Lijngrafieken, tijdgrafieken en tabellen

Een lijngrafiek laat zien hoe een waarde verandert. Elke meetwaarde wordt een punt. Rechte lijnstukken verbinden de punten op volgorde. Als de tijd onderaan staat, kun je het ook een tijdgrafiek noemen. Je hoort misschien ook de namen “gebrokenlijngrafiek”, “trendgrafiek” of “tijdreeksgrafiek”.

Begin met de titel. “Temperatuur op ons schoolplein op 3 mei” vertelt je de plaats, de datum en wat er is gemeten. Bekijk de twee assen, de lijnen onderaan en aan de zijkant. De horizontale as heet ook de x-as. Die laat meestal de tijd zien. De verticale as, of y-as, laat de gemeten of getelde waarde zien.

De bijschriften vertellen wat elke as laat zien. De eenheid vertelt hoe een waarde is gemeten. Een bijschrift zoals “Hoogte (cm)” betekent centimeters. “Temperatuur (°C)” betekent graden Celsius. Een punt is als een geordend paar. In een plantengrafiek betekent $(3,9)$ week 3 en een hoogte van 9 cm. Lees eerst opzij en dan omhoog.

Bepaal één kleine stap

De schaalverdeling is de reeks getallen op een as. Gelijke afstanden staan voor gelijke hoeveelheden. Een schaalverdeling kan stappen van 2, 5, 10, 25 of 100 hebben. Een klein hokje betekent niet altijd 1.

Stel dat twee getallen naast elkaar 40 en 50 zijn. Daartussen liggen vijf gelijke tussenruimtes.

1. Bepaal het verschil: $50-40=10$.
2. Verdeel dat verschil over de vijf tussenruimtes: $10÷5=2$.
3. Tel vanaf 40 omhoog: 42, 44, 46, 48, 50.

Tel de tussenruimtes, niet de roosterlijnen eromheen. Vijf tussenruimtes hebben zes grenslijnen, inclusief beide uiteinden.

Gebruik nu een schaalverdeling met de getallen 0, 20, 40, 60 en 80. Tussen elk paar getallen liggen vier tussenruimtes. Elke tussenruimte is $20÷4=5$ waard. De roosterlijnen boven 40 zijn achtereenvolgens 45, 50 en 55. Een punt op de derde roosterlijn geeft 55 aan, ook al staat het getal 55 er niet bij.

Controleer waar de schaalverdeling begint. Een temperatuurschaal kan bij 4 °C beginnen. Een klein zigzagje, een scheurlijn genoemd, laat zien dat het stuk eronder is overgeslagen. De onderkant van die grafiek staat voor 4 °C, niet voor 0 °C.

Lees een schaalverdeling met grotere getallen af

Stel dat een bezoekersgrafiek de getallen 0, 100 en 200 heeft. Tussen 100 en 200 liggen vijf kleine tussenruimtes. Het verschil is 100 bezoekers, dus elke tussenruimte staat voor $100÷5=20$ bezoekers.

Een punt op de derde roosterlijn boven 100 geeft 160 bezoekers aan. Tel 120, 140 en dan 160. Je telt drie tussenruimtes vanaf een bekend getal. Als je bij 0 begint en drie tussenruimtes telt, kom je bij 60 uit, op een andere hoogte.

De twee assen kunnen verschillende stapgroottes hebben. Stel dat op deze grafiek twee horizontale hokjes voor één uur staan. Eén horizontaal hokje betekent dan een half uur, terwijl één verticaal hokje 20 bezoekers betekent. De betekenis van een hokje komt van de bijbehorende as.

Je kunt de kleine stappen naast de as zetten voordat je afleest. Schrijf boven 100 bij de volgende roosterlijn 120 en bij de daaropvolgende 140. Controleer of je met vijf stappen echt bij 200 uitkomt. Als je bij het tellen niet bij dat getal uitkomt, controleer dan het aantal tussenruimtes of de deling voordat je punten afleest.

Een getal staat naast een lijn, niet midden in een hokje. Daarom verdeel je de tussenruimtes tussen twee lijnen met een getal.

Stel je voor dat je een lijngrafiek tekent met deze meetwaarden van het schoolplein. De tijd staat onderaan. De temperatuur staat aan de zijkant, van 4 °C tot 20 °C. Elke kleine verticale stap is 1 °C.

Elke rij geeft één punt. Verbind opeenvolgende punten van links naar rechts.

Begin met een tijdstip

Zoek om “Hoe warm was het om 10.00 uur?” te beantwoorden onderaan 10.00 uur. Ga recht omhoog tot je het bijbehorende punt bereikt. Ga dan recht opzij naar de temperatuurschaal. Je komt uit bij 13 °C. Je kunt de laatste paar roosterlijnen controleren door 10, 11, 12, 13 te tellen.

Een liniaal of de rand van papier kan je helpen een rechte lijn te volgen. Als je schuin naar de schaalverdeling gaat, kun je bij het verkeerde getal uitkomen. Schrijf “13 °C” met de eenheid, zodat je antwoord de hele meetwaarde geeft.

Begin met een waarde

Je kunt de weg terug volgen. Begin voor “Wanneer was het 19 °C?” bij 19 op de verticale as. Ga opzij naar de lijn en dan omlaag naar de tijd. Het punt ligt boven 14.00 uur.

Let op wat de vraag vraagt. “Wanneer was het het warmst?” vraagt om een tijdstip: 14.00 uur. “Wat was de hoogste temperatuur?” vraagt om een waarde: 19 °C. Beide vragen gebruiken het hoogste punt, maar hun antwoorden betekenen iets anders.

Het laagste punt geeft de kleinste meetwaarde. Hier is dat 8 °C om 6.00 uur. De onderkant van de schaalverdeling is 4 °C, maar geen enkele meetwaarde was zo laag. Lees de ingetekende punten af als je de laagste gemeten waarde zoekt.

