a,b)$. Sumar simplemente las marginales daría 0,54 y contaría dos veces el mundo con lluvia y retraso.

Por qué las tablas completas se vuelven costosas

Una tabla conjunta completa puede responder cualquier consulta de probabilidad sobre sus variables, pero su tamaño crece rápidamente. Cada variable booleana adicional duplica el número de mundos. Con $n$ variables booleanas hay $2^n$ entradas y $2^n-1$ números libres, ya que la última entrada queda fijada por el total de 1. Treinta variables booleanas requieren 1 073 741 824 entradas. Los modelos compactos almacenarán dependencias locales en vez de enumerar cada mundo explícitamente.

Un autobús que llega tarde cambia las condiciones meteorológicas que parecen probables. La probabilidad condicionada se centra en los mundos compatibles con una observación y después mide sus proporciones relativas. La probabilidad después de tener en cuenta la evidencia es una probabilidad a posteriori.

Relaciona el denominador con la evidencia

Para una evidencia con probabilidad positiva,

En el modelo del tiempo y el autobús, las entradas de retraso para sol, nubes y lluvia son 0,10, 0,12 y 0,12. Su total es 0,34. Por tanto, $P(rain\mid late)=\mathrm{0,12}\mathrm{/}\mathrm{0,34}\approx \mathrm{0,353}$. Al invertir la pregunta se obtiene $P(late\mid rain)=\mathrm{0,12}\mathrm{/}\mathrm{0,20}=\mathrm{0,6}$. Ambas usan la misma celda conjunta, pero cada una divide por la probabilidad de su propia evidencia.

La distribución condicionada completa es $P(Weather\mid late)\approx ⟨\mathrm{0,294};\mathrm{0,353};\mathrm{0,353}⟩$. Estas entradas suman 1 porque describen valores alternativos del tiempo bajo una observación fija. Las tres verosimilitudes $P(late\mid sun)=\mathrm{0,2}$, $P(late\mid cloud)=\mathrm{0,4}$ y $P(late\mid rain)=\mathrm{0,6}$ usan condiciones diferentes y no tienen que sumar 1.

Productos y cadenas

Al reorganizar la definición se obtiene la regla del producto:

Al aplicarla repetidamente se obtiene la regla de la cadena:

Cualquier orden de las variables funciona. Esta identidad no necesita independencia; más adelante, la independencia nos permitirá acortar las listas de condiciones.

Selecciona, suma y normaliza

Para una variable de consulta $X$, evidencia $e$ y variables ocultas $Y$, la enumeración usa

Primero selecciona los mundos compatibles con la evidencia. Después elimina por suma todas las variables ocultas, manteniendo un total separado para cada valor de la consulta. Por último, divide estos totales por su suma. La constante de normalización $\alpha$ es el inverso de esa suma, que es $P(e)$.

Considera las variables booleanas Flu ($F$), Fever ($V$) y Cough ($K$). Su tabla conjunta completa es:

Para encontrar $P(F\mid v)$, conserva las filas con fiebre y elimina la tos por suma. Los totales son $\mathrm{0,056}+\mathrm{0,024}=\mathrm{0,08}$ para gripe y $\mathrm{0,018}+\mathrm{0,072}=\mathrm{0,09}$ para ausencia de gripe. Normaliza dividiendo por 0,17 para obtener $P(f\mid v)\approx \mathrm{0,471}$.

Si también se observa tos, conserva solo las dos filas con fiebre y tos. Ahora $P(f\mid v,k)=\mathrm{0,056}\mathrm{/}\mathrm{0,074}\approx \mathrm{0,757}$. Para fiebre sin tos, $P(f\mid v,\mathrm{\neg }k)=\mathrm{0,024}\mathrm{/}\mathrm{0,096}=\mathrm{0,25}$. Sumar sobre la tos haría perder esta observación adicional. Un total sin normalizar como 0,08 es una probabilidad conjunta, no la probabilidad condicionada solicitada.

Un agente suele saber cómo una causa produce una observación, pero necesita razonar en la dirección contraria. Un modelo de fallos puede describir con qué frecuencia un componente dañado activa una advertencia. Después de la advertencia, el agente necesita la probabilidad de daño.

Invierte correctamente una probabilidad condicionada

Las dos expresiones de la regla del producto para una probabilidad conjunta dan la regla de Bayes:

Aquí $P(c)$ es la probabilidad a priori, $P(e\mid c)$ es la verosimilitud y $P(c\mid e)$ es la probabilidad a posteriori. El denominador incluye todas las formas en que puede ocurrir la evidencia. Para una causa booleana, la ley de la probabilidad total da

Para más de dos valores de la causa, incluye un término por cada valor. También puedes calcular una puntuación de verosimilitud por probabilidad a priori para cada causa y normalizar las puntuaciones.

Resuelve un ejemplo de enfermedad poco frecuente

Supón que una enfermedad afecta al 1 % de una población. Una prueba da positivo para el 90 % de las personas enfermas y el 5 % de las personas sanas. La probabilidad de un resultado positivo es

La probabilidad de estar enfermo y dar positivo es 0,009, por lo que

Las frecuencias naturales hacen más fácil ver el denominador. Entre 10 000 personas, 100 están enfermas y 90 de ellas dan positivo. De 9900 personas sanas, 495 dan positivo. Hay 585 resultados positivos en total; 90 corresponden a personas enfermas.

La sensibilidad del 90 % responde «¿Con qué frecuencia da positivo una persona enferma?». No responde «¿Con qué frecuencia está enferma una persona que da positivo?». La desatención a la tasa base da demasiado poco peso a la probabilidad a priori. Una enfermedad poco frecuente parte de muchas menos personas, por lo que los falsos positivos del grupo sano, más numeroso, pueden superar a los verdaderos positivos. Si la sensibilidad y la tasa de falsos positivos se mantienen fijas, un cambio en la prevalencia sigue cambiando la probabilidad a posteriori.

Un resultado negativo usa las verosimilitudes complementarias:

Actualiza de nuevo cuando llega nueva evidencia

La probabilidad a posteriori de una observación se convierte en la probabilidad a priori para la siguiente. Si el resultado de una segunda prueba es condicionalmente independiente del primero dado el estado de enfermedad, otro positivo produce

Usa la primera probabilidad a posteriori sin redondear al realizar cálculos secuenciales. La independencia condicional importa: las lecturas repetidas de un mismo sensor defectuoso pueden compartir un error, por lo que multiplicar sus verosimilitudes como si fueran evidencia independiente puede exagerar la actualización.

