Symmetrie: eigenschappen van figuren en symmetrieassen

Ga met je vinger langs de rand van een driehoek. Je volgt drie rechte zijden en komt terug bij je beginpunt. Dat maakt de driehoek een veelhoek: een vlakke, gesloten figuur met alleen rechte zijden.

Is de omtrek een veelhoek?

Controleer twee dingen. Sluiten alle zijden op elkaar aan, zonder opening? Is elke zijde recht? Een vierkant voldoet aan beide. Een cirkel heeft geen rechte zijden. Een halve cirkel heeft een rechte zijde, maar ook een gebogen rand. Het is geen veelhoek. Een bijna afgemaakte driehoek met een opening is open en dus niet gesloten.

Een hoekpunt is een punt waar twee zijden samenkomen. Zijn het er meer dan één, dan noem je ze hoekpunten. Elke keer dat je bij een nieuwe zijde komt, ga je een hoekpunt voorbij. Een veelhoek heeft evenveel zijden als hoekpunten.

Geef de figuur een naam

Vierkanten en rechthoeken horen allebei bij de vierhoeken. De naam vertelt je dat ze vier zijden hebben. Bij een “driehoek” kun je aan de drie wielen van een driewieler denken. Bij een “achthoek” kun je aan de acht armen van een octopus denken.

Tel één keer rond

Stel je een vlakke figuur voor met zeven rechte zijden van verschillende lengtes.

1. Zet een kleine stip op één zijde.
2. Volg de omtrek in één richting en tel elke zijde.
3. Stop voordat je de gemarkeerde zijde opnieuw telt.
4. Tel de hoeken om te controleren. Je moet er zeven vinden.

Zeven zijden maken samen een zevenhoek. De zijden hoeven niet even lang te zijn.

Let ook op hoeken die naar binnen wijzen. Een L-vormige omtrek heeft zes zijden en is dus een zeshoek. Een pijlpunt met vier zijden is een vierhoek. De omtrek van een vijfpuntige ster heeft tien zijden: vijf hoeken wijzen naar buiten en vijf naar binnen. Het is een tienhoek, geen vijfhoek.

Als je een veelhoek draait of omkeert, blijven de zijden en hoeken gelijk. Een vierkant dat op een hoek staat, is nog steeds een vierkant. Misschien hoor je iemand zeggen dat het “op zijn punt” staat. Tel en controleer de onderdelen om de wiskundige naam te vinden.

Twee figuren kunnen allebei vier zijden hebben en toch verschillend zijn. Kijk naar de lengtes van hun zijden en de grootte van hun hoeken.

Vergelijk de zijden

Leg het streepje bij 0 van een liniaal aan het ene uiteinde van een zijde. Lees de lengte af bij het andere uiteinde. Meet elke zijde in dezelfde eenheid, zoals inches of centimeters. Het uiteinde van de liniaal is misschien niet het streepje bij 0, dus controleer waar je begint.

Bij een rechthoek met zijden van 6 cm, 3 cm, 6 cm en 3 cm zijn de overstaande zijden even lang. De twee lange zijden zijn even lang. De twee korte zijden zijn even lang. Dezelfde kleine streepjes in een tekening laten ook zien welke zijden even lang zijn.

Controleer een rechte hoek

Een hoek als de hoek van een vel papier heeft zijden die precies langs de randen van die papierhoek passen. In de wiskunde heet zo’n hoek een rechte hoek. Leg de hoek van het papier in de hoek van de figuur. Beide randen van het papier moeten precies langs de zijden van de figuur lopen. Een smallere of wijdere hoek past niet.

Hoeken kunnen even groot zijn zonder recht te zijn. Om twee hoeken te vergelijken, trek je er één over op dun papier. Leg die over de andere hoek. Als de hoeken even groot zijn, vallen hun benen precies op elkaar.

Controleer beide eigenschappen bij regelmatige figuren

Een regelmatige veelhoek heeft zijden die allemaal even lang zijn en hoeken die allemaal even groot zijn. Een vierkant voldoet aan beide eisen. Een gelijkzijdige driehoek, met drie gelijke zijden, ook. Een regelmatige achthoek van een stopbord heeft acht gelijke zijden en acht gelijke hoeken.

Kijk eens naar een rechthoek die langer is dan hij breed is. De hoeken zijn allemaal even groot, maar de lange en korte zijden verschillen. De rechthoek is onregelmatig: hij is niet regelmatig.

Kijk nu naar een ruit zonder rechte hoeken. Alle vier de zijden zijn even lang. Sommige hoeken zijn wijder dan andere, dus ook deze figuur is onregelmatig. Alleen gelijke zijden zijn niet genoeg.

Een onregelmatige figuur kan nog steeds vouwen hebben waarbij de helften op elkaar passen. Een lange rechthoek is onregelmatig en heeft twee symmetrieassen. Een regelmatige veelhoek heeft evenveel symmetrieassen als zijden: een regelmatige zeshoek heeft er zes.

Een eigenschap is iets aan een figuur wat je kunt controleren. Het aantal zijden, gelijke lengtes en rechte hoeken zijn eigenschappen. Ze helpen je een figuur te beschrijven aan iemand die de figuur niet kan zien.

Teken volgens een plan

Je kunt een rechthoek tekenen op ruitjespapier. Begin bij een roosterpunt.

1. Teken met een liniaal vier hokjes opzij.
2. Teken twee hokjes omhoog.
3. Teken vier hokjes terug.
4. Teken twee hokjes omlaag naar je beginpunt.

De omtrek is gesloten. De overstaande zijden zijn even lang en de vier hoeken zijn recht.

Teken voor een vijfhoek in de vorm van een huis een vierkant met een driehoekig dak. Maak de twee schuine zijden van het dak even lang. Trek alleen de buitenste omtrek over. De lijn onder het dak ligt binnen de afbeelding en is dus geen buitenste zijde. Je telt vijf zijden en vijf hoekpunten.

Geef bruikbare aanwijzingen

Probeer deze beschrijving: “Mijn figuur heeft vier gelijke zijden en vier rechte hoeken.” Die aanwijzingen beschrijven een vierkant. Bij “Mijn figuur heeft vier zijden” blijven veel figuren over. Met een extra aanwijzing help je de ander kiezen.

De kleur, grootte of stand van een figuur verandert niet wat voor figuur het is. Een piepklein groen vierkant en een groot schuin vierkant zijn allebei vierkanten.

Controleer beide sorteerregels

Een venndiagram heeft overlappende cirkels. Schrijf bij de ene cirkel “heeft 4 zijden” en bij de andere “heeft een rechte hoek”.

• Een vierkant voldoet aan beide regels. Leg het in de overlap.
• Een ruit zonder rechte hoeken voldoet alleen aan de regel over vier zijden.
• Een driehoek met een rechte hoek voldoet alleen aan de regel over de hoek.
• Een gelijkzijdige driehoek voldoet aan geen van beide regels. Leg die buiten beide cirkels.

Een sorteertabel kan dezelfde twee vragen gebruiken. Geef bij elke vraag de keuzes “ja” en “nee”. Controleer beide vragen voordat je een vak kiest.

Klopt de regel voor de hele groep?

“Elke driehoek heeft drie hoekpunten” klopt voor elke driehoek, hoe die ook gedraaid is. Maar “elke vierhoek heeft vier gelijke zijden” klopt niet. Een lange rechthoek is een vierhoek en de zijden zijn niet allemaal even lang. Als je één figuur vindt waarvoor de regel niet klopt, is dat genoeg om te laten zien dat de regel onjuist is.

Vouw een papieren hart door het midden. De twee helften vallen precies op elkaar. De vouw is een symmetrieas, ook wel een spiegelas genoemd. Een figuur met zo’n lijn is symmetrisch.

Probeer de vouwtest

Trek een figuur over op dun papier of knip de omtrek uit. Kies een lijn om te controleren. Vouw langs die lijn en druk het papier plat. Controleer de zijden en hoeken. Elk deel van de ene helft moet precies op het bijbehorende deel van de andere helft liggen. Een hoek die uitsteekt, laat zien dat de lijn niet klopt.

Een spiegelpunt ligt aan de andere kant, even ver van de lijn. Een punt op de lijn valt samen met zichzelf.

Probeer de spiegeltest

Zet een kleine spiegel rechtop op de lijn die je hebt gekozen. Kijk naar de helft ervoor en de helft die je in de spiegel ziet. Samen moeten ze er precies zo uitzien als de hele figuur. Ziet de afbeelding er anders uit, dan doorstaat deze lijn de test niet.

Gelijke stukken zijn niet altijd spiegelhelften

Teken een lijn tussen tegenoverliggende hoeken van een lange rechthoek. Je krijgt twee driehoeken met dezelfde grootte en vorm. Maar als je langs die lijn vouwt, steken er delen uit. De driehoeken vallen niet op elkaar. Bij een symmetrieas moeten de helften door te vouwen op elkaar passen.

Controleer bij afbeeldingen zowel de binnenkant als de omtrek. Teken een gezicht met gelijke ogen en op maar één wang een rode vlek. De omtrek kan over het midden op zichzelf passen. De rode vlek heeft geen spiegelbeeld, dus de hele afbeelding doorstaat die symmetrietest niet.

Kijk om je heen

Een echte vlinder, een echt blad of gezicht heeft vaak helften die bijna op elkaar passen. Door kleine verschillen is het bijna symmetrisch. Een zorgvuldig getekende vlinder kan precies op zichzelf passen.

Bij vlaggen kun je ontwerpen controleren. De vlag van Canada heeft één verticale lijn door het esdoornblad. De rode cirkel in het midden en de witte rechthoek van de Japanse vlag hebben twee lijnen: één verticale en één horizontale. De vlag van de Verenigde Staten heeft er geen. Het blauwe vak met sterren linksboven heeft geen overeenkomstig vak aan de andere kant van een mogelijke vouw.

Een symmetrieas kan in elke richting lopen. Verticaal betekent recht van boven naar beneden. Horizontaal betekent recht van links naar rechts. Diagonaal betekent schuin.

Controleer verschillende richtingen

Leg een lange papieren rechthoek plat, met de lange zijden van links naar rechts. Vouw links op rechts: de helften passen op elkaar. Dat geeft een verticale spiegelas. Vouw het papier open en vouw dan boven op onder. Dat geeft een horizontale spiegelas. Vouwen van hoek tot hoek lukt niet, omdat de zijden niet op elkaar vallen.

Een vierkant heeft ook deze twee vouwen waarbij de helften op elkaar passen. Dat gebeurt ook als je tussen een van de twee paren tegenoverliggende hoeken vouwt. Dat zijn de twee diagonale symmetrieassen.

Draai het papier

Leg de lange rechthoek schuin. De twee spiegelassen draaien mee. Het zijn er nog steeds twee: door te draaien verandert de richting, niet het aantal.

Om een schuine lijn te controleren, draai je het papier totdat de lijn recht van boven naar beneden staat. Vergelijk nu links en rechts of vouw langs de lijn. Draai het papier na het controleren terug. Op ruitjespapier loopt een diagonale lijn vaak door roosterpunten en verdeelt hokjes doormidden.

Controleer letters en woorden

Teken een hoofdletter “T” in blokletters met even lange armen aan de bovenste balk. Bij een verticale vouw passen de helften op elkaar. Bij een horizontale vouw niet: de bovenste balk heeft onderaan geen spiegelbeeld.

Teken een hoofdletter “B” in blokletters met een even grote bovenste en onderste ronding. De helften passen op elkaar bij een horizontale lijn door het midden. Als je alleen naar een verticale lijn zoekt, mis je de symmetrie.

Bij letters hangt het ervan af hoe je ze tekent. Controleer de letter die je hebt getekend, ook de lengtes en vormen van de lijnen. Een “B” met een grotere onderste ronding doorstaat dezelfde vouwtest niet.

Bij woorden moeten de letters en hun plaatsen overeenkomen. Teken in “MAM” beide letters “M” hetzelfde, met symmetrische lijnen, rond een symmetrische “A” in het midden. Bij een verticale vouw vallen de twee letters “M” op elkaar en valt de “A” op zichzelf. Voor een horizontale vouw in “BOK” moet elke letter op zichzelf passen langs dezelfde horizontale middenlijn.

Een vouw waarbij de helften op elkaar passen, hoeft niet de enige te zijn. Controleer meer richtingen voordat je klaar bent met tellen. Teken elke lijn die klopt één keer met een liniaal. Een lijn heeft twee uiteinden, maar telt toch als één lijn.

Vergelijk driehoeken en vierhoeken

Bij een driehoek met drie gelijke zijden verbindt elke lijn een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde. Bij precies twee gelijke zijden begint de enige lijn die klopt, waar die gelijke zijden samenkomen.

Een vierkant heeft twee lijnen door het midden van de zijden en twee door tegenoverliggende hoekpunten. Een lange rechthoek heeft alleen de lijnen door het midden van de zijden. Een ruit die geen vierkant is, heeft zijn twee diagonale lijnen.

Een vlieger met twee gelijke korte zijden en twee gelijke lange zijden heeft één lijn. Die verbindt de hoekpunten waar de gelijke paren samenkomen. Een gelijkbenig trapezium, met precies één paar evenwijdige zijden en gelijke schuine zijden, heeft er ook één. Een schuin parallellogram met ongelijke aangrenzende zijden heeft er geen.

Gebruik de regel voor regelmatige veelhoeken

Een regelmatige veelhoek heeft evenveel spiegelassen als zijden. Een regelmatige vijfhoek heeft er vijf, een regelmatige zeshoek zes en een regelmatige achthoek acht.

Bij een oneven aantal zijden verbindt elke lijn een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde. Bij een even aantal verbindt de helft tegenoverliggende hoekpunten. De rest verbindt het midden van overstaande zijden. Een regelmatige zeshoek heeft er van elk drie.

Tel de zijden zorgvuldig en vraag je dan af of de veelhoek regelmatig is. Een L-vormige zeshoek met gelijke benen heeft zes zijden, maar maar één diagonale spiegelas. De regel voor regelmatige veelhoeken geldt niet voor die L.

En cirkels?

Elke rechte lijn door het middelpunt van een cirkel is een symmetrieas. Je kunt er altijd nog één tekenen. Een cirkel heeft oneindig veel symmetrieassen. Een halve cirkel heeft er maar één, door de gebogen bovenkant en het midden van de rechte zijde.

Je kunt ook sorteren op symmetrie. Schrijf bij cirkels “heeft 4 zijden” en “heeft een symmetrieas”. Een vierkant komt in de overlap. Een gelijkzijdige driehoek komt alleen in de cirkel voor symmetrie. Een driehoek zonder gelijke zijden komt buiten beide cirkels.

Een spiegeling is een even grote kopie die over een spiegelas is omgekeerd. Als je die naast de gegeven helft tekent, is de hele figuur symmetrisch in die lijn.

Tel vanaf een verticale lijn

Teken een verticale spiegelas langs een roosterlijn. Zet links ervan een hoekpunt op twee hokjes afstand. Zo vind je het spiegelpunt:

1. Blijf in dezelfde rij.
2. Tel twee hokjes naar de spiegelas.
3. Ga rechts nog twee hokjes verder.
4. Zet daar het spiegelpunt.

Tel de ruimten tussen de roosterlijnen, niet de lijnen zelf. Begin bij de spiegelas, niet bij de rand van het papier.

Maak een halve figuur af

Probeer een half huis. Zet A op de spiegelas, vier hokjes boven de onderkant. Zet B drie hokjes links van de lijn en twee hokjes boven de onderkant. Zet C drie hokjes naar links aan de onderkant. Zet D op de spiegelas aan de onderkant. Verbind A met B, B met C en C met D.

A en D blijven waar ze zijn, omdat ze op de lijn liggen. Zet het spiegelpunt van B drie hokjes naar rechts, op dezelfde hoogte als B. Zet het spiegelpunt van C drie hokjes naar rechts, aan de onderkant. Verbind A met het spiegelpunt van B, dan met het spiegelpunt van C en daarna met D.

Het afgemaakte huis heeft vijf hoekpunten. D ligt in het midden van de rechte onderzijde en is dus geen hoekpunt van de hele omtrek meer.

Spiegel over een horizontale lijn

Tel nu omhoog of omlaag. Een hoekpunt drie hokjes boven een horizontale lijn heeft een spiegelpunt drie hokjes eronder nodig. Blijf in dezelfde kolom. Zet alle spiegelpunten voordat je ze in dezelfde volgorde als de oorspronkelijke hoekpunten verbindt.

Keer figuren om en laat kleuren overeenkomen

Een tak die naar links van de lijn af wijst, wijst in het spiegelbeeld naar rechts. Als je de tekening opzij zou schuiven, zou de tak naar links blijven wijzen. Controleer de delen die de lijn raken: die moeten de lijn na het spiegelen nog steeds raken.

Gekleurde hokjes hebben een spiegelbeeld met dezelfde kleur nodig. Een blauw hokje dat links de lijn raakt, heeft een blauw hokje nodig dat de lijn rechts raakt. Zorg dat ook het aantal hokjes vanaf de lijn gelijk is. Vouw het papier of gebruik een spiegel om het afgemaakte patroon te controleren.

Je weg kruist een schuine spiegelas onder een rechte hoek, zoals de hoek van een vel papier. Ga aan beide kanten even ver. Op een rooster van vierkantjes kan je weg ook diagonaal lopen.

Volg de andere diagonale richting

Teken een spiegelas die schuin omhoog naar rechts door roosterpunten loopt. Zet een stip één diagonale stap omlaag en naar rechts vanaf een roosterpunt op die lijn.

Ga vanaf de stip omhoog naar links, over één hokje. Je bereikt de spiegelas. Ga nog één even grote diagonale stap omhoog naar links. Dat is het spiegelpunt. De weg kruist de spiegelas onder een rechte hoek.

Zet nu een stip één hokje recht naar rechts van een roosterpunt op de lijn. Het spiegelpunt ligt één hokje recht boven datzelfde roosterpunt. De weg omhoog naar links tussen de punten kruist de spiegelas in het midden van een hokje. Je gaat een halve diagonale stap naar de lijn en een halve stap er voorbij.

Tel bij een schuine lijn niet recht opzij alsof die verticaal staat. Draai het papier totdat de lijn verticaal is om de omkering te controleren. Je kunt de tekening en de lijn ook overtrekken op dun papier en de overgetrokken tekening langs de lijn omkeren.

Vul vier kwarten

Teken een verticale en een horizontale spiegelas die elkaar kruisen en langs roosterlijnen lopen. Ze verdelen het rooster in vier kwarten.

1. Maak een patroon in het kwart linksboven.
2. Spiegel het naar het kwart rechtsboven.
3. Spiegel de hele bovenste helft naar de onderste helft.

Als je eerste kwart drie gekleurde hokjes heeft, heeft elk hokje een bijpassend hokje in de andere drie kwarten nodig. Het afgemaakte ontwerp heeft twaalf gekleurde hokjes. Controleer beide lijnen: elk hokje moet over elke lijn heen op de juiste plaats liggen en de juiste kleur hebben.

Maak je eigen ontwerp

Begin met het tekenen van een spiegelas en teken en kleur dan aan één kant. Spiegel elk deel om je afbeelding af te maken.

Je kunt ook papier vouwen, een halve figuur tegen de vouw tekenen en die uitknippen. Vraag een volwassene om hulp met de schaar. Als je het papier openvouwt, passen de uitgeknipte helften op elkaar. Vouw twee keer, één keer in elke richting, om een ontwerp te maken met twee vouwen waarbij de helften op elkaar passen. Ook door verf tussen een dubbelgevouwen vel te drukken maak je een spiegelafdruk.

Een 3D-figuur, of ruimtelijke figuur, neemt ruimte in. De figuur heeft lengte, breedte en hoogte. Een vlak is een plat oppervlak. Een ribbe is een lijn waar twee vlakken samenkomen. Een hoekpunt is een punt waar ribben samenkomen.

Tel een kubus in groepen

Houd een kubus vast en zoek de vierkante vlakken. Er is er één boven, één onder en vier rondom: zes vlakken.

Volg daarna de ribben. Tel er vier rond de bovenkant, vier rond de onderkant en vier van boven naar beneden. Dat zijn twaalf ribben.

Tel vier hoekpunten boven en vier onder: acht hoekpunten. Je kunt elk onderdeel na het tellen met een kleine sticker markeren. Een ribbe is een lijn; een hoekpunt is een punt.

Vergelijk bekende ruimtelijke figuren

Alle zes vlakken van een kubus zijn gelijke vierkanten. Een balk heeft rechthoekige vlakken; sommige kunnen vierkanten zijn. Een kubus is een bijzondere balk.

Een recht prisma heeft twee gelijke eindvlakken in de vorm van een veelhoek, die door rechthoeken zijn verbonden. Tel bij een driehoekig prisma twee driehoekige eindvlakken en drie rechthoekige vlakken. Tel drie ribben rond elk eindvlak en dan drie verbindende ribben: negen. Er zijn drie hoekpunten op elk eindvlak: zes. Een recht prisma met vijfhoeken als eindvlakken heeft vijf rechthoekige vlakken en twee eindvlakken, samen zeven vlakken.

Een piramide heeft een grondvlak in de vorm van een veelhoek en driehoeken die in één top samenkomen. Een vierkante piramide heeft één vierkant grondvlak en vier driehoekige vlakken. Tel vier ribben van het grondvlak en vier die omhoog naar de top lopen: acht. Tel vier hoekpunten van het grondvlak en de top: vijf hoekpunten. Een driehoekige piramide heeft vier driehoekige vlakken.

Tel de verborgen onderdelen mee

Draai een ruimtelijke figuur terwijl je telt. In een tekening zijn sommige onderdelen erachter verborgen. Stippellijnen kunnen verborgen ribben laten zien. Een kubus heeft nog steeds zes vlakken, ook als je er maar drie op de afbeelding ziet.

Bij deze ruimtelijke figuren hoort elke ribbe bij twee vlakken. Als je alle vier de zijden van elk vlak van een kubus telt, krijg je vierentwintig, omdat je elke ribbe twee keer telt. Volg de ribben op de hele figuur om ze elk één keer te tellen.

Een bal en een blik hebben gebogen delen die een doos niet heeft. Voel of stel je voor hoe het oppervlak om elk voorwerp heen buigt.

Vergelijk ruimtelijke figuren met gebogen oppervlakken

De punt van de kegel is zijn hoekpunt, ook wel zijn top genoemd. De ronde rand is de plaats waar het platte vlak en het gebogen oppervlak samenkomen. Een bol heeft geen verbindende rand en geen hoekpunt.

Een cilinder rolt op zijn gebogen oppervlak. Zet hem op een plat cirkelvormig vlak en je kunt er een andere cilinder bovenop stapelen. Een kubus of balk heeft ook een platte boven- en onderkant om te stapelen. Een kegel of piramide die op zijn grondvlak staat, heeft een puntige bovenkant.

Vind de vlakke figuren

Druk een vlak van een kubus in boetseerklei of trek het om. De afdruk is een vierkant. Een plat vlak van een cilinder maakt een cirkel. Een vierkante piramide geeft één vierkant en vier driehoeken. Een recht driehoekig prisma geeft twee driehoeken en drie rechthoeken.

Als je een ruimtelijke figuur draait, blijven de naam en onderdelen hetzelfde. Een liggende cilinder is nog steeds een cilinder. Een omgekeerde piramide is nog steeds een piramide. Een dobbelsteen lijkt op een kubus, een pak ontbijtgranen op een balk en een bal op een bol.

Bouw een ribbenmodel

Gebruik één stokje voor elke ribbe en één klein balletje klei voor elk hoekpunt. Een kubus heeft twaalf stokjes en acht balletjes nodig. Een vierkante piramide heeft acht stokjes en vijf balletjes nodig. Een driehoekig prisma heeft negen stokjes en zes balletjes nodig. De stokjes laten zien waar de vlakken zouden samenkomen; ze vullen de vlakken niet op.

Sorteer met twee regels

Maak overlappende cirkels met de opschriften “heeft een gebogen oppervlak” en “heeft een hoekpunt”.

• Zet een kegel in de overlap: die heeft beide.
• Zet een cilinder en een bol alleen in de cirkel voor het gebogen oppervlak.
• Zet kubussen, prisma’s en piramides alleen in de cirkel voor het hoekpunt.

Vergelijk ruimtelijke figuren één eigenschap tegelijk. Een kubus en een vierkante piramide hebben allebei een vierkant vlak. Hun andere vlakken en hun aantallen ribben en hoekpunten verschillen.