Sistema binario y representación de datos

Un bit, abreviatura de dígito binario, tiene uno de dos valores: 0 o 1. El hardware puede distinguir con fiabilidad dos estados físicos, como una tensión alta y baja, direcciones opuestas de magnetización o presencia y ausencia de luz. Los dígitos escritos describen esos estados; no tienen por qué aparecer literalmente dentro de un dispositivo.

Cuenta los patrones

Cada bit nuevo duplica las posibilidades. Dos bits tienen cuatro patrones: 00, 01, 10 y 11. Tres bits tienen ocho. En general, $n$ bits ofrecen $2^n$ patrones. Un cuarteto de bits tiene 4 bits y un byte tiene 8 bits, por lo que un byte tiene 256 patrones. Un byte también es la unidad mínima de memoria direccionable en la mayoría de las computadoras modernas.

Para codificar un conjunto de valores, elige suficientes patrones para todos sus elementos. Para 26 letras, cuatro bits ofrecen solo 16 patrones; cinco bits ofrecen 32, por lo que bastan cinco bits. Para 1000 valores, nueve bits ofrecen 512 y diez ofrecen 1024. Puede haber patrones sin usar. Con 16 bits hay 65 536 patrones y con 32 hay 4 294 967 296.

El número de patrones difiere del mayor número sin signo. Cuatro bits ofrecen 16 patrones, pero el recuento empieza en cero, por lo que los valores van de 0 a 15. Un patrón ya se usa para el cero.

Para hallar el ancho mínimo de forma sistemática, compara potencias sucesivas de dos con el número de opciones necesarias. Detente en la primera potencia lo bastante grande. La condición es $2^n\ge N$ para N valores distintos. La igualdad exacta es válida: ocho opciones caben en tres bits, mientras que una novena necesita un cuarto bit. Un ancho mayor también sirve, pero deja de ser el mínimo.

Da significado al patrón

El byte 01000001 puede significar el entero 65, la letra ASCII «A» o una intensidad de canal de color de 65 en una escala de 0–255. Los bits por sí solos no seleccionan una interpretación. El tipo de dato de un programa y el formato del archivo determinan cómo interpretarlos.

Interpreta las unidades de almacenamiento

Son habituales dos familias de prefijos:

Los prefijos decimales son prefijos del SI; los binarios son prefijos de la IEC. En cada salto decimal, la unidad aumenta por un factor de 1000; en cada salto binario, por uno de 1024. Para expresar bytes en una unidad mayor, divide entre el número de bytes de esa unidad.

Una unidad etiquetada como de 500 GB contiene 500 000 000 000 bytes. Al dividir entre 1 073 741 824 se obtienen unos 465,66 GiB. El software puede etiquetar esa cantidad binaria como «GB», lo que hace que la capacidad mostrada parezca menor. El cambio de unidad en sí no ha eliminado ningún byte; el formateo y los archivos del sistema son cuestiones distintas.

Distingue bits de bytes

La b minúscula significa bit; la B mayúscula significa byte. Una conexión de 100 Mbit/s transfiere como máximo 100 millones de bits cada segundo. Dividir entre 8 da 12,5 millones de bytes por segundo, o 12,5 MB/s, antes de descontar la sobrecarga de información de control de los protocolos. Interpretar esa velocidad como 100 MB/s la multiplica por ocho.

El binario es un sistema de numeración posicional: el valor de un dígito depende de dónde esté. El decimal usa diez dígitos y potencias de 10. El binario usa dos dígitos, 0 y 1, y potencias de 2. Interpretar un número binario consiste en sumar los valores de las posiciones que contienen un 1.

Interpreta un número entero binario

De derecha a izquierda, los valores posicionales son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, y así sucesivamente. Cada uno es el doble del anterior porque $2^0=1$, $2^1=2$ y $2^2=4$.

Para ${101101}_2$, alinea los seis bits con sus valores posicionales:

El valor es $32+8+4+1=45$. Un cero no aporta nada, pero mantiene los demás dígitos en las posiciones correctas. Los ceros iniciales no cambian el valor: 00101101 también es 45.

El bit situado más a la izquierda es el bit más significativo, o MSB. El situado más a la derecha es el bit menos significativo, o LSB. Todos los valores posicionales salvo el último son pares, por lo que un entero binario es impar exactamente cuando su LSB es 1.

Convierte restando potencias de dos

Para escribir 156 en binario, empieza por la mayor potencia de dos que quepa: 128. Réstala y quedan 28. Los valores 64 y 32 no caben, así que ambas posiciones reciben 0. Toma 16 y quedan 12; toma 8 y quedan 4; toma 4 y queda 0. Las posiciones no usadas de 2 y 1 reciben 0.

En orden posicional, el resultado es $156={10011100}_2$. Comprueba sumando los valores posicionales elegidos: $128+16+8+4=156$. Saltarse una columna no usada desplazaría todos los bits posteriores y cambiaría el número.