Een waarde kan meer dan eens voorkomen. De lijn bereikt 17 °C om 12.00 uur. Tijdens het afkoelen na 16.00 uur bereikt de lijn die hoogte opnieuw. Volg de hele grafiek opzij als je alle tijdstippen zoekt. Een later snijpunt tussen ingetekende punten geeft een geschat tijdstip.

Een punt hoeft niet op een roosterlijn met een getal te liggen. Kijk hoever het tussen de lijnen ligt. Op een schaalverdeling met elke 10 een getal ligt halverwege 50 en 60 ongeveer 55. Een punt vlak boven 50 kan ongeveer 51 of 52 zijn. Gebruik “ongeveer” voor een waarde die je op het oog afleest.

Je kunt ook de verbindingslijn tussen twee meetpunten aflezen. Op het schoolplein was het 13 °C om 10.00 uur en 17 °C om 12.00 uur. Wat geeft de lijn aan voor 11.00 uur?

1. Elf uur ligt halverwege de tussenruimte van twee uur.
2. De volledige stijging is $17-13=4$ graden.
3. De helft van de stijging is $4÷2=2$ graden.
4. Tel die op bij de eerste meetwaarde: $13+2=15$.

De schatting is ongeveer 15 °C.

Bepaal een tussenliggend tijdstip

Begin voor 14 °C op de temperatuuras en kijk opzij. Je komt op de lijn tussen 10.00 uur en 12.00 uur. De stijging van 13 naar 14 is 1 graad. Dat is een kwart van de volledige stijging van 4 graden. Een kwart van twee uur is 30 minuten. De lijn bereikt 14 °C dus rond 10.30 uur.

Zoek nu later op de middag opnieuw naar 17 °C. De meetwaarden dalen van 18 °C om 16.00 uur naar 15 °C om 18.00 uur. Om 17 te bereiken daalt de lijn 1 van de volledige 3 graden. Dat is een derde van de tussenliggende tijd. Een derde van twee uur is 40 minuten. De tweede keer is ongeveer om 16.40 uur.

Begrijp wat de verbindingslijn betekent

De rechte lijn gaat ervan uit dat de verandering tussen de meetwaarden gelijkmatig is. De echte lucht kan tussendoor een beetje warmer of kouder zijn geworden.

Temperatuur, hoogte en afstand zijn continue metingen. Ze kunnen tussen de meetwaarden andere waarden hebben. Een maandelijks aantal boeken is anders. Een punt halverwege oktober en november geeft geen echt maandaantal. Gebruik voor die aantallen de ingetekende punten.

Voorbij het laatste punt doe je een voorspelling. Een plant die in week 5 18 cm en in week 6 20 cm meet, groeit later misschien langzamer. De grafiek kan je niet vertellen hoe hoog de plant in week 20 is. Trek een patroon alleen door als je reden hebt om te verwachten dat het doorgaat, en noem de uitkomst een voorspelling.

Volg een dalend lijnstuk

Dezelfde methode met het midden werkt als een waarde daalt. Om 16.00 uur is het op het schoolplein 18 °C; om 18.00 uur is het 15 °C. Begin bij de eerdere meetwaarde om de temperatuur om 17.00 uur te schatten.

1. De volledige daling is $18-15=3$ graden.
2. 17.00 uur ligt halverwege de tussenruimte van twee uur.
3. De helft van de daling is $3÷2=\mathrm{1,5}$ graden.
4. Trek die af van de beginwaarde: $18-\mathrm{1,5}=\mathrm{16,5}$.

De schatting is ongeveer 16,5 °C. Als je 1,5 zou optellen, krijg je 19,5 °C, boven beide eindwaarden, terwijl dit lijnstuk daalt. Een handige controle is of je schatting tussen de twee eindwaarden ligt.

Let ook op de tijdsgrenzen

De laatste meting op het schoolplein is om 18.00 uur. Een vraag over 17.00 uur valt binnen de gemeten periode. Een vraag over 19.00 uur valt erbuiten, ook als er op het papier ruimte is om verder te tekenen.

Als je bij de bonenplant de laatste 2 cm groei per week doortrekt, zou dat 22 cm in week 7 opleveren. Dat is een voorspelling die ervan uitgaat dat de groei doorgaat. Het gemeten punt in week 6 blijft 20 cm; als je het patroon doortrekt, voeg je geen meting in week 7 toe.

Sommige lineaire grafieken verbinden twee grootheden zonder tijd te laten zien. Denk aan appels die € 2 per kilo kosten. Zet het gewicht in kilo onderaan en de kosten in euro's aan de zijkant.

Deze punten liggen op één rechte lijn. Waarden tussen de punten hebben ook betekenis. Je kunt 3,5 kilo kopen. Ga vanaf 3,5 kilo omhoog naar de lijn en dan opzij: de kosten zijn € 7. Met de prijsregel controleer je dit:

Om te bepalen hoeveel je voor € 9 kunt kopen, begin je bij 9 op de kostenas. Ga opzij naar de lijn en dan omlaag. Je komt uit bij 4,5 kilo. De regel geeft $\mathrm{4,5}\times 2=9$. Begin op de as van de waarde die je kent.

Reken de eenheid om

Een omrekengrafiek verbindt twee eenheden voor dezelfde hoeveelheid. In een glas past ongeveer 250 ml, dus 1 liter is ongeveer 4 glazen en 5 liter ongeveer 20 glazen. Zet liters horizontaal en glazen verticaal. De rechte lijn loopt door $(0,0)$, $(5,20)$ en $(10,40)$.

Lees vanaf 3 liter omhoog en opzij af: ongeveer 12 glazen. Lees vanaf 30 glazen opzij en omlaag af: ongeveer 7,5 liter. Houd “ongeveer” erbij: niet elk glas is even groot, dus deze grafiek gebruikt een benaderde omrekening.

Je kunt verder rekenen dan de rand van de grafiek, omdat de omrekening hetzelfde blijft. Tien liter is ongeveer 40 glazen. Vijftig liter is vijf keer zoveel, dus dat is ongeveer $5\times 40=200$ glazen.