La información previa permanece en cada condición relevante:

Esto permite a un agente actualizar sus creencias dentro de la población o situación que ya conoce, usando su probabilidad a priori actual y las verosimilitudes adecuadas.

Algunas observaciones cambian las probabilidades unas de otras; otras no añaden información una vez que se conoce una condición relevante. La independencia identifica cuándo una expresión de probabilidad larga puede sustituirse por partes más pequeñas.

La independencia es una afirmación sobre cada valor

Los sucesos son independientes cuando $P(a,b)=P(a)P(b)$. Para variables, esta igualdad debe cumplirse para cada par de valores. Un par que no la cumpla establece la dependencia. En la tabla del tiempo, $P(rain,late)=\mathrm{0,12}$, mientras que $P(rain)P(late)=\mathrm{0,20}(\mathrm{0,34})=\mathrm{0,068}$, por lo que el tiempo y el estado del autobús son dependientes.

Los sucesos mutuamente excluyentes con probabilidades positivas son dependientes: saber que ocurrió uno obliga a que la probabilidad del otro sea cero. Los sucesos independientes pueden ocurrir juntos. Si $n$ variables booleanas son todas mutuamente independientes, solo se necesitan $n$ probabilidades, frente a $2^n-1$ para una tabla conjunta sin restricciones.

Identifica qué se mantiene fijo

La independencia condicional, que se escribe $X\perp Y\mid Z$, significa

La igualdad se cumple para cada combinación de valores relevante. De forma equivalente, conocer $Y$ no añade nada sobre $X$ una vez que se conoce $Z$.

En el modelo de la gripe, $P(k\mid v,f)=P(k\mid f)=\mathrm{0,7}$ y $P(k\mid v,\mathrm{\neg }f)=P(k\mid \mathrm{\neg }f)=\mathrm{0,2}$. La fiebre y la tos son condicionalmente independientes dado el estado de gripe. Sin esa condición, son dependientes: $P(k)=\mathrm{0,25}$, mientras que $P(k\mid v)=\mathrm{0,074}\mathrm{/}\mathrm{0,17}\approx \mathrm{0,435}$. La fiebre cambia la creencia sobre la gripe, lo que cambia la creencia sobre la tos.

La independencia sin evidencia y la independencia dada una evidencia son afirmaciones distintas. Observar un efecto común puede incluso hacer dependientes dos causas que antes eran independientes.

Clasifica con Bayes ingenuo

Un modelo de Bayes ingenuo supone que las características son condicionalmente independientes dada una clase. Su distribución a posteriori es

Una clase booleana con $n$ características booleanas necesita $1+2n$ probabilidades. El supuesto puede ser imperfecto y aun así permitir una clasificación útil, pero las características correlacionadas pueden producir probabilidades demasiado confiadas.

Para el correo no deseado, sea $P(spam)=\mathrm{0,3}$. La palabra «oferta» aparece con probabilidad 0,4 en el correo no deseado y 0,05 en el correo legítimo. La palabra «ganador» aparece con probabilidades 0,2 y 0,01. Con ambas palabras presentes, las puntuaciones son $\mathrm{0,3}(\mathrm{0,4})(\mathrm{0,2})=\mathrm{0,024}$ para correo no deseado y $\mathrm{0,7}(\mathrm{0,05})(\mathrm{0,01})=\mathrm{0,00035}$ para correo legítimo. Al normalizar se obtiene $P(spam\mid o,w)\approx \mathrm{0,986}$.

La ausencia también aporta evidencia. Con «oferta» presente pero «ganador» ausente, las puntuaciones pasan a ser $\mathrm{0,3}(\mathrm{0,4})(\mathrm{0,8})=\mathrm{0,096}$ y $\mathrm{0,7}(\mathrm{0,05})(\mathrm{0,99})=\mathrm{0,03465}$, lo que da una probabilidad a posteriori de correo no deseado de aproximadamente 0,735. Usa el complemento de la verosimilitud para una característica booleana ausente. Una verosimilitud cero hace que toda la puntuación de la clase sea cero, por lo que un suceso posible no debería recibir un cero solo porque no apareció en una pequeña muestra de datos.

Una red bayesiana representa una distribución conjunta con un grafo dirigido acíclico y tablas de probabilidades locales. Cada nodo es una variable aleatoria. Una flecha que entra en un nodo identifica a uno de sus padres; seguir las flechas nunca debe llevar de vuelta al nodo de partida.

Un modelo de desplazamiento

Usa cinco variables booleanas: Rain ($R$), Accident ($A$), tráfico intenso Traffic ($T$), llegar tarde Late ($L$) y llevar un paraguas Umbrella ($U$). Las flechas son $R\to T$, $A\to T$, $T\to L$ y $R\to U$. La lluvia y el accidente tienen probabilidades a priori $P(r)=\mathrm{0,2}$ y $P(a)=\mathrm{0,1}$.

La tabla de probabilidades condicionadas (CPT) del tráfico depende de ambos padres:

Las tablas restantes dan $P(l\mid t)=\mathrm{0,6}$, $P(l\mid \mathrm{\neg }t)=\mathrm{0,1}$, $P(u\mid r)=\mathrm{0,9}$ y $P(u\mid \mathrm{\neg }r)=\mathrm{0,2}$. Cada asignación de los padres selecciona una distribución sobre los valores del hijo. Para nodos booleanos, almacena solo la probabilidad de verdadero; la probabilidad de falso es su complemento. Así, $P(\mathrm{\neg }t\mid r,\mathrm{\neg }a)=\mathrm{0,3}$.

Calcula la probabilidad de un mundo completo

La red define su distribución conjunta mediante

Para lluvia, ausencia de accidente, tráfico intenso, retraso y paraguas, selecciona una entrada de cada nodo:

Los factores describen, respectivamente, lluvia, ausencia de accidente, tráfico bajo esos valores de los padres, retraso con tráfico intenso y uso de paraguas con lluvia. Omitir un nodo da un producto incompleto. Seleccionar 0,95 para el tráfico también describiría un accidente, por lo que no coincidiría con el mundo evaluado.

La fórmula se deduce de la regla de la cadena en un orden topológico, con los padres antes que los hijos. Las independencias condicionales de la red acortan cada condición, de todas las variables precedentes a solo sus padres.