El método de resta funciona porque cada valor posicional binario puede usarse como máximo una vez. Tras tomar la mayor potencia que quepa, el resto es menor que esa potencia. Continúa descendiendo por todas las posiciones, incluidas las de valor cero, hasta completar la posición de las unidades. Así, los bits elegidos se alinean con potencias distintas en vez de formar una lista de potencias sin posiciones.

Convierte mediante divisiones sucesivas

Otro método divide entre 2 sucesivamente. Conserva el cociente para la siguiente división y anota el resto:

Lee los restos de abajo arriba para obtener 10011100. El primer resto corresponde a la posición de las unidades, por lo que leer hacia abajo invierte el orden posicional. Aquí produciría 00111001, que es 57.

Mantén visible la base

El subíndice de ${10}_2$ indica base 2, así que su valor es dos. Los mismos dígitos en ${10}_{10}$ significan diez. El binario suele leerse dígito a dígito: «uno cero». El recuento sigue 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000; una columna lleva una unidad a la siguiente al llegar a 2. Una cadena de ocho unos es $2^8-1=255$. Añadir un cero al final desplaza todas las posiciones hacia la izquierda y duplica el valor: 101 pasa a ser 1010, de cinco a diez.

El sistema hexadecimal, o hex, escribe los números en base 16. Sus dígitos son 0–9 seguidos de A, B, C, D, E y F, que significan de 10 a 15. Un solo dígito hexadecimal puede describir cualquier grupo posible de cuatro bits, lo que facilita la lectura de patrones binarios largos.

Relaciona cuatro bits con un dígito

Como $16=2^4$, cada posición hexadecimal corresponde exactamente a cuatro posiciones binarias:

Para pasar de binario a hexadecimal, agrupa desde la derecha. El patrón 10011100 pasa a ser 1001 1100, o 0x9C. Si queda un grupo más corto a la izquierda, añade ceros iniciales: 101101 pasa a ser 0010 1101, o 0x2D. Agruparlo desde la izquierda como 1011 01 colocaría los dígitos en posiciones incorrectas.

Para volver a binario, desarrolla cada dígito en cuatro bits. Así, 0x3E8 pasa a ser 0011 1110 1000. Conserva los cuatro bits dentro de cada grupo, aunque un grupo empiece por ceros. Solo pueden eliminarse sin cambiar el valor los ceros situados al extremo izquierdo del número completo.

Usa los valores posicionales de base 16

De derecha a izquierda, los valores posicionales hexadecimales son 1, 16, 256 y 4096. Multiplica el valor de cada dígito por su valor posicional y después suma. Para 0x2F, el cálculo es $2\times 16+15=47$. Para 0x3E8:

La conversión de decimal a hexadecimal también funciona mediante divisiones sucesivas, ahora entre 16. Para 1000, el primer cociente es 62 con resto 8. Dividir 62 da cociente 3 con resto 14, que se escribe E. Dividir 3 da cociente 0 con resto 3. Lee los restos de abajo arriba: 3, E, 8.

La agrupación funciona por el valor posicional, no solo por una tabla de correspondencias. En un número hexadecimal de dos dígitos, el cuarteto de bits izquierdo aporta su valor multiplicado por 16 y el derecho aporta su valor multiplicado por 1. En binario, desplazar un cuarteto cuatro posiciones hacia la izquierda también multiplica su valor por 16. Ese factor común permite interpretar ambos grupos de forma independiente sin convertir antes el número completo a decimal.

Reconoce los usos habituales

Un byte tiene dos cuartetos de bits, así que son exactamente dos dígitos hexadecimales, de 0x00 a 0xFF. Un visor de bytes puede mostrar un archivo largo en hexadecimal ocupando la cuarta parte que en binario y manteniendo visibles los límites de los grupos.

Los colores web como #FF8000 usan pares de dígitos hexadecimales para rojo, verde y azul. Las direcciones de memoria y los puntos de código Unicode como U+00E9 también usan hexadecimal. Una dirección MAC como 3C:22:FB:9A:01:7E escribe seis bytes como doce dígitos hexadecimales, con separadores entre los bytes.

El prefijo 0x, un subíndice de base como $2F_{16}$ o el # de un código de color identifican la notación. La computadora almacena los mismos bits independientemente de la notación que use una persona. En particular, 0x10 significa dieciséis. El valor quince es el dígito único F; escribir «15» ocupa dos posiciones hexadecimales y significa veintiuno.

Un entero sin signo representa un número entero no negativo. Todos sus bits tienen los pesos binarios positivos habituales. El ancho fija cuántas posiciones hay disponibles, por lo que un byte no puede ganar un noveno bit solo porque un resultado lo necesite.

Halla el rango

Para $n$ bits, hay $2^n$ patrones. Empezar en cero da el rango $0\text{ a }{2}^n-1$. El valor máximo tiene un 1 en todas las posiciones:

El número de valores disponibles y el valor máximo difieren en uno. Ocho bits permiten 256 opciones, pero el propio 256 necesita nueve posiciones, 1 0000 0000.