Let op een starttarief

Een rechte lijn kan boven nul beginnen. Een taxi rekent € 3 starttarief en daarna € 2 voor elke kilometer. Bij 0 km zijn de kosten al € 3. Bij 1 km kost de rit € 5. Bij 3 km kost die € 9.

Bepaal voor 6 km eerst de kosten voor de afstand: $6\times 2=12$. Tel het starttarief één keer op: $12+3=15$. De rit kost € 15.

Als je de kosten voor 3 km verdubbelt, krijg je € 18. Dan tel je het starttarief twee keer mee. Verdubbel de totale kosten alleen als het lineaire verband bij nul begint en dezelfde prijs per eenheid houdt. Controleer waar de lijn de verticale as snijdt voordat je verder rekent.

Een grafiek geeft snel een waarde. Als je een precieze prijsregel kent, reken daar dan mee om een waarde tussen roosterlijnen te controleren.

Vergelijk één rit met twee ritten

Een starttarief verklaart ook de kosten als je een reis in delen maakt. Bij dezelfde taxiprijzen kost één rit van 6 km € 15. Twee afzonderlijke ritten van 3 km kosten elk € 9, dus samen kosten ze $9+9=18$ euro.

De totale afstand is in beide gevallen 6 km. Het verschil is het aantal keren dat de rit begint. Bij twee ritten betaal je twee keer een starttarief en bij één rit één keer. Het verschil van € 3 is één extra starttarief.

Lees het punt bij 0 km af om dit vaste deel van de kosten te bepalen. De lijn begint bij € 3, nog voordat er kilometers zijn afgelegd. In de appelgrafiek zijn de kosten bij het punt van 0 kilo € 0, omdat er geen appels zijn gekocht.

Reken een omrekening verder uit dan de tekening

Stel dat je grafiek voor het omrekenen van liters naar glazen eindigt bij 10 liter en ongeveer 40 glazen. Je wilt weten hoeveel glazen 30 liter ongeveer is.

1. Bepaal de vermenigvuldigingsfactor: $30÷10=3$.
2. Vermenigvuldig het bijbehorende aantal glazen: $3\times 40=120$.
3. Geef ongeveer 120 glazen als antwoord en houd de benaderde omrekening aan.

De eenheden moeten aan hun eigen kant van de vergelijking blijven. Je hebt 10 liter vergroot tot 30 liter, dus moet je 40 glazen met dezelfde factor vermenigvuldigen. Je telt geen liters bij glazen op.

Lees een tijdgrafiek van links naar rechts. Een stijgende lijn betekent dat de waarde toeneemt. Een dalende lijn betekent dat die afneemt. Een vlakke lijn betekent dat de waarde gelijk blijft. Een trend is de algemene manier waarop de waarde in de tijd verandert.

Een steiler stuk laat in dezelfde grafiek een snellere verandering zien. Een flauw stijgend stuk laat nog steeds een toename zien, maar een langzamere. Een flauw dalend stuk laat nog steeds een afname zien. Kijk zowel naar de richting als naar de steilheid.

Bekijk hoe een bonenplant groeit

De lijn stijgt elke week omdat elke hoogte groter is. Het steilste deel loopt van week 3 tot week 4. De plant groeide die week $14-9=5$ cm. Na week 4 groeit de plant nog steeds, maar wordt de groei per week kleiner. Een lijn die vlakker wordt, kan nog steeds stijgen.

Deze tussenruimtes zijn allemaal één week lang. Daardoor kun je de veranderingen rechtstreeks vergelijken. Als de tussenliggende tijd verschilt, heeft een grotere toename misschien gewoon meer tijd gehad. Gebruik de steilheid op assen met de juiste tussenruimtes om te vergelijken hoe snel de verandering plaatsvond.

Volg een fietstocht

Sam vertrekt om 10.00 uur van huis en bereikt om 10.30 uur een park. Het park ligt 5 km van huis. Sam blijft daar tot 11.00 uur en fietst dan naar huis, waar Sam om 11.20 uur aankomt.

In een grafiek van de afstand tot huis stijgt de lijn van 0 naar 5 km. Tijdens de stop in het park blijft de lijn vlak op 5 km. Daarna daalt de lijn naar 0 km. Het horizontale deel is niet nul: Sam is nog steeds 5 km van huis. De dalende lijn laat zien dat Sam dichter bij huis komt; de lijn zegt niets over heuvels.

Deze schets gebruikt onderaan het aantal minuten na 10.00 uur:

Afstand tot huis (km)
5 |      ●─────●
  |    ╱        ╲
  |  ╱           ╲
0 |●               ●
  +------------------
   0     30    60  80
Minuten na 10.00 uur

Sam fietst heen en terug dezelfde 5 km. De heenweg duurt 30 minuten; de terugweg duurt 20 minuten. De lijn van de terugweg is steiler en laat zien dat Sam sneller fietst.

Gebruik de waarden en tijdstippen als je een grafiek beschrijft. Bijvoorbeeld: “De plant groeide het snelst tussen week 3 en 4 en groeide toen 5 cm.” Iemand kan die zin met de punten controleren.

Geef een grote verandering de juiste hoeveelheid tijd

Van week 4 tot week 6 groeit de plant van 14 naar 20 cm. Dat is een toename van 6 cm, groter dan de toename van 5 cm van week 3 tot week 4. Maar de toename van 6 cm duurt twee weken.

Bekijk die twee weken afzonderlijk. Van week 4 tot week 5 komt er 4 cm bij. Van week 5 tot week 6 komt er 2 cm bij. Geen van beide stukken van één week is zo steil als de stijging van 5 cm van week 3 tot week 4. Een groter totaal over een langere tijd laat op zichzelf niet zien waar de verandering het snelst was.