Cuenta parámetros y distingue las marginales

Un nodo booleano con $k$ padres booleanos necesita $2^k$ probabilidades libres. De forma más general, un nodo con $d$ valores y $k$ padres con $d$ valores cada uno necesita $(d-1)d^k$. La red de desplazamiento necesita $1+1+4+2+2=10$ números; una conjunta completa sobre sus cinco variables booleanas necesita 31. Treinta nodos booleanos con un máximo de cinco padres cada uno necesitan como máximo 960 números, frente a más de mil millones para una conjunta completa sin restricciones.

Una entrada de una CPT responde una pregunta con todos los padres fijados. Para encontrar una marginal, calcula el promedio sobre los valores de los padres que faltan. Aquí

donde los cuatro términos ponderan las filas de tráfico por las probabilidades de sus padres. Del mismo modo, $P(t\mid r)=\mathrm{0,1}(\mathrm{0,95})+\mathrm{0,9}(\mathrm{0,7})=\mathrm{0,725}$. No es el valor 0,7 de una sola fila.

Las flechas suelen ir de la causa al efecto porque eso hace que el modelo sea compacto y comprensible. Formalmente codifican una factorización y afirmaciones de independencia. Un grafo de dos nodos con la flecha invertida puede representar la misma distribución conjunta con tablas diferentes; una flecha por sí sola no establece causalidad.

Una red útil omite las dependencias innecesarias y conserva las que necesita la distribución. Elegir pocos padres puede ahorrar muchas entradas de tabla, pero cada omisión compromete al modelo con una afirmación de independencia.

Construye la red en un orden

Elige las variables y sus dominios, y después ordena las variables. Para cada variable, selecciona un conjunto mínimo de variables anteriores que la haga independiente de las demás variables anteriores. Añade flechas desde estos padres y completa su CPT usando el juicio de expertos o probabilidades estimadas a partir de recuentos.

Un orden que sitúa las causas primero para el modelo de desplazamiento produce cuatro flechas y diez probabilidades libres. Otro orden válido es $L,T,U,R,A$, con conjuntos de padres $T:\{L\}$, $U:\{T\}$, $R:\{T,U\}$ y $A:\{T,R\}$. Este usa seis flechas y $1+2+2+4+4=13$ números. Dado el tráfico, la lluvia cambia la creencia sobre un accidente, por lo que la lluvia debe permanecer entre los padres del accidente en ese orden.

Cualquier orden puede representar la distribución si cada nodo recibe suficientes padres. Dar a cada nodo todos los nodos anteriores siempre funciona, pero no ofrece compresión. Un orden diagnóstico también puede requerir probabilidades más difíciles de estimar, como la lluvia dados el tráfico y un paraguas. Omitir un padre necesario impone una independencia falsa; añadir un padre innecesario amplía la tabla.

Dos reglas de independencia local

La propiedad local de Markov dice que un nodo es independiente de sus no descendientes dados sus padres. En la red de desplazamiento, $L\perp \{R,A,U\}\mid T$ y $U\perp \{A,T,L\}\mid R$. Una vez conocido el tráfico, las demás variables no añaden nada sobre el retraso.

El manto de Markov de un nodo contiene sus padres, sus hijos y los otros padres de sus hijos. Dadas estas variables, el nodo es independiente de todas las variables fuera del manto. El manto de la lluvia es $\{T,U,A\}$: el accidente pertenece a él porque es el otro padre del tráfico. El manto del tráfico es $\{R,A,L\}$, y el retraso solo tiene $\{T\}$. El manto permite actualizaciones locales incluso cuando la red completa es grande.

Sustituye una tabla grande por estructura

Un nodo determinista es una función fija de sus padres, como $Late=Traffic\vee Strike$. Sus filas contienen ceros y unos. Un OR ruidoso permite que cada causa verdadera falle de forma independiente. Si la causa $i$ tiene probabilidad de inhibición $q_i$, el efecto está ausente solo si fallan todas las causas activas:

Supón que un accidente no causa un atasco con probabilidad 0,2 y que las obras viales no lo causan con probabilidad 0,4. Un accidente por sí solo da una probabilidad de atasco de 0,8; las obras por sí solas dan 0,6. Cuando ocurren ambos, la probabilidad de que no haya atasco es $\mathrm{0,2}(\mathrm{0,4})=\mathrm{0,08}$, por lo que la probabilidad de atasco es 0,92.

El OR ruidoso básico no produce efecto cuando ninguna causa está activa. Una fuga, representada como una causa siempre presente, permite que el efecto surja de causas no enumeradas. El modelo usa una probabilidad de inhibición por causa en lugar de una tabla sin restricciones con $2^k$ filas. Este ahorro proviene de los fallos causales independientes; las interacciones arbitrarias requieren un modelo más rico.

La d-separación encuentra las independencias condicionales garantizadas por el grafo de una red. Examina los caminos sin exigir que las flechas apunten en la dirección en que se recorren. Las puntas de las flechas siguen importando porque determinan cómo se comporta cada nodo intermedio.

Tres patrones de caminos

En una cadena, conocer la variable intermedia bloquea la influencia de la variable anterior. En $R\to T\to L$, la lluvia no añade nada sobre el retraso una vez que se conoce el tráfico. En una bifurcación, conocer la causa común tiene el mismo efecto: un paraguas no añade nada sobre el tráfico una vez que se sabe si llueve.

Un colisionador, o efecto común, funciona de forma opuesta. El camino $R\to T\leftarrow A$ está bloqueado si no hay evidencia sobre el tráfico ni sus descendientes. Observar el tráfico, u observar el retraso posteriormente en la cadena, abre el colisionador. Las causas que eran independientes pueden entonces aportar información una sobre la otra.

Descarte por explicación alternativa

En el modelo de desplazamiento, $P(a\mid r)=P(a)=\mathrm{0,1}$. El tráfico intenso aumenta la probabilidad de accidente a aproximadamente 0,235. Añadir lluvia la reduce a $P(a\mid t,r)\approx \mathrm{0,131}$; añadir que no llueve da $P(a\mid t,\mathrm{\neg }r)\approx \mathrm{0,308}$. La lluvia explica parte del tráfico observado, lo que reduce la necesidad de un accidente como explicación. Esto es el descarte por explicación alternativa.

Comprueba cada camino

Para comprobar $X\perp Y\mid Z$:

1. Enumera todos los caminos no dirigidos entre las variables de consulta.
2. En cada nodo interno, identifica si el camino forma un colisionador o un no colisionador.
3. Bloquea un camino si tiene un no colisionador observado, o un colisionador tal que ni él ni ninguno de sus descendientes está observado.
4. Concluye que hay d-separación solo si todos los caminos están bloqueados.

Para paraguas y accidente, el único camino es $U\leftarrow R\to T\leftarrow A$. Sin evidencia, el tráfico lo bloquea, por lo que $U\perp A$. Dado el retraso, el colisionador del tráfico se abre y la lluvia sigue sin observarse, por lo que el camino se activa. El modelo numérico da $P(u\mid l)\approx \mathrm{0,434}$ pero $P(u\mid a,l)\approx \mathrm{0,356}$.

Si se observan tanto el retraso como la lluvia, el colisionador del tráfico sigue abierto, pero la lluvia bloquea el camino como no colisionador observado. Por tanto, $U\perp A\mid L,R$. Abrir una parte de un camino no elimina un bloqueo en otra parte.

Paraguas y retraso tienen el camino $U\leftarrow R\to T\to L$. Está activo sin evidencia y se bloquea al observar la lluvia o el tráfico. Por ejemplo, $P(l\mid u,r)=P(l\mid r)=\mathrm{0,4625}$.

Interpreta la garantía del grafo

La d-separación es correcta: la independencia se cumple para toda distribución que sigue el grafo. Un camino activo significa que la independencia no está garantizada. Determinados valores de las CPT pueden aun así hacer independientes las variables por coincidencia. En un grafo con varios caminos, examinar un camino bloqueado no basta; otro camino puede permanecer activo.

Una red almacena una distribución conjunta como componentes locales. La inferencia exacta combina esos componentes para responder una consulta, sumando sobre las variables cuyos valores siguen siendo desconocidos. La enumeración es la forma directa de hacerlo.

Separa los tres papeles de las variables

En $P(X\mid e)$, $X$ es la variable de consulta y $e$ fija la evidencia. Las demás variables están ocultas. Sustituye el producto de la red en la fórmula general de enumeración:

Calcula un total sin normalizar para cada valor de la consulta y después divide por su suma. Los valores de evidencia permanecen fijos en cada producto. Las variables ocultas recorren todos sus dominios.

Para el modelo de desplazamiento, con flechas $R\to T\leftarrow A$, $T\to L$ y $R\to U$, la consulta $P(R\mid l)$ deja ocultos el accidente, el tráfico y el paraguas. Cada término completo usa $P(R)P(A)P(T\mid R,A)P(l\mid T)P(U\mid R)$.

Elimina una hoja irrelevante

Paraguas no tiene descendientes observados y no es ni la consulta ni la evidencia. Sumar su CPT sobre ambos valores da ${\sum }_{u^{\mathrm{\prime }}}P(u^{\mathrm{\prime }}\mid r)=1$ para cada valor de lluvia. Su contribución desaparece.

En general, conserva las variables de consulta, las variables de evidencia y todos sus ancestros. Las demás variables pueden eliminarse sumando primero las hojas irrelevantes y avanzando después hacia atrás. Esto se refiere a su contribución a esta consulta; un nodo no observado puede importar en otra consulta.

Calcula los dos totales de lluvia

Las tablas de desplazamiento dan $P(r)=\mathrm{0,2}$, $P(a)=\mathrm{0,1}$, probabilidades de tráfico 0,95, 0,7, 0,8 y 0,2 para las combinaciones de padres $(r,a),(r,\mathrm{\neg }a),(\mathrm{\neg }r,a),(\mathrm{\neg }r,\mathrm{\neg }a)$, y probabilidades de retraso 0,6 con tráfico y 0,1 sin él.

Para lluvia y accidente, suma las alternativas de tráfico: $\mathrm{0,95}(\mathrm{0,6})+\mathrm{0,05}(\mathrm{0,1})=\mathrm{0,575}$. Para lluvia sin accidente, el resultado es $\mathrm{0,7}(\mathrm{0,6})+\mathrm{0,3}(\mathrm{0,1})=\mathrm{0,45}$. Pondera por las probabilidades de accidente y después por la de lluvia:

Sin lluvia, los totales internos correspondientes son 0,5 y 0,2, lo que da

Normaliza dividiendo por $\mathrm{0,0925}+\mathrm{0,184}=\mathrm{0,2765}$. La respuesta es $P(R\mid l)\approx ⟨\mathrm{0,335};\mathrm{0,665}⟩$ para verdadero y falso. Indicar 0,0925 sería dar el suceso conjunto, antes de condicionar.

Mantén las sumas ligadas a sus dependencias

Un factor sale de una suma solo si ninguno de sus argumentos depende de la variable sobre la que se suma. Por ejemplo, $P(r)$ puede salir de la suma sobre el accidente; $P(t\mid r,a^{\mathrm{\prime }})$ no puede porque el accidente es un argumento correspondiente a un padre.

Si se observa el paraguas, ya no se elimina por suma. Con $P(u\mid r)=\mathrm{0,9}$ y $P(u\mid \mathrm{\neg }r)=\mathrm{0,2}$, la nueva probabilidad a posteriori es $\mathrm{0,08325}\mathrm{/}(\mathrm{0,08325}+\mathrm{0,0368})\approx \mathrm{0,693}$. La enumeración puede ejecutarse en profundidad con poca memoria, pero visita un número exponencial de asignaciones ocultas y repite cálculos parciales.

La enumeración repite trabajo porque muchos mundos completos comparten el mismo cálculo parcial. La eliminación de variables (VE) almacena estos resultados parciales como factores y los reutiliza. Calcula la misma distribución a posteriori exacta en un orden aritmético diferente.

Factores, productos y evidencia

Un factor asigna números no negativos a las asignaciones de sus variables. Las CPT son factores iniciales, pero los factores intermedios no tienen que sumar 1. Aplica la evidencia conservando el valor observado. Para la evidencia de retraso, $P(l\mid T)$ es un factor sobre el tráfico con entradas 0,6 y 0,1.

El producto de factores multiplica las entradas correspondientes y usa la unión de sus conjuntos de variables. Multiplicar $P(A)$ y $P(T\mid R,A)$ da un factor sobre lluvia, accidente y tráfico. Eliminar por suma el accidente consiste en sumar las entradas que solo difieren en el valor del accidente.

Para cada variable oculta, multiplica todos los factores que la contienen, elimínala por suma y sustituye esos factores por el resultado. Conserva los factores que no la mencionan. Al final, multiplica los factores restantes y normaliza sobre los valores de la consulta.

Elimina el accidente y después el tráfico

Para $P(R\mid l)$, elimina la hoja no observada del paraguas. Comienza con $P(R)$, $P(A)$, $P(T\mid R,A)$ y $P(l\mid T)$. Eliminar el accidente da

Sus valores para tráfico verdadero son $f_1(r,t)=\mathrm{0,1}(\mathrm{0,95})+\mathrm{0,9}(\mathrm{0,7})=\mathrm{0,725}$ y $f_1(\mathrm{\neg }r,t)=\mathrm{0,1}(\mathrm{0,8})+\mathrm{0,9}(\mathrm{0,2})=\mathrm{0,26}$. Los valores para tráfico falso son 0,275 y 0,74.

Ahora elimina el tráfico:

Esto da $f_2(r)=\mathrm{0,725}(\mathrm{0,6})+\mathrm{0,275}(\mathrm{0,1})=\mathrm{0,4625}$ y $f_2(\mathrm{\neg }r)=\mathrm{0,26}(\mathrm{0,6})+\mathrm{0,74}(\mathrm{0,1})=\mathrm{0,23}$. Al multiplicar por la probabilidad a priori de lluvia se obtiene $⟨\mathrm{0,0925};\mathrm{0,184}⟩$. Divide por 0,2765 para obtener $⟨\mathrm{0,335};\mathrm{0,665}⟩$.

Eliminar primero el tráfico también funciona. El factor $g(R,A)={\sum }_{t^{\mathrm{\prime }}}P(t^{\mathrm{\prime }}\mid R,A)P(l\mid t^{\mathrm{\prime }})$ tiene las entradas 0,575, 0,45, 0,5 y 0,2. Al ponderar después por la probabilidad a priori de accidente se obtienen las mismas dos verosimilitudes del retraso.

Elige un orden que mantenga pequeños los factores

Un factor sobre $k$ variables con $d$ valores tiene $d^k$ entradas. El mayor ámbito intermedio suele dominar el costo. Supón que la variable oculta $Z$ apunta a variables booleanas $X_1,\dots ,X_n$, cada una con un hijo observado $Y_i$, y que la consulta es $X_n$. Eliminar primero $Z$ multiplica una tabla sobre $Z,X_1,\dots ,X_n$ y después deja $2^n$ entradas. Eliminar primero las demás $X_i$ reduce cada rama a un factor sobre $Z$; el mayor ámbito del producto es solo $Z,X_i$, con cuatro entradas.

Un poliárbol tiene como máximo un camino no dirigido entre dos nodos cualesquiera. Con un buen orden, la inferencia es lineal respecto al tamaño total de las CPT. La inferencia exacta general y la búsqueda del orden óptimo de eliminación son NP-difíciles. Una heurística práctica elige una variable que cree un factor pequeño en el siguiente paso. Conserva la variable de consulta hasta la normalización. Multiplicar todo un factor por una constante positiva deja sin cambios la respuesta normalizada.

Cuando las sumas exactas son demasiado costosas, un agente puede simular asignaciones y estimar probabilidades a partir de sus frecuencias. El muestreo produce una aproximación cuya calidad depende de cuánta información útil contienen las extracciones.

Convierte un número aleatorio en un valor

Genera un número uniforme $u$ de $[0,1)$. Divide ese intervalo en partes con longitudes iguales a las probabilidades. Para las probabilidades del tiempo $⟨\mathrm{0,5};\mathrm{0,3};\mathrm{0,2}⟩$, el sol ocupa $[0;\mathrm{0,5})$, las nubes $[\mathrm{0,5};\mathrm{0,8})$ y la lluvia $[\mathrm{0,8};1)$. Una extracción de 0,63 da nubes. Para una variable booleana, elige verdadero si el número extraído es menor que su probabilidad de verdadero.

Muestrea los padres antes que los hijos

El muestreo a priori visita las variables en orden topológico. Cada nodo se muestrea a partir de la fila de la CPT seleccionada por los valores muestreados de sus padres. La expresión «a priori» se refiere a extraer muestras de la red antes de condicionar la población de muestras a la evidencia de la consulta.

En el modelo de desplazamiento, usa el orden $R,A,T,L,U$ y los números extraídos 0,13, 0,57, 0,40, 0,81 y 0,35:

1. Lluvia es verdadero porque $\mathrm{0,13}<\mathrm{0,2}$.
2. Accidente es falso porque $\mathrm{0,57}\ge \mathrm{0,1}$.
3. Tráfico es verdadero porque $\mathrm{0,40}<P(t\mid r,\mathrm{\neg }a)=\mathrm{0,7}$.
4. Retraso es falso porque $\mathrm{0,81}\ge P(l\mid t)=\mathrm{0,6}$.
5. Paraguas es verdadero porque $\mathrm{0,35}<P(u\mid r)=\mathrm{0,9}$.

La asignación es $(r,\mathrm{\neg }a,t,\mathrm{\neg }l,u)$. Su probabilidad de generación es $\mathrm{0,2}(\mathrm{0,9})(\mathrm{0,7})(\mathrm{0,4})(\mathrm{0,9})=\mathrm{0,04536}$, exactamente su probabilidad según la distribución conjunta de la red. Muestrear un hijo antes que sus padres dejaría sin determinar la fila de la CPT necesaria.

Estima probabilidades a partir de recuentos

La fracción de muestras a priori con retraso estima $P(l)$, que es 0,2765 en este modelo. El estimador es consistente: al crecer el número de extracciones independientes, converge a la probabilidad real. Una ejecución más larga todavía puede fluctuar. El error típico de muestras independientes varía como $1\mathrm{/}\sqrt{N}$, por lo que cuadruplicar las muestras reduce aproximadamente el error a la mitad; duplicarlas no lo hace.

Condiciona con muestreo por rechazo

El muestreo por rechazo genera asignaciones a priori y descarta las que contradicen la evidencia. Cuenta los valores de la consulta solo entre las asignaciones conservadas. Por ejemplo, supón que 280 de 1000 asignaciones tienen retraso y que 94 de ellas también tienen lluvia. Entonces $P(r\mid l)\approx 94\mathrm{/}280\approx \mathrm{0,336}$. Dividir por 1000 estimaría, en cambio, el suceso conjunto de lluvia y retraso.