Un valor almacenado completa su ancho con ceros iniciales. Por ejemplo, 45 en 16 bits es 0000000000101101, o 0x002D. Esos ceros identifican el ancho sin cambiar el valor. Un número negativo no tiene representación sin signo, sea cual sea el ancho elegido.

Elige suficientes posiciones

Un rango de edades de 0 a 150 cabe en 8 bits porque 150 es menor que 255. Un recuento de 0 a 100 000 contiene 100 001 valores posibles. Dieciséis bits ofrecen solo 65 536 patrones. Diecisiete ofrecen 131 072, por lo que 17 es el ancho mínimo matemático. Un programa que use los anchos habituales de 8, 16, 32 y 64 elegiría 32 bits.

El mismo razonamiento se aplica a cualquier contador acotado: comprueba el mayor valor que el contador debe almacenar realmente, incluidos ambos extremos. Un rango de 0 a 256 necesita 257 patrones y, por tanto, no cabe en un byte.

Una comprobación útil de los límites compara anchos consecutivos. El máximo sin signo de 8 bits es 255 y el de 9 bits es 511. Añadir un bit duplica el número de patrones; el máximo pasa a ser el doble del máximo anterior más uno. Esta distinción importa cuando un requisito coincide exactamente con una potencia de dos: ese extremo necesita una nueva posición, aunque el ancho anterior tenga esa misma cantidad de patrones.

Sigue un resultado fuera del rango

El desbordamiento significa que un resultado no cabe en la representación elegida. Si un cálculo de 8 bits conserva solo los ocho bits menos significativos, 255 más 1 produce 1 0000 0000 y almacena 00000000: cero. La posición adicional se descarta.

Para 200 más 100, el resultado matemático es 300. El ancho conserva el resto tras un ciclo completo de 256 patrones: $300-256=44$. El byte almacenado es 00101100. Este comportamiento se llama desbordamiento con retorno cíclico. No cambia el hecho aritmético de que 200 más 100 es 300; describe lo que retiene el almacenamiento limitado.

El comportamiento ante el desbordamiento depende del sistema. Algunas operaciones vuelven al inicio de forma cíclica, otras señalan un error y algunos tipos numéricos aumentan su capacidad. Un cálculo que pregunte por el retorno cíclico debe especificar ese comportamiento antes de que descartes los bits más significativos.

Observa los anchos fijos en los datos

Una dirección IPv4 tiene 32 bits, lo que ofrece unos 4,3 mil millones de patrones posibles. Ese espacio finito de direcciones contribuyó a la necesidad de un sistema de direccionamiento más amplio. Un canal de color RGB habitual tiene 8 bits, lo que explica su escala de intensidad de 0–255. En ambos casos, el máximo depende del ancho; escribir más cifras decimales no añade capacidad de almacenamiento.

Un entero negativo necesita una regla de representación, no solo un signo menos escrito junto a un byte. El complemento a dos da un peso negativo al bit más significativo. Las demás posiciones conservan sus pesos positivos, por lo que cada patrón tiene un valor con signo y el cero tiene un solo patrón.

Compara dos interpretaciones con signo

Un esquema más sencillo, signo y magnitud, usa el bit más significativo solo para el signo y los restantes para la magnitud. En 8 bits, +5 es 00000101 y −5 es 10000101. Tiene dos ceros, 00000000 y 10000000, y sumar números de distinto signo requiere reglas adicionales.

En complemento a dos de 8 bits, los pesos son −128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 y 1. Así, 11010011 significa $-128+64+16+2+1=-45$. Interpretar los otros siete bits como una magnitud de 83 daría −83, que corresponde a otra representación.

En general, el rango va de $-2^{n-1}\text{ a }{2}^{n-1}-1$. El cero y los valores positivos se escriben como en binario habitual con un 0 inicial. Todos los bits a uno representan −1.

Escribe un valor negativo

Para cambiar el signo de un valor representable, invierte cada bit y suma 1, manteniendo fijo el ancho. Para codificar −45 en 8 bits:

1. Escribe +45 como 00101101.
2. Invierte los ocho bits: 11010010.
3. Suma 1: 11010011, o 0xD3.

Detenerse tras la inversión produce −46. Aplicar el proceso completo a 11010011 vuelve a dar 00101101, recuperando +45.

Otra vía codifica $-x$ como el valor sin signo $2^n-x$. Aquí, $256-45=211$, cuya representación binaria es 11010011. Por tanto, el byte significa 211 sin signo o −45 con signo. Los bits no han cambiado; el tipo sí.

La inversión seguida de la suma también tiene una explicación aritmética. Para un valor positivo x de n bits, la inversión lo transforma en el valor sin signo $2^n-1-x$. Sumar uno da $2^n-x$, cuya interpretación con signo es −x. Esto relaciona el método bit a bit con el método de resta y explica por qué omitir el 1 final da un valor negativo incorrecto.

Conserva un valor con signo en más bits

La extensión de signo copia el bit más significativo en las posiciones nuevas de la izquierda. −3 en cuatro bits es 1101; en 8 bits es 11111101. Su peso negativo más significativo y los pesos positivos añadidos siguen sumando −3. Completarlo con ceros daría 00001101, o +13. Los valores positivos se extienden con ceros: 0011 pasa a ser 00000011.