Houd bij wat de afstand betekent

Sams laatste punt ligt bij 0 km van huis. Dat betekent niet dat Sam 0 km heeft afgelegd. Sam fietste 5 km heen en 5 km terug en legde in totaal 10 km af.

De grafiek houdt de afstand tot huis bij, niet alle kilometers die al zijn afgelegd. Op de terugweg wordt deze afstand kleiner terwijl het aantal gefietste kilometers blijft groeien. Lees het asbijschrift voordat je het verhaal van de tocht vertelt. Twee punten op dezelfde hoogte kunnen bij verschillende momenten horen: Sam is aan het begin thuis en aan het einde weer.

Bij een vraag over een grafiek moet je vaak aflezen en rekenen. Schrijf eerst de waarden op die je nodig hebt. Bepaal dan of de vraag om een verschil of een som vraagt.

“Hoeveel meer?” en “Hoeveel is het veranderd?” vragen om aftrekken. Op het schoolplein werd het warmer: van 8 °C om 6.00 uur naar 19 °C om 14.00 uur. De stijging was $19-8=11$ °C. Later koelde het af tot 15 °C. Die daling was $19-15=4$ °C.

Gebruik voor een verandering over meerdere meetwaarden de eerste en de laatste waarde. De plant was 5 cm hoog in week 2 en 18 cm hoog in week 5. De plant groeide $18-5=13$ cm. Als je de hoogtes optelt, tel je de eerdere hoogte van dezelfde plant nog een keer mee. Je kunt ook de afzonderlijke groei per week optellen: $4+5+4=13$ cm.

Bepaal een zinvol totaal

“Hoeveel in totaal?” vraagt om optellen als de aantallen bij elkaar horen. Hier staan aantallen boeken die in verschillende maanden zijn geleend.

Oktober en november samen geven $180+210=390$ boeken. Tel voor het totaal van alle vijf maanden in stappen op: $140+180=320$, dan $320+210=530$, dan $530+150=680$ en dan $680+190=870$ boeken.

Deze maandaantallen geven een zinvol totaal. Als je 8 °C en 10 °C optelt, krijg je niet de temperatuur van iets. Bedenk voordat je optelt wat een totaal zou betekenen.

Vergelijk maanden

November heeft het hoogste punt: 210 boeken. Dat zijn $210-150=60$ boeken meer dan in december. Van november naar december is het enige dalende stuk, dus dat is de enige daling van maand tot maand.

Vermeld steeds de eenheden. Een temperatuurverandering meet je in graden. De groei van een plant meet je in centimeters. Als je weeknummers van elkaar aftrekt, krijg je het aantal verstreken weken, niet de groei. Als je drie verticale hokjes telt, krijg je pas een verandering nadat je met de stapgrootte van de schaalverdeling hebt vermenigvuldigd.

Controleer de richting van je uitkomst met de lijn. Bij gelijke tijdsintervallen hoort een steilere stijging een grotere toename te geven. Als de lijn stijgt maar je antwoord “gedaald” zegt, lees de twee punten dan opnieuw af.

Bepaal welke meetwaarden bij de berekening horen

Een vraag kan twee groepen maanden vergelijken. Bijvoorbeeld: hoeveel boeken zijn er van november tot en met januari meer geleend dan in september en oktober?

Verdeel eerst de meetwaarden in de twee groepen:

• November, december, januari: 210, 150, 190 boeken.
• September, oktober: 140, 180 boeken.

Bepaal elk subtotaal voordat je ze vergelijkt. Het eerste is $210+150+190=550$ boeken. Het tweede is $140+180=320$ boeken. Het verschil is $550-320=230$ boeken. Als je een maand in beide groepen meetelt, verandert het antwoord.

Wat als een meetwaarde in het midden ontbreekt?

De hoogtes van de plant in week 2 en week 5 vertellen je nog steeds de totale groei daartussen. Je kunt 5 cm van 18 cm aftrekken, ook zonder een meetwaarde voor week 3. Beide eindwaarden zijn bekend.

Voor een andere vraag, zoals in welke afzonderlijke week de groei het grootst was, heb je de wekelijkse meetwaarden nodig. De twee eindwaarden vertellen je de totale verandering over het interval; ze laten niet zien hoe die groei over de weken was verdeeld.

Twee lijnen kunnen één paar assen delen. Een legenda vertelt welke lijn bij welke groep hoort. Een doorgetrokken lijn kan Hillview aangeven. Een stippellijn kan Bayside aangeven. Gebruik de legenda voordat je een van de lijnen volgt.

Stel je een grafiek voor van de gemiddelde hoogste temperaturen per maand in de plaatsen.

Houd je vinger boven één maand om die te vergelijken. Lees daar beide lijnen af. In maart is Bayside $11-7=4$ °C warmer. In juni is Hillview $20-16=4$ °C warmer. Als je Hillview in maart met Bayside in juni vergelijkt, haal je twee verschillende tijdstippen door elkaar.

De verticale afstand laat het verschil zien. Zoek de grootste afstand en controleer dan de getallen. De afstand in januari is $8-1=7$ °C. Dat is de grootste afstand in deze reeks meetwaarden.

Als de lijnen elkaar snijden

Hillview ligt lager in april: 12 °C tegenover 13 °C. In mei ligt Hillview hoger: 16 °C tegenover 14 °C. De verbindingslijnen snijden elkaar tussen die maanden. Op het snijpunt hebben beide getekende lijnen dezelfde waarde.

Vóór dat snijpunt ligt de lijn van Bayside hoger. Erna ligt die van Hillview hoger. Dit zijn gemiddelde hoogste temperaturen per maand. Het snijpunt geeft geen gemeten temperatuur op een bepaalde dag.

Hoger en steiler betekenen iets anders

Een hoger punt betekent een grotere waarde op dat moment. Een steilere lijn laat een snellere verandering zien. Hillview begint lager, maar stijgt van januari tot juni veel meer:

• Hillview: $20-1=19$ °C.
• Bayside: $16-8=8$ °C.

Beide veranderingen gaan over dezelfde maanden. De lijn van Hillview stijgt over het geheel steiler. Een lijn kan aan het begin lager liggen en toch de grootste toename hebben.

Als je bij een snijpunt de lijn kwijtraakt, ga dan terug naar een deel waar je de lijnen gemakkelijk uit elkaar houdt. Controleer daar de kleur of het soort lijn en volg daarna dezelfde lijn naar de maand die je nodig hebt.

Bekijk hoe het verschil verandert

Beide lijnen kunnen stijgen terwijl het verschil kleiner wordt. Van januari tot februari stijgt Hillview van 1 naar 3 °C. Bayside stijgt van 8 naar 9 °C. Hillview stijgt 2 graden terwijl Bayside 1 graad stijgt, dus Hillview haalt een beetje in.

Het verschil verandert van $8-1=7$ °C naar $9-3=6$ °C. Bayside is nog steeds warmer, maar slechts 6 graden. Een kleiner wordend verschil betekent niet dat beide plaatsen afkoelen.

Later, van mei tot juni, worden beide plaatsen weer warmer. Hillview stijgt van 16 naar 20 °C, terwijl Bayside van 14 naar 16 °C stijgt. Het verschil groeit van 2 naar 4 graden omdat de plaats die al warmer is de grootste stijging heeft.

Vergelijk de maandelijkse verschillen om het paar gemeten waarden te vinden dat het dichtst bij elkaar ligt:

De punten van april liggen het dichtst bij elkaar, slechts 1 graad uit elkaar. Dat is iets anders dan een snijpunt tussen maanden, waar de verbindingslijnen elkaar snijden. Bij een vraag over gemeten maanden gebruik je de maandpunten.

Bereid de grafiek voor voordat je punten intekent. Lees de tabel om het vroegste en laatste tijdstip en de grootste waarde te vinden. De tijd komt op de horizontale as. De meetwaarde komt op de verticale as.

Bij de bonenplant loopt de tijd van week 0 tot week 6. De grootste hoogte is 20 cm. Stel dat je rooster tien hokjes hoog is. Met een verticale stap van 2 cm per hokje bereik je bovenaan 20 cm:

Met een stap van 1 cm kom je maar tot 10 cm. Dan kom je papier tekort. Een stap van 5 cm past wel, maar 20 cm gebruikt dan maar vier hokjes. In een kleine, platgedrukte grafiek zijn waarden die dicht bij elkaar liggen moeilijker af te lezen. Kies een eenvoudige stap die past en het grootste deel van de ruimte gebruikt.

Een andere tabel heeft als grootste waarde 47. Met tien hokjes kom je met stappen van 5 tot 50 en dat werkt goed. Met stappen van 4 kom je maar tot 40. Stappen van 10 passen, maar laten de bovenste helft grotendeels leeg. Handige stappen zijn 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50 en 100.

Houd elke stap even groot

Kies een stap en houd die op de hele as aan. De getallen 0, 5, 10, 20, 40 kunnen niet op gelijke afstand staan. De laatste sprong is veel groter dan de eerste. Als je die sprongen evenveel ruimte geeft, verandert de vorm van de lijn.

Ook de horizontale schaalverdeling heeft gelijke stappen nodig. Stel dat er op dag 1, 2, 4 en 7 is gemeten. Gebruik bij één hokje per dag deze afstanden:

• Dag 2 ligt één hokje na dag 1.
• Dag 4 ligt twee hokjes na dag 2.
• Dag 7 ligt drie hokjes na dag 4.

Laat ruimte voor dag 3, 5 en 6, ook al is er op die dagen niet gemeten. Vier meetwaarden betekenen niet vier tijdstippen op gelijke afstand.

Maak de bijschriften af

Begin de verticale schaalverdeling bij een gewone grafiek bij 0. Als de waarden ver boven 0 liggen, kun je hoger beginnen en een klein zigzagje als scheurlijn tekenen. De meetwaarden van 8–19 °C op het schoolplein passen op een schaalverdeling die bij 4 °C begint. Lezers moeten dat overgeslagen stuk kunnen zien.

Schrijf “Hoogte (cm)” naast de verticale as van de plant en “Tijd (weken)” onder de horizontale as. Zet de getallen van de schaalverdeling naast de roosterlijnen, niet halverwege ertussen. Zo zie je precies voor welke hoogte of tijd elke lijn staat.

Plan zowel de breedte als de hoogte

Je hebt een rooster van twaalf hokjes breed en tien hokjes hoog. Voor de bonenplant moeten zes weken in de breedte passen en 20 cm in de hoogte.

Gebruik twee horizontale hokjes voor elke week. De zes tussenruimtes voor de weken gebruiken dan $6\times 2=12$ hokjes. Gebruik verticaal 2 cm per hokje, zodat je in tien hokjes 20 cm bereikt. De twee richtingen hebben hun eigen betekenis: twee hokjes opzij staan voor één week; twee hokjes omhoog staan voor 4 cm.

Schrijf voordat je punten intekent de horizontale getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 onder elke tweede roosterlijn. Controleer of week 6 de laatste verticale roosterlijn bereikt. Zet de getallen voor de hoogteschaal er apart bij.

Probeer voor dag 1, 2, 4 en 7 een andere indeling. Een as van dag 0 tot dag 7 heeft zeven tussenruimtes van een dag nodig. Met tien beschikbare hokjes past één hokje per dag. Twee hokjes per dag zouden veertien hokjes nodig hebben en dan kom je ruimte tekort.

Tel bij het plannen de volledige tijdsduur mee. Als je alleen de vier meetwaarden telt, blijft er te weinig ruimte over voor de dagen ertussen waarop niet is gemeten. Laat die tijdstippen open voordat je punten zet.

Gebruik de meetwaarden van de bonenplant om je grafiek te maken. De hoogtes in week 0–6 zijn 0, 2, 5, 9, 14, 18 en 20 cm. Gebruik één horizontaal hokje per week en één verticaal hokje per 2 cm.

Teken steeds één rij in

Neem week 3, toen de plant 9 cm hoog was.

1. Zoek 3 op de horizontale as.
2. Ga recht omhoog naar 9 cm.
3. Zet daar een klein puntje of kruisje.

Negen ligt halverwege de roosterlijnen van 8 cm en 10 cm. Zet het punt halverwege die lijnen. Het ligt vier en een half hokje boven 0, omdat elk hokje voor 2 cm staat. Als je het negen hokjes omhoog zet, geeft het 18 cm aan.

Doe hetzelfde voor week 2 bij 5 cm. Dat punt ligt halverwege 4 cm en 6 cm. Week 4 bij 14 cm ligt precies op een roosterlijn. Met kleine punten kun je hun precieze plaats goed zien; een dikke vlek kan meerdere mogelijke meetwaarden bedekken.

Het eerste punt is week 0 bij 0 cm. Het laatste is week 6 bij 20 cm. Tel je ingetekende punten: zeven rijen moeten zeven punten geven. Een ontbrekend punt kan een belangrijke verandering verbergen.

Verbind opeenvolgende punten

Gebruik een liniaal om een recht lijnstuk van week 0 naar week 1 te tekenen. Verbind dan week 1 met week 2 en ga zo door tot en met week 6. Ga in tijdvolgorde langs elk punt. Eén lijn van het eerste naar het laatste punt zou de weken missen waarin de groei sneller of langzamer was.

Voeg de titel “Hoogte van onze bonenplant” toe. De titel noemt wat er groeide. De bijschriften “Tijd (weken)” en “Hoogte (cm)” geven de betekenis van de getallen.

Lees je grafiek terug

Controleer elk punt met de bijbehorende rij in de tabel. Lees boven week 3 opzij: krijg je 9 cm? Krijg je boven week 5 18 cm? Als een punt verkeerd staat, controleer dan de schaalverdeling en verplaats dat punt voordat je de twee verbindingsstukken opnieuw tekent.

De plant groeide elke week, dus elk lijnstuk moet stijgen. Een dalend lijnstuk wijst bij deze meetwaarden op een intekenfout. Deze controle van de vorm helpt, maar vervangt niet de controle van elk getal.

Je kunt ook een grafiek maken in een spreadsheet. Controleer de titel, bijschriften, eenheden en gekozen schaalverdeling. Zorg er bij ongelijke meettijden voor dat de horizontale afstanden overeenkomen met de werkelijke tijd ertussen.

Een kruistabel deelt dezelfde mensen of dingen op twee manieren in. Hier is de ene manier het leerjaar. De andere is hoe leerlingen naar school komen.

Elk vakje is een cel. Om de leerlingen uit leerjaar 5 te vinden die met de bus gaan, volg je de rij van leerjaar 5 naar de kolom Bus. In die cel staat 6. Beide koppen zijn belangrijk: deze leerlingen zitten in leerjaar 5 en gaan met de bus.

Bij een vraag over alle leerlingen die lopen, gebruik je de rij Totaal: 27. Bij een vraag over de leerlingen uit leerjaar 4 die lopen, gebruik je de cel van één leerjaar: 12. Kijk of de vraag één groep of iedereen noemt.

Lees en controleer totalen

In de kolom Totaal staat de som van elk leerjaar. Voor leerjaar 4 is dat $12+9+7=28$. In de rij Totaal staat de som van elke manier van reizen. Voor lopend is dat $12+15=27$.

De cel rechtsonder is het eindtotaal, 57 leerlingen. Je kunt het op twee manieren controleren:

• Tel de totalen van de leerjaren op: $28+29=57$.
• Tel de totalen van de manieren van reizen op: $27+15+15=57$.

Beide tellen de hele groep. Als je de rijtotalen en kolomtotalen bij elkaar optelt, tel je iedereen twee keer.

Gebruik een totaal om een gat te vullen

Stel dat de cel Auto van leerjaar 4 ontbreekt. Het rijtotaal is 28. Lopend en bus zijn samen al $12+9=21$ leerlingen. Trek af: $28-21=7$. Dus 7 leerlingen uit leerjaar 4 komen met de auto.

Zoek bij meerdere gaten eerst een rij of kolom met één onbekend getal. Stel dat lopend voor leerjaar 5, het totaal voor bus en het totaal voor auto ontbreken. Het totaal voor lopend is nog steeds 27.

1. Lopend voor leerjaar 5: $27-12=15$.
2. Totaal voor bus: $9+6=15$.
3. Totaal voor auto: $7+8=15$.
4. Controleer het eindtotaal: $27+15+15=57$.

Elke ingevulde cel kan helpen bij de volgende.

Maak een tabel vanuit een lijst

Teken een rij voor elk leerjaar en een kolom voor elke manier van reizen. Lees de twee gegevens van één leerling. Een leerling uit leerjaar 4 die met de bus gaat, krijgt één turfstreepje in de cel voor leerjaar 4 en bus. Ga de lijst af en tel elke leerling één keer. Maak van de turfstreepjes getallen en tel de totalen op. Het eindtotaal moet gelijk zijn aan het aantal leerlingen op je lijst.

Vul een rijtotaal vóór een andere cel in

Stel dat het totaal van leerjaar 5 en de cel voor lopend ontbreken. Je weet nog wel dat het eindtotaal 57 is en het totaal van leerjaar 4 28.

1. Bepaal het totaal van leerjaar 5: $57-28=29$.
2. Leerjaar 5 heeft al 6 leerlingen die met de bus gaan en 8 die met de auto gaan.
3. Die bekende cellen bevatten $6+8=14$ leerlingen.
4. De ontbrekende cel voor lopend is $29-14=15$ leerlingen.

Je kunt die uitkomst controleren in de kolom Lopend: $12+15=27$, en dat komt overeen met het totaal. Een rij en een kolom kunnen dezelfde cel vanuit verschillende richtingen controleren.

Probeer een korte lijst

Hier is een nieuwe lijst met vier leerlingen: Mia zit in leerjaar 4 en loopt; Evan zit in leerjaar 5 en gaat met de auto; Luca zit in leerjaar 4 en gaat met de bus; Sara zit in leerjaar 4 en loopt.

Begin een nieuwe, kleine tabel voor deze lijst. Mia en Sara voegen twee turfstreepjes toe bij leerjaar 4 en lopend. Luca voegt er één toe bij leerjaar 4 en bus. Evan voegt er één toe bij leerjaar 5 en auto. Alle andere cellen hebben nul.

Het rijtotaal van leerjaar 4 is 3 en dat van leerjaar 5 is 1. Het totaal voor lopend is 2, voor bus 1 en voor auto 1. Beide manieren geven een eindtotaal van 4, gelijk aan de vier namen.

Een dienstregeling is een tabel met tijden. Lees eerst de koppen. In deze dienstregeling is een rij een halte en een kolom één busrit. Alle bussen rijden in de ochtend.

Om bus 2 te volgen, blijf je in de bijbehorende kolom: Main Street om 8.15, bibliotheek om 8.22, Park Gate om 8.34, school om 8.45. Als je de rij van de bibliotheek van links naar rechts leest, wissel je tussen verschillende bussen.

Het streepje betekent dat bus 3 niet bij de bibliotheek stopt. Het is geen ontbrekende tijd die je moet berekenen. Je kunt daar niet in- of uitstappen bij die bus.

Bepaal hoe lang een rit duurt

Bus 2 vertrekt om 8.15 van Main Street en komt om 8.45 bij school aan. Dat duurt 30 minuten. Houd beide tijden in dezelfde buskolom.

Tel voor bus 1 van de bibliotheek naar Park Gate door over het hele uur:

1. Van 7.52 tot 8.00 is 8 minuten.
2. Van 8.00 tot 8.04 is 4 minuten.
3. Tel op: $8+4=12$ minuten.

Bus 3 doet er 19 minuten over van Main Street naar Park Gate: 10 minuten van 8.50 tot 9.00 en dan 9 minuten tot 9.09. Als je $909-850=59$ aftrekt, reken je alsof een uur 100 minuten heeft. Een uur op de klok heeft 60 minuten, dus tel door over het hele uur.

Kies een bus en bepaal de wachttijd

Je moet uiterlijk om 8.40 uur bij school zijn. Begin in de rij School. Bus 1 komt om 8.15 aan en dat is vroeg genoeg. Bus 2 komt om 8.45 aan en dat is te laat. Kies bus 1 en lees dan omhoog in de kolom om je instaptijd te vinden.

Als je om 8.10 bij de bibliotheek komt, is bus 1 al weg. Bus 2 stopt daar om 8.22. Je wachttijd is 12 minuten.

Als je om 8.30 bij de bibliotheek komt, heb je niets meer aan bus 1 of bus 2. Bus 3 komt later, maar het streepje betekent dat die jouw halte overslaat. Er stopt volgens deze dienstregeling geen latere bus meer.

In sommige dienstregelingen staan ritten in rijen en haltes in kolommen. De koppen vertellen je hoe je één rit volgt, niet de richting op de pagina.

Zoek de laatste rit waarmee je nog op tijd bent

Stel dat je om 7.40 uur bij Main Street komt en uiterlijk om 8.50 uur bij school moet zijn. Je wilt zo laat mogelijk vertrekken.

Bus 1 vertrekt om 7.45 en komt om 8.15 aan. Bus 2 vertrekt om 8.15 en komt om 8.45 aan. Je kunt met beide bussen mee en beide komen vroeg genoeg aan. Bus 3 komt om 9.20 aan, te laat.

Kies bus 2 om zo laat mogelijk te vertrekken. Je wachttijd is 20 minuten van 7.40 tot 8.00 en dan nog 15 minuten: 35 minuten. De rit zelf duurt 30 minuten. Vanaf je aankomst bij de halte tot je aankomst bij school is het in totaal $35+30=65$ minuten. De reistijd en de wachttijd geven antwoord op vragen over verschillende delen van de reis.

Lees een gedraaide dienstregeling

Dezelfde tijden kunnen ook zo staan:

Volg nu een rij om bij één bus te blijven. Om bussen bij de bibliotheek te vergelijken, lees je die kolom van boven naar beneden. De rit is niet veranderd; de koppen zijn verplaatst. Zoek steeds de genoemde rit en halte op, in plaats van alleen een richting op de pagina te onthouden.

Een tabel en een lijngrafiek kunnen dezelfde meetwaarden laten zien. Een tabel zet elk tijdstip naast de bijbehorende waarde. Een lijngrafiek plaatst die paren op assen, zodat je de vorm van de verandering gemakkelijker ziet.

Om de schoolpleingrafiek in een tabel om te zetten, maak je de koppen “Tijd” en “Temperatuur (°C)”. Lees elk ingetekend punt af en schrijf elk paar in een rij. De eerste rijen zijn 6.00 uur met 8 °C, 8.00 uur met 10 °C en 10.00 uur met 13 °C. Ga verder met 12.00 uur, 14.00 uur, 16.00 uur en 18.00 uur.

Lees de punten af die bij metingen horen. Voeg niet zomaar een rij voor 11.00 uur toe alsof iemand toen heeft gemeten. De lijn kan daar een schatting aangeven, maar bij die rij zou “geschat” moeten staan.

Zet rijen om in punten

Andersom neem je elke rij van de tabel en zoek je het tijdstip horizontaal en de waarde verticaal. Teken voor elk paar één punt in. Zet de rijen in tijdvolgorde voordat je de punten verbindt. Als 12.00 uur in een tabel na 14.00 uur staat, hoort het punt van 12.00 uur nog steeds links van 14.00 uur.