Una muestra puede abandonarse en cuanto entre en conflicto con una observación, ahorrando el resto del trabajo de simulación. La fracción esperada conservada sigue siendo $P(e)$. El retraso por sí solo conserva aproximadamente el 28 %; el retraso con paraguas conserva alrededor del 12 %, ya que $P(l,u)=\mathrm{0,12005}$. Muchas observaciones pueden hacer que la combinación de evidencias sea poco frecuente aunque cada observación sea habitual por sí sola. Si ninguna muestra sobrevive, la estimación condicionada no está definida y se necesita un muestreo más útil.

El muestreo por rechazo dedica tiempo a crear asignaciones que no puede usar. La ponderación por verosimilitud mantiene fija cada variable de evidencia y compensa mediante un peso. Las muestras cuyos valores ocultos hacen probable la evidencia contribuyen más.

Construye una asignación ponderada

Comienza cada muestra con peso 1. Visita los nodos en orden topológico. Muestrea un nodo que no sea de evidencia usando los valores actuales de sus padres. En un nodo de evidencia, conserva su valor observado y multiplica el peso por la probabilidad de ese valor en la CPT:

Solo las probabilidades de la evidencia entran en este peso. Las probabilidades de los nodos muestreados ya determinan con qué frecuencia se generan sus asignaciones. Multiplicar esas probabilidades en el peso las contaría dos veces.

Dos muestras en el modelo de desplazamiento

Para $P(R\mid l,u)$, mantén verdaderos el retraso y el paraguas. Muestrea lluvia, accidente y tráfico. Las probabilidades de tráfico para $(r,a),(r,\mathrm{\neg }a),(\mathrm{\neg }r,a),(\mathrm{\neg }r,\mathrm{\neg }a)$ son 0,95, 0,7, 0,8 y 0,2, con probabilidades a priori $P(r)=\mathrm{0,2}$ y $P(a)=\mathrm{0,1}$.

Usar las extracciones 0,13, 0,57 y 0,40 da lluvia, ausencia de accidente y tráfico intenso. El retraso fijado aporta $P(l\mid t)=\mathrm{0,6}$; el paraguas fijado aporta $P(u\mid r)=\mathrm{0,9}$. El peso de la muestra es $\mathrm{0,6}(\mathrm{0,9})=\mathrm{0,54}$.

Las extracciones 0,66, 0,05 y 0,92 dan, en cambio, ausencia de lluvia, un accidente y ausencia de tráfico intenso. Las verosimilitudes de la evidencia son ahora $P(l\mid \mathrm{\neg }t)=\mathrm{0,1}$ y $P(u\mid \mathrm{\neg }r)=\mathrm{0,2}$, por lo que el peso es 0,02. Ambas muestras coinciden con la evidencia porque esos valores se fijaron, pero sus contribuciones difieren mucho.

Normaliza pesos, no recuentos de muestras

Estima una probabilidad de consulta mediante

La estimación de lluvia con dos muestras es $\mathrm{0,54}\mathrm{/}(\mathrm{0,54}+\mathrm{0,02})\approx \mathrm{0,964}$. Está lejos de la probabilidad a posteriori exacta de aproximadamente 0,693; dos extracciones son demasiado pocas para representar las asignaciones ocultas relevantes. Con muchas extracciones, la razón ponderada converge a la distribución a posteriori. Dividir 0,54 por dos no produciría una estimación de probabilidad condicionada.

La corrección funciona porque multiplicar la probabilidad de muestreo por el peso de la evidencia recupera el producto conjunto completo. La normalización elimina la probabilidad de la evidencia compartida y deja la distribución condicionada.

Reconoce la concentración de los pesos

La evidencia fija afecta a cómo se muestrean sus descendientes, ya que estos usan esa evidencia en las filas de sus padres. Las variables anteriores siguen extrayéndose sin recibir información de observaciones posteriores. Si una evidencia poco frecuente está en nodos hoja, la mayoría de las asignaciones anteriores pueden explicarla mal. Sus pesos son diminutos y unas pocas asignaciones pueden dominar el resultado.

La ponderación por verosimilitud suele usar el cálculo de forma más eficiente que el muestreo por rechazo, pero «ninguna muestra rechazada» no significa que las muestras sean igual de informativas. Una ejecución larga con pesos muy desiguales todavía puede dar una estimación inestable. Examina qué asignaciones aportan el peso total al comparar resultados de distintas ejecuciones.

El muestreo de Gibbs mantiene una asignación completa y cambia una variable que no es de evidencia cada vez. Cada cambio se extrae de la distribución condicionada de la variable dados los valores actuales de todas las demás. La secuencia forma un muestreador de Monte Carlo mediante cadenas de Markov, o MCMC.

Inicia una cadena y mantén fija la evidencia

Fija la evidencia en sus valores observados e inicializa las variables restantes. Si hay ceros deterministas, comienza con una asignación compatible con la evidencia y con probabilidad conjunta positiva. Elige una variable que no sea de evidencia para actualizarla, calcula una probabilidad para cada uno de sus valores posibles, normaliza y extrae el nuevo valor. Todos los demás valores permanecen en su lugar durante ese paso. Repetir este proceso permite que la evidencia afecte tanto a las creencias sobre variables anteriores como posteriores.

Solo se necesita el manto de Markov del nodo seleccionado: sus padres, hijos y los otros padres de sus hijos. Los factores fuera de ese manto no cambian cuando cambia el valor seleccionado, por lo que se cancelan al normalizar. La fórmula local es

Los hijos conservan sus valores actuales mientras se prueba cada valor candidato del padre seleccionado. Por tanto, sus entradas de la CPT pueden cambiar aunque los propios hijos no se vuelvan a muestrear.

Actualiza la lluvia en el modelo de desplazamiento

Mantén verdaderos el retraso y el paraguas. Supón que el estado oculto actual es ausencia de lluvia, ausencia de accidente y tráfico intenso. El manto de la lluvia es tráfico, paraguas y accidente. Para lluvia verdadera, la puntuación local es

Para lluvia falsa, la puntuación es $\mathrm{0,8}(\mathrm{0,2})(\mathrm{0,2})=\mathrm{0,032}$. Al normalizar se obtiene $P(r\mid \text{manto})=\mathrm{0,126}\mathrm{/}\mathrm{0,158}\approx \mathrm{0,797}$. Por tanto, una extracción uniforme de 0,40 cambia lluvia a verdadero. El factor del retraso está ausente de esta actualización porque el tráfico permanece fijo y ese factor es constante para los dos valores candidatos de lluvia.

Actualiza el tráfico con el nuevo valor de lluvia

El manto del tráfico es lluvia, accidente y retraso. Sus dos puntuaciones son $\mathrm{0,7}(\mathrm{0,6})=\mathrm{0,42}$ para tráfico intenso y $\mathrm{0,3}(\mathrm{0,1})=\mathrm{0,03}$ para ausencia de tráfico intenso. Así, su probabilidad de verdadero es $\mathrm{0,42}\mathrm{/}\mathrm{0,45}\approx \mathrm{0,933}$. Para una actualización del accidente con lluvia y tráfico intenso fijos, la probabilidad de verdadero es $\mathrm{0,095}\mathrm{/}(\mathrm{0,095}+\mathrm{0,63})\approx \mathrm{0,131}$.

Cuenta estados y deja tiempo para la mezcla

Después de cada actualización, la asignación completa puede contar como una muestra, incluido un paso que deja sin cambios el valor seleccionado. Descarta un periodo de calentamiento inicial para reducir la influencia de la inicialización. La frecuencia de lluvia a largo plazo se aproxima a 0,693 para esta consulta cuando la cadena converge.

Los estados adyacentes comparten casi todos sus valores y están correlacionados. Contienen menos información independiente que el mismo número de extracciones independientes. Con todas las entradas de las CPT estrictamente entre 0 y 1, actualizaciones repetidas adecuadas pueden alcanzar todos los estados y converger a la distribución a posteriori. Las restricciones deterministas pueden atrapar una cadena que actualiza una sola variable; las relaciones casi deterministas pueden hacer que avance muy lentamente.

El muestreo a priori extrae de la conjunta; el rechazo filtra esas extracciones; la ponderación por verosimilitud fija la evidencia y pondera las asignaciones; Gibbs actualiza repetidamente un estado con evidencia fija. Condicionar solo a los padres convertiría una actualización de Gibbs en una distribución local incorrecta al omitir la evidencia de los hijos.

Las probabilidades describen lo que puede ocurrir; las utilidades describen lo deseables que son los resultados. Una función de utilidad asigna números mayores a los resultados preferidos. Una acción incierta es una lotería, que enumera los resultados y sus probabilidades.

Calcula el promedio de utilidad entre los resultados posibles

La utilidad esperada de una acción es

Multiplica la utilidad de cada resultado por su probabilidad y suma. La máxima utilidad esperada (MEU) elige la acción con el mayor resultado. El resultado con la mayor utilidad individual no tiene por qué pertenecer a la mejor acción, y el resultado más probable por sí solo no determina la elección. Una decisión acertada puede aun así producir un mal resultado por azar.

Por qué las preferencias coherentes respaldan la MEU

La teoría de la utilidad usa estos requisitos de racionalidad:

• Comparabilidad: pueden compararse dos loterías cualesquiera, admitiendo la indiferencia.
• Transitividad: preferir A a B y B a C implica preferir A a C.
• Continuidad: un resultado intermedio puede igualarse con una lotería entre resultados mejores y peores.
• Sustituibilidad: un resultado o lotería indiferente puede sustituir a otro dentro de una lotería mayor.
• Monotonicidad: entre loterías con los mismos resultados mejor y peor, se prefiere la mayor probabilidad del resultado mejor.
• Descomponibilidad: una lotería sobre loterías se reduce a las probabilidades de sus resultados finales.

El resultado de von Neumann–Morgenstern representa mediante utilidad esperada las preferencias que satisfacen estos requisitos. Las preferencias cíclicas violan la transitividad. Si un agente paga una pequeña cantidad para pasar de B a A, de A a C y de C a B, los intercambios repetidos lo devuelven a su posición original mientras agotan su dinero. Este es el problema de la «bomba de dinero».

El dinero y la utilidad pueden ordenar las loterías de forma diferente

Compara un pago seguro de 400 u.m. con un 50 % de probabilidad de 1000 u.m. y un 50 % de probabilidad de cero. El dinero esperado favorece la lotería, cuya media es 500 u.m. Sin embargo, para $U(x)=\sqrt{x}$, la utilidad esperada de la lotería es $\mathrm{0,5}\sqrt{1000}+\mathrm{0,5}\sqrt{0}\approx \mathrm{15,81}$, mientras que el pago seguro da 20. Este agente elige 400 u.m.

El equivalente cierto es la cantidad segura con la utilidad de la lotería. Aquí es $(\mathrm{0,5}\sqrt{1000}{)}^2=250$ u.m. La diferencia entre el dinero esperado y el equivalente cierto es la prima de riesgo, 250 u.m. en este ejemplo.

Con una utilidad cóncava, una cantidad segura igual a la media es al menos tan deseable como la lotería con esa media. La concavidad estricta hace que esa preferencia sea estricta para una lotería no trivial. Una opción arriesgada suficientemente favorable aun así puede superar a una cantidad segura de menor valor.

Cambia de escala sin cambiar las preferencias

Sustituir la utilidad por $U^{\mathrm{\prime }}(s)=kU(s)+c$ con $k>0$ conserva todas las comparaciones de utilidad esperada. Cada esperanza recibe la misma escala positiva y el mismo desplazamiento. Una transformación creciente general conserva el orden de los resultados ciertos, pero puede cambiar el orden de las loterías.

Al comparar varios atributos deseables, una opción al menos igual de buena en todos los atributos y mejor en al menos uno domina a la otra. Con preferencias que valoran esas mejoras, la opción dominada puede eliminarse sin especificar los pesos exactos de los atributos.

Una red de decisión, también llamada diagrama de influencia, combina un modelo de probabilidad con elecciones y preferencias. Resolverla requiere tanto inferir los estados inciertos como comparar las acciones disponibles para el agente.

Interpreta los tres tipos de nodos

Los nodos de azar, generalmente óvalos, tienen tablas de probabilidades. Los nodos de decisión, generalmente rectángulos, representan acciones que controla el agente. Los nodos de utilidad, generalmente rombos, asignan utilidad a combinaciones de valores de los padres. Una flecha que entra en un nodo de decisión identifica información disponible cuando se toma la decisión. No es una dependencia ordinaria de probabilidad condicionada.

Para un evento al aire libre, la lluvia influye en un pronóstico y en la utilidad del evento. La acción también influye en la utilidad. El pronóstico apunta a la decisión cuando se observa antes de que la persona organizadora elija. No hay ninguna flecha de la acción a la lluvia: trasladarse al interior no cambia el tiempo.

Resuelve sin pronóstico

Supón que $P(rain)=\mathrm{0,3}$ y usa esta tabla de utilidad:

Las utilidades esperadas son $EU(outdoors)=\mathrm{0,7}(100)+\mathrm{0,3}(0)=70$ y $EU(indoors)=\mathrm{0,7}(60)+\mathrm{0,3}(70)=63$. Sin más información, elige el aire libre y la MEU es 70. El nodo de decisión recibe un valor elegido, no una tabla de probabilidades para promediar sobre las acciones.

Incorpora un pronóstico

Sean $P(wet\mid rain)=\mathrm{0,8}$ y $P(wet\mid \mathrm{\neg }rain)=\mathrm{0,1}$. La probabilidad de un pronóstico lluvioso es $\mathrm{0,8}(\mathrm{0,3})+\mathrm{0,1}(\mathrm{0,7})=\mathrm{0,31}$. La regla de Bayes da $P(rain\mid wet)=\mathrm{0,24}\mathrm{/}\mathrm{0,31}\approx \mathrm{0,774}$. Un pronóstico seco da $P(rain\mid dry)=\mathrm{0,06}\mathrm{/}\mathrm{0,69}\approx \mathrm{0,087}$.

Con un pronóstico lluvioso, el aire libre tiene una utilidad esperada de aproximadamente 22,6 y el interior de aproximadamente 67,7, por lo que se elige el interior. Con un pronóstico seco, el aire libre da aproximadamente 91,3 y el interior aproximadamente 60,9, por lo que se elige el aire libre. Usa la distribución a posteriori después de una observación; conservar la probabilidad a priori descartaría la información que aporta el pronóstico.

La política resultante es «Elige el interior tras un pronóstico lluvioso; elige el aire libre tras uno seco». Una política asigna acciones a observaciones, por lo que puede especificarse antes de que llegue la observación. Una acción es la elección concreta que se toma una vez que su información está disponible.

Encuentra dónde cambia la elección

Sea $p$ la probabilidad actual de lluvia. Entonces $EU(outdoors)=100(1-p)$ y $EU(indoors)=60(1-p)+70p=60+10p$. Al igualarlas se obtiene $40=110p$, o $p=4\mathrm{/}11\approx \mathrm{0,364}$. Por debajo de este umbral elige el aire libre; por encima, el interior; en el umbral las acciones empatan.

Para resolver otra red de decisión, fija la evidencia actual, considera cada acción por turno, infiere la distribución de azar relevante para la utilidad y calcula su utilidad esperada. Si una acción cambia un resultado incierto, incluye los efectos de esa acción en el modelo de probabilidad antes de comparar las esperanzas. Por último, selecciona la mejor acción por separado para cada observación posible que recibirá la política.

Una observación es valiosa cuando ayuda al agente a elegir una acción mejor. El valor de la información perfecta (VPI) mide la mejora esperada de conocer el valor de una variable antes de actuar. «Perfecta» describe el acceso al valor real de esa variable; la propia variable puede ser un pronóstico imperfecto de otra cosa.

Optimiza dentro de cada observación posible

Dada la evidencia actual $e$, el valor de observar $E^{\mathrm{\prime }}$ es

Primero encuentra la mejor utilidad esperada de decidir ahora. Después, para cada observación posible, actualiza las probabilidades y elige la mejor acción para esa observación. Calcula el promedio de estas utilidades optimizadas usando las probabilidades de las observaciones. Resta la MEU actual. Elegir primero una acción y después calcular el promedio pasaría por alto la capacidad de adaptar la acción.

Valora el pronóstico y el tiempo

Para el modelo del evento, elegir el aire libre sin pronóstico da una MEU de 70. Los pronósticos lluviosos ocurren con probabilidad 0,31 y conducen al interior, con una MEU de aproximadamente 67,74. Los pronósticos secos ocurren con probabilidad 0,69 y conducen al aire libre, con una MEU de aproximadamente 91,30. Usando valores exactos se obtiene

Así, $VPI(F)=84-70=14$ unidades de utilidad. Un costo expresado como pérdida de utilidad inferior a 14 hace que valga la pena obtener el pronóstico; con 14 el agente es indiferente. Un precio en dinero debe evaluarse primero en la escala de utilidad del agente.

Conocer el tiempo mismo es más útil. La lluvia conduce al interior con utilidad 70; la ausencia de lluvia conduce al aire libre con utilidad 100. El promedio es $\mathrm{0,3}(70)+\mathrm{0,7}(100)=91$, por lo que $VPI(Rain)=91-70=21$.

Por qué la información tiene un valor esperado no negativo

El agente siempre puede ignorar la información gratuita y mantener su acción original. Por tanto, optimizar después de observar nunca puede reducir la utilidad esperada antes de conocer la observación. Si la misma acción es la mejor para cada resultado posible, la información tiene valor cero. La información independiente de todas las variables de azar relevantes para la utilidad, dada la evidencia actual, también tiene valor cero en este modelo de decisión.

Un resultado particular aun así puede ser desfavorable. Después de un pronóstico lluvioso, la MEU es aproximadamente 67,7, por debajo de los 70 anteriores. La no negatividad se refiere al promedio de todos los resultados antes de verlos.

Combina información sin contarla dos veces

El VPI generalmente no es aditivo. El pronóstico por sí solo vale 14 y el tiempo por sí solo 21, pero conocer ambos vale 21 porque el pronóstico no añade nada después de conocer el tiempo.

Después de un pronóstico lluvioso, conocer el tiempo añade aproximadamente 9,03; después de uno seco, añade aproximadamente 6,09. Antes de ver el pronóstico, el valor adicional esperado es $\mathrm{0,31}(\mathrm{9,03})+\mathrm{0,69}(\mathrm{6,09})\approx 7$. Por tanto, la ganancia conjunta es $14+7=21$, igual que conocer primero el tiempo y después añadir cero. El total no depende del orden cuando todas las observaciones preceden a la acción y cada ganancia posterior se evalúa usando la información anterior.

Un agente que recopila información puede elegir repetidamente la observación con el mayor VPI menos costo positivo y después actuar cuando ya no quede ninguna que valga la pena. Esta estrategia miope evalúa una observación cada vez. Dos observaciones pueden ser útiles juntas aunque ninguna por sí sola cambie la mejor acción, por lo que la selección voraz puede pasar por alto un par valioso.