Reconoce los extremos

El complemento a dos permite usar la suma binaria habitual para resultados que caben en el rango. En 4 bits, 0101 más 1101, que significa 5 más −3, da 1 0010. Conservar los cuatro bits menos significativos da 0010, o 2. Esto permite que el mismo hardware básico de suma maneje valores con signo y sin signo.

Un resultado fuera del rango es distinto: 127 más 1 en 8 bits deja 10000000, que se interpreta como −128. Además, −128 no tiene un opuesto positivo en 8 bits. Invertir 10000000 y sumar 1 devuelve 10000000 porque +128 queda fuera del rango. Amplía la representación antes de obtener ese valor positivo.

La primera posición después de la coma binaria vale un medio. Cada posición posterior vale la mitad de la anterior: un cuarto, un octavo, un dieciseisavo, y así sucesivamente. Un 1 aporta esa fracción; un 0 la omite. Las posiciones enteras de la izquierda conservan sus potencias de dos habituales.

Interpreta y construye una fracción binaria

Para ${\mathrm{101,101}}_2$, la parte entera es 4 más 1. La parte fraccionaria es un medio más un octavo, lo que da $4+1+\mathrm{0,5}+\mathrm{0,125}=\mathrm{5,625}$.

Para convertir una fracción decimal, multiplícala por 2 sucesivamente. La parte entera de cada resultado es el siguiente dígito binario; conserva solo la parte fraccionaria para la siguiente multiplicación. Para 0,375:

1. $\mathrm{0,375}\times 2=\mathrm{0,75}$, por lo que el primer bit es 0.
2. $\mathrm{0,75}\times 2=\mathrm{1,5}$, por lo que el siguiente bit es 1; conserva 0,5.
3. $\mathrm{0,5}\times 2=\mathrm{1,0}$, por lo que el siguiente bit es 1 y el proceso termina.

El resultado es ${\mathrm{0,011}}_2$. Su valor es un cuarto más un octavo, o 0,375. Estos bits se leen en el orden en que se obtienen, a diferencia de los restos en la división de números enteros.

Decide si el desarrollo termina

Reduce la fracción a su forma irreducible. Tiene un desarrollo binario finito exactamente cuando su denominador es una potencia de 2. Valores como 0,5, 0,25, 0,75 y 0,375 cumplen esa condición. Por ejemplo, 0,375 es 3/8 y ocho es una potencia de dos.

El decimal 0,1 es 1/10. Su denominador incluye un factor de 5, por lo que su desarrollo binario se repite: $\mathrm{0,0001100110011}{\dots }_2$. Igual que un tercio no puede terminar en decimal, un décimo no puede terminar en binario. Por tanto, la forma escrita corta «0,1» necesita una aproximación cuando solo hay un número limitado de posiciones binarias disponibles. El mismo problema afecta a 0,2 y 0,3.

La regla del denominador se deduce de las propias posiciones. Una cadena finita que termine en la posición fraccionaria f puede escribirse como un entero dividido entre $2^f$. Reducir esa fracción puede eliminar factores de dos, pero no puede introducir otro factor primo en el denominador. Por tanto, un denominador reducido que contenga cinco no puede corresponder a ninguna suma binaria finita de ese tipo.

Reserva una escala fija

Una representación en coma fija asigna un número determinado de bits a la parte fraccionaria. Con cuatro bits enteros y cuatro bits fraccionarios, 0110,1000 significa 6,5. El paso mínimo es $2^{-4}=\mathrm{0,0625}$ y el mayor valor sin signo es 1111,1111, o 15,9375.

De forma equivalente, al entero almacenado de ocho bits se le aplica un factor de escala de 1/16. El patrón 01101000 tiene el valor sin signo 104; dividir entre 16 da 6,5. La coma forma parte de la interpretación, por lo que no necesita almacenarse como un símbolo adicional.

Mantener ocho bits en total, pero usar cinco bits enteros y tres fraccionarios, hace que el paso sea 0,125 y el máximo 31,875. Ganas rango, pero pierdes finura en el espaciado. La coma fija representa exactamente los múltiplos de su paso dentro de su rango.

Un recuento exacto de centésimas de unidad monetaria usa una idea de escala relacionada: 19,99 u.m. se convierten en el entero 1999 centésimas. Para medidas que abarcan magnitudes muy diferentes, la coma flotante almacena una escala móvil, lo que permite cubrir un rango mucho mayor que la coma fija con el mismo ancho.

La coma flotante escribe un valor en notación científica binaria. Por ejemplo, 6,25 es ${\mathrm{110,01}}_2={\mathrm{1,1001}}_2\times 2^2$. La parte inicial es el significando (mantisa) y el exponente determina su escala. IEEE 754 define formatos muy usados para almacenar estas partes.