Controleer de tabel en de grafiek steeds per paar. Stel dat de tabel voor 12.00 uur 17 °C aangeeft, maar dat het punt voor 12.00 uur op de hoogte van 16 °C ligt. Volg het punt opnieuw opzij. Controleer de stapgrootte van de schaalverdeling. Als je weet welke weergave de fout bevat, verbeter je die met de genoteerde meetwaarde.

Een grafiek kan de juiste algemene vorm hebben en toch een verkeerd punt bevatten. Als je het punt van 12.00 uur 1 graad lager zet, kan de lijn nog steeds stijgen. Als je alleen controleert of die stijgt, mis je die fout.

Kies de weergave die bij je vraag past

Voor 11.00 uur staat er geen meetwaarde in de schoolpleintabel. De verbindingslijn geeft ongeveer 15 °C aan. Met de grafiek kun je tussen gemeten tijdstippen schatten; die schatting wordt daardoor geen precieze meting.

Een plant kan op weg naar 10 cm langs 9 cm, 9,5 cm en 9,51 cm groeien. Hoogtemetingen zijn continue gegevens: een meting kan elke waarde binnen een bereik aannemen. Temperatuur, tijd en afstand zijn ook continu.

Een aantal boeken gaat in afzonderlijke stappen. Een bibliotheek kan in een maand 180 of 181 boeken uitlenen. Ze kan geen 180,5 hele boeken uitlenen. Aantallen zoals boeken, mensen en doelpunten zijn discrete gegevens.

Verbind metingen in de tijd

Een plant die in week 3 en week 4 is gemeten, heeft ook tussen die tijdstippen een hoogte. Door de punten te verbinden kun je die hoogte schatten. De lijn gaat ervan uit dat de groei tussen de meetwaarden gelijkmatig is. Een punt halverwege geeft een schatting halverwege de verandering.

Hoe vaak je meet, bepaalt niet het soort gegevens. Als je de temperatuur elke twee uur afleest, zijn de gegevens nog steeds continu. Als je elk uur bezoekers telt, zijn de gegevens nog steeds discreet. Denk na over wat de grootheid meet of telt.

Laat een trend in aantallen zien

Je kunt maandelijkse bibliotheekaantallen verbinden om een trend gemakkelijk te volgen. De lijn kan een stijging van oktober naar november en daarna een daling laten zien. Maar een punt halverwege die maanden is geen maandaantal. Lees de echte maandaantallen af bij de ingetekende punten.

De volgorde is belangrijk. Maanden hebben een volgorde, dus de lijn helpt je de tijd te volgen. Favoriete fruitsoorten hebben niet zo'n volgorde. Appels vóór bananen zetten is een keuze, en een andere volgorde zou de verbindingslijn veranderen. Gebruik een staafdiagram om die afzonderlijke categorieën te vergelijken.

Stel deze vragen voordat je tussen punten schat:

1. Is de grootheid een continue meting, zoals hoogte of temperatuur?
2. Heeft de horizontale as een echte volgorde, zoals tijd?

Als beide antwoorden ja zijn, is een schatting tussen de punten zinvol. Blijf het woord “ongeveer” gebruiken, want een recht lijnstuk vult een gat tussen metingen.

Kies een gegevensweergave die je vraag beantwoordt. Gebruik een lijngrafiek om de temperatuur over een dag te volgen. Gebruik staven om favoriete sporten te vergelijken. Een kruistabel laat aantallen zien die op twee manieren zijn ingedeeld, bijvoorbeeld naar leerjaar en manier van reizen. Een tabel is handig om precieze genoteerde waarden op te zoeken.

Soms werkt meer dan één weergave. Bij maandelijkse aantallen boeken kun je staven gebruiken om maanden te vergelijken of een lijn om de trend te volgen. Leg je keuze uit door de gegevens en het doel te noemen: “Ik koos een lijngrafiek om te laten zien hoe het aantal boeken van maand tot maand veranderde.”

Controleer een indrukwekkend ogende stijging

Een limonadekraam verkoopt 200 bekers in week 1 en 210 bekers in week 2. In de grafiek begint de verticale as bij 195. Het eerste punt ligt 5 bekers boven de onderkant. Het tweede ligt daar 15 bekers boven. De hoogte van het tweede punt boven de onderkant is drie keer zo groot als die van het eerste.

De verkoop is niet verdrievoudigd. De werkelijke toename is $210-200=10$ bekers. Door de beginwaarde lijkt die kleine verandering groot. Lees de schaalverdeling af voordat je de vorm beoordeelt. Vergelijk de 10 extra bekers met de oorspronkelijke 200 bekers.

Een schaalverdeling die boven nul begint, heeft een zichtbare scheurlijn nodig. Ook met een scheurlijn heb je de getallen nodig om de verandering te beoordelen. Een hogere of smallere grafiek kan dezelfde stijging ook steiler laten lijken. Grafieken met verschillende vormen op de pagina kunnen dezelfde meetwaarden laten zien.

Controleer de bijschriften en de gegevens

Zoek naar een titel, beide asbijschriften en eenheden. Zonder “Temperatuur (°C)” kan een lezer niet zien wat 15 betekent. Controleer of roosterlijnen op gelijke afstand voor gelijke stappen staan. Een schaalverdeling met de getallen 0, 10, 20, 50 op gelijke afstand verandert de vorm op een misleidende manier.

Vraag waar de getallen vandaan komen en hoeveel er is gemeten. Een temperatuurgrafiek van één dag vertelt je iets over die dag. Die kan je niet vertellen wat het weer op elke 3 mei is. Voor die vraag zijn meer dagen nodig.

Geef bij je eigen grafiek gelijke hoeveelheden evenveel ruimte. Gebruik een titel en asbijschriften met eenheden. Begin de verticale schaalverdeling bij 0 of geef duidelijk een scheurlijn aan als je hoger begint. Laat de meetwaarden de verandering tonen, met bijschriften die anderen helpen de grootte ervan te beoordelen.