Conoce los campos

Para un valor normal, la interpretación es $(-1{)}^s\times (\mathrm{1,}f{)}_2\times 2^{E-\text{sesgo}}$. Aquí, $s$ es el bit de signo, $E$ es el exponente almacenado sin signo y $f$ es el campo de fracción. Un bit de signo de 0 significa positivo; 1 significa negativo. Cambiar solo el bit de signo cambia el signo de un valor en coma flotante.

El exponente almacenado es igual al exponente real más el sesgo. En precisión simple, el exponente 2 se convierte en 129, o 10000001; el exponente −3 se convierte en 124, o 01111100. Los exponentes normales almacenados van de 1 a 254 y representan de −126 a 127.

Un significando binario normal siempre empieza por 1, así que el formato omite ese bit implícito. Solo los bits posteriores a la coma entran en el campo de fracción. Esto ofrece 24 dígitos binarios significativos en precisión simple y 53 en doble.

Codifica −6,25 paso a paso

Primero normaliza su magnitud: ${\mathrm{110,01}}_2={\mathrm{1,1001}}_2\times 2^2$. Después completa los campos:

1. Valor negativo: signo 1.
2. Exponente 2: suma 127 para obtener 129, escrito 10000001.
3. Fracción ,1001: almacena 1001 seguido de 19 ceros.

El resultado es 1 10000001 10010000000000000000000, o 0xC0C80000. La fracción se completa por la derecha porque estas posiciones continúan después de la coma. Almacenar el 1 inicial desplazaría el significado de la fracción.

Un exponente real negativo lleva la escala por debajo de uno. Para 0,15625, la forma binaria es ${\mathrm{0,00101}}_2={\mathrm{1,01}}_2\times 2^{-3}$. Su signo en binary32 es 0 y su exponente almacenado es 124, o 01111100. La fracción empieza por 01 y se completa por la derecha. El 1 implícito sigue formando parte del significando normalizado, aunque el número completo sea menor que uno.

Decodifica un patrón

El patrón de precisión simple 0x41200000 se divide en 0 10000010 01000000000000000000000. El signo es positivo. El campo de exponente es 130, así que resta 127 para obtener 3. Recupera el 1 implícito para obtener ${\mathrm{1,01}}_2=\mathrm{1,25}$. Por último, $\mathrm{1,25}\times 2^3=10$.

Comprueba primero los exponentes reservados

La fórmula para valores normales no describe todos los patrones:

Los subnormales representan valores muy pequeños sin el 1 implícito. NaN puede resultar de una operación numérica no válida, como 0 dividido entre 0. IEEE 754-2019 define estos formatos.

Un formato de coma flotante puede cubrir un rango enorme sin representar todos los valores de ese rango. El exponente controla la escala; el campo de fracción controla cuántos bits significativos distinguen valores cercanos. El rango de representación y la precisión responden a preguntas diferentes.

Compara la precisión simple y la doble

La precisión simple alcanza aproximadamente $\mathrm{3,4}\times {10}^{38}$ y tiene unas siete cifras decimales significativas. Su menor valor normal positivo es aproximadamente $\mathrm{1,18}\times {10}^{-38}$. La doble alcanza aproximadamente $\mathrm{1,8}\times {10}^{308}$, tiene unas 15–16 cifras decimales significativas y su menor valor normal positivo es aproximadamente $\mathrm{2,2}\times {10}^{-308}$. Los valores subnormales se extienden por debajo del mínimo normal de cada formato.

Las cifras significativas se cuentan desde la primera cifra relevante, no desde la coma decimal. Un exponente grande no crea más bits de fracción. En precisión simple, la separación por encima de 1 es $2^{-23}\approx \mathrm{1,19}\times {10}^{-7}$. Entre $2^{24}$ y $2^{25}$ la separación es 2, por lo que el entero 16 777 217 no está disponible, aunque sea mucho menor que el máximo valor finito.

Redondea a un valor que quepa

La regla predeterminada de IEEE 754 es redondeo al más cercano, al par en caso de empate. Elige el valor representable más cercano; si está exactamente a medio camino, elige aquel cuyo último bit conservado del significando sea par. Así, 16 777 217 se redondea a 16 777 216 en precisión simple.

La diferencia entre el valor deseado y el almacenado es el error de redondeo. En precisión simple, 0,1 se almacena como 0,100000001490116119384765625. En doble es aproximadamente 0,10000000000000000555. Una mayor precisión reduce este error, pero no puede hacer que termine un desarrollo periódico.

Comprende un resultado conocido

Con la aritmética habitual de precisión doble de IEEE 754, sumar 0,1 y 0,2 produce un resultado almacenado que suele mostrarse como 0.30000000000000004. Difiere de la aproximación almacenada de 0,3, por lo que 0.1 + 0.2 == 0.3 es falso en lenguajes como Python y JavaScript. Para resultados de mediciones, compara la diferencia con una tolerancia elegida según la escala y el propósito de la tarea.

Muchos valores son exactos. La precisión doble representa exactamente todos los enteros desde $-2^{53}$ hasta $2^{53}$. Valores como 0,5 y 0,375 también tienen formas binarias cortas que caben tanto en su significando como en su rango de exponentes.

Elige un tipo numérico adecuado

Los enteros son adecuados para recuentos e identificadores. Para importes financieros exactos convienen cantidades enteras de unidades monetarias menores, como centésimas de unidad monetaria, o un tipo numérico decimal. La coma flotante suele ser adecuada para medidas y cálculos científicos. Una magnitud demasiado grande para el formato puede desbordarse hasta infinito; con la regla de redondeo predeterminada, ${10}^{39}$ en precisión simple se convierte en infinito positivo. Los resultados muy pequeños pueden convertirse en subnormales o redondearse a cero.

Las convenciones de presentación son independientes del almacenamiento. Las formas «3.14» y «3,14» pueden nombrar el mismo número en distintas configuraciones regionales. Un lector de texto debe conocer esa convención; de lo contrario, podría rechazar la coma o interpretar el valor como 314. Cambiar el separador mostrado no mejora la precisión binaria.

Para almacenar texto, un sistema asigna códigos numéricos a los caracteres y escribe esos números como bits. Un código de carácter solo funciona cuando quien lee usa el mismo acuerdo que quien escribe. El byte de una letra es una etiqueta codificada; no es una imagen diminuta de esa letra.

Interpreta la tabla ASCII

ASCII, el Código Estándar Estadounidense para el Intercambio de Información, se publicó por primera vez en 1963. Usa 7 bits para 128 códigos, numerados de 0–127. En el almacenamiento basado en bytes, un código ASCII suele ocupar un byte con un 0 inicial.

Los signos de puntuación ocupan los huecos. Los códigos 32–126 forman 95 caracteres imprimibles, incluido el espacio. Los controles afectan al tratamiento del texto sin imprimir un símbolo visible: la tabulación es 9, el salto de línea es 10 y el retorno de carro es 13.

Codifica una cadena corta

El texto formado por «H», «i» y «!» tiene tres caracteres. Sus códigos decimales son 72, 105 y 33; en hexadecimal son 0x48, 0x69 y 0x21. Como bytes completos, el texto se convierte en 01001000 01101001 00100001. El signo de exclamación necesita un código igual que las letras.

El código de una letra ASCII minúscula es 32 unidades mayor que el de su mayúscula. «A» es 65, o 01000001, mientras que «a» es 97, o 01100001. Ese único bit cambiado explica la diferencia. El orden también sitúa todas las mayúsculas antes que todas las minúsculas. Por tanto, una ordenación sencilla basada en códigos coloca «Zorro» antes que «abeja»; no sigue el orden habitual de un diccionario.

Distingue un dígito de un número

El carácter «7» tiene el código decimal 55 y el byte 00110111. El entero 7 tiene el byte 00000111. Para recuperar el valor numérico de un dígito a partir de su código ASCII, resta 48, el código de «0»: $55-48=7$. Esto funciona porque los diez códigos de dígitos son consecutivos.

El almacenamiento depende de la representación elegida. El texto «2026» necesita cuatro bytes ASCII, uno por dígito. El entero 2026 cabe en dos bytes como valor sin signo de 16 bits. El texto conserva la secuencia de caracteres; un entero representa el valor numérico. Por ejemplo, un identificador textual puede conservar ceros iniciales que un entero no distingue.

Para codificar una cadena más larga, procesa cada carácter en orden, incluidos espacios, signos de puntuación y controles. La decodificación invierte la consulta, un código cada vez, con la misma tabla. La secuencia importa: intercambiar dos códigos válidos puede seguir produciendo ASCII válido, pero produce un texto diferente. Que una consulta tenga éxito confirma que los códigos se reconocen, no que tengan el orden o el significado deseados.

Comprende por qué las páginas de códigos causaban problemas

ASCII no tiene letras con signos diacríticos como «é», «ñ» o «ü», ni caracteres griegos, cirílicos, árabes o chinos. Las páginas de códigos posteriores de 8 bits usaban los valores 128–255 para símbolos adicionales, pero no coincidían en las incorporaciones.

Por ejemplo, el byte 0xE9 significa «é» en Latin-1, pero «й» en Windows-1251. Windows-1252 es otra página de códigos habitual. Por tanto, un valor de byte no puede identificar un carácter ajeno a ASCII sin conocer la codificación. Usar la tabla incorrecta puede producir símbolos aparentemente legibles que siguen siendo el texto equivocado.

Unicode asigna a los caracteres de los sistemas de escritura del mundo un conjunto común de números llamados puntos de código. «A» es U+0041, «é» es U+00E9, «Ж» es U+0416, «中» es U+4E2D y «😀» es U+1F600. La notación U+ usa hexadecimal con al menos cuatro dígitos.

Distingue un punto de código de sus bytes

El espacio de códigos va de U+0000 a U+10FFFF, es decir, 1 114 112 posiciones, con más de 150 000 caracteres asignados. Un punto de código identifica un carácter o una posición reservada; una codificación determina su representación en bytes.

El intervalo de sustitutos U+D800–U+DFFF está reservado para el mecanismo de emparejamiento de UTF-16; los sustitutos aislados no son caracteres válidos para codificar en estas formas. Un par de unidades de código UTF-16 representa un punto de código suplementario. Por ejemplo, «😀» es D83D DE00 en UTF-16.

Interpreta los intervalos de bytes de UTF-8

UTF-8 conserva ASCII: U+0000–U+007F usan un byte. U+0080–U+07FF usan dos; los puntos de código de caracteres válidos de U+0800–U+FFFF usan tres; U+10000–U+10FFFF usan cuatro. Esto hace que el texto inglés en ASCII sea compatible byte por byte con UTF-8.

Un carácter de un solo byte empieza por 0. Los caracteres más largos empiezan por 110, 1110 o 11110 para dos, tres o cuatro bytes. Cada byte de continuación empieza por 10. Los bits restantes contienen el punto de código.

Para «é», U+00E9, el valor de 11 bits es 00011101001. Divídelo en cinco bits y seis bits: 00011 y 101001. Insértalos en 110xxxxx 10xxxxxx para obtener 11000011 10101001, o C3 A9. El punto de código 00E9 no es por sí mismo la secuencia de bytes UTF-8.

La codificación y la decodificación también deben respetar los prefijos de los bytes. Un byte de continuación UTF-8 no es un byte ASCII independiente: sus primeros dos bits son 10, por lo que pertenece al interior de una secuencia de carácter más larga. Eliminar parte de un carácter de varios bytes al aplicar un límite de bytes puede dejar una secuencia incompleta. Por tanto, la longitud de almacenamiento y los límites por los que puede dividirse el texto están relacionados.

Cuenta los elementos adecuados

«café» tiene cuatro caracteres visibles, pero cinco bytes UTF-8: 63 61 66 C3 A9. «€» usa E2 82 AC, tres bytes; «中» usa E4 B8 AD, también tres; «😀» usa F0 9F 98 80, cuatro. Por tanto, un límite de bytes puede admitir menos caracteres de lo que su cifra sugiere.

Un carácter visible también puede contener varios puntos de código. «é» puede ser U+00E9 o «e» seguido de U+0301, un acento agudo combinante. La segunda forma usa tres bytes UTF-8, 65 CC 81. La normalización Unicode convierte secuencias equivalentes a una forma común para compararlas. El emoji visible «👍🏽» contiene dos puntos de código, U+1F44D y U+1F3FD, que suman ocho bytes UTF-8.

Diagnostica el texto ilegible por codificación incorrecta

«café» en UTF-8 leído como Windows-1252 se convierte en «café»: C3 y A9 se tratan como caracteres separados. Esto es texto ilegible por una codificación incorrecta, causado por decodificar con la codificación equivocada. Una decodificación correcta puede recuperar el texto mientras los bytes originales permanezcan intactos. Una página web puede declarar su codificación con <meta charset="utf-8">.

Un mapa de bits, también llamado imagen ráster, es una cuadrícula de píxeles. Cada píxel contiene un valor de color. El ancho y el alto indican la resolución de la imagen: 1920 por 1080 significa $1920\times 1080=2073600$ píxeles. El número de píxeles describe la cuadrícula, no su tamaño impreso en metros.

Asigna suficientes bits a cada píxel

La profundidad de color es el número de bits usados para el color de un píxel. Una profundidad de $k$ bits permite $2^k$ códigos posibles. Un bit puede distinguir dos colores. Una escala de grises de ocho bits puede distinguir 256 intensidades, normalmente de 0 para negro a 255 para blanco.

Una imagen sencilla de 3 por 3 puede usar 1 para negro y 0 para blanco. Un signo más negro se representa mediante las filas 010, 111 y 010. Nueve píxeles de un bit cada uno necesitan nueve bits de información de píxeles. El almacenamiento real del archivo puede incluir relleno y otra información además de esos bits.

Mezcla luz con RGB

RGB almacena intensidades de luz roja, verde y azul. Con 8 bits por canal, cada intensidad va de 0 a 255 y un píxel usa 24 bits. El número de colores posibles es ${256}^3=2^{24}=16777216$.

RGB es una mezcla aditiva de luz. Combinar luz roja y verde produce amarillo. Una predicción basada en mezclar pintura usa un proceso diferente y da un modelo incorrecto para una pantalla.

Interpreta códigos de color hexadecimales

Un color web usa #RRGGBB: dos dígitos hexadecimales para rojo, después verde y después azul. #FF8000 significa (255, 128, 0), un naranja. #808080 significa (128, 128, 128), un gris medio; valores iguales en los canales producen un gris. #0000FF da el valor máximo de azul con rojo y verde a cero.

Cada par es un byte. Así, FF es 255, no un par de intensidades de color separadas. El # identifica el código RGB completo y no ocupa un canal.

Los modelos RGB y de paleta resuelven de forma distinta la consulta de un píxel. En RGB directo, leer el píxel proporciona inmediatamente las intensidades de sus tres canales. En color indexado, leer el píxel proporciona un número de entrada y una segunda consulta aporta las intensidades. Por tanto, cambiar una entrada de la paleta puede cambiar muchos píxeles visibles que comparten el mismo índice, aunque sus índices almacenados sigan sin cambios.

Almacena un índice de paleta

Cuando una imagen usa pocos colores, puede guardar una paleta de colores, una tabla con los colores seleccionados. Entonces un píxel almacena un índice de esa tabla. Una paleta de 16 colores necesita cuatro bits por píxel porque cuatro bits distinguen 16 entradas. La propia paleta también ocupa almacenamiento. GIF usa hasta 256 colores de paleta, lo que permite un índice de 8 bits por píxel.

Añade transparencia

Un canal alfa describe la opacidad. Una escala habitual de 8 bits usa 0 para totalmente transparente y 255 para totalmente opaco, con valores intermedios para transparencia parcial. Añadir ese canal a RGB de 24 bits da RGBA de 32 bits. Alfa es independiente de rojo, verde y azul: un píxel totalmente transparente puede seguir teniendo valores de color almacenados que no se muestran en la imagen final.

Los datos de píxeles de un mapa de bits sin comprimir aumentan con el número de píxeles y los bits por píxel. Mantener las unidades en cada paso ayuda a distinguir la cantidad de información del tamaño en bytes que indica un visor de archivos.

Calcula los datos de píxeles

Usa $\text{bits}=\text{ancho}\times \text{alto}\times \text{bits por p}\acute{\text{ı}}\text{xel}$. Divide entre 8 para obtener bytes. El ancho y el alto deben multiplicarse porque cada fila contiene un ancho completo de píxeles.

Para 1920 por 1080 a 24 bits por píxel, calcula primero 2 073 600 píxeles. Multiplica por 24 para obtener 49 766 400 bits y después divide entre 8 para obtener 6 220 800 bytes. Son unos 6,2 MB, o 5,93 MiB. Cambiar la unidad no cambia los datos de píxeles subyacentes.

Para 640 por 480 en escala de grises de 8 bits, hay 307 200 píxeles. Ocho bits cada uno dan 2 457 600 bits; dividir entre 8 da 307 200 bytes, unos 307 kB. Aquí, un byte por píxel hace que el número final de bytes sea igual al número de píxeles.

Predice los cambios antes de calcular

Duplicar el ancho duplica los píxeles de cada fila. Duplicar el alto duplica las filas. Por tanto, duplicar ambos multiplica por cuatro el número de píxeles y el almacenamiento. Aumentar la profundidad de 8 a 24 bits por píxel triplica el almacenamiento con la misma resolución. Estos factores se multiplican si cambian ambos.

El cálculo sin comprimir da los datos de píxeles, no necesariamente un archivo de imagen completo. Un archivo también almacena metadatos, como el ancho, el alto, la profundidad de color y el formato. Una foto puede registrar los ajustes de la cámara, la fecha y la ubicación. Las tablas de paleta, las cabeceras, el relleno y la compresión también pueden cambiar el tamaño final en bytes.

Para profundidades inferiores a ocho bits, calcula toda la carga útil en bits antes de convertir. Una imagen de un bit de 100 por 60 contiene 6000 bits de píxeles, o 750 bytes empaquetados. Tratar cada píxel como un byte multiplicaría esa carga útil por ocho. Si un formato añade relleno a cada fila hasta un límite determinado, ese relleno debe sumarse por separado; no es un cambio de profundidad de color.

Amplía el cálculo al vídeo

Un vídeo presenta una secuencia de imágenes llamadas fotogramas. A 30 fotogramas por segundo, un vídeo RGB de 1920 por 1080 necesita $6220800\times 30=186624000$ bytes de datos de imagen sin comprimir cada segundo, unos 187 MB/s. Multiplicar por la duración da el total de datos de imagen. El sonido añade su propio almacenamiento.

Esta tasa elevada explica por qué los archivos de vídeo habituales están comprimidos. La tasa de un vídeo comprimido es una cantidad distinta; no puede deducirse solo de la resolución.

Compara imágenes ráster y vectoriales

Un archivo vectorial puede describir una línea de (0, 0) a (100, 50), o un círculo mediante su centro, radio y relleno. No necesita almacenar un valor de color separado para cada punto dentro del círculo. Por eso los dibujos sencillos pueden ocupar poco espacio. SVG es un formato vectorial habitual.

Una pantalla sigue necesitando píxeles. La rasterización convierte las formas en una cuadrícula de píxeles del tamaño solicitado. Escalar instrucciones vectoriales conserva la geometría de la forma; ampliar un mapa de bits existente no puede recuperar detalles que su cuadrícula original nunca registró.

El sonido es una vibración de la presión del aire. Un micrófono lo convierte en una señal eléctrica analógica que varía continuamente. Un convertidor analógico-digital toma medidas regulares, llamadas muestras, y almacena cada una como un número.

Distingue la frecuencia temporal del detalle de la medida

La frecuencia de muestreo, medida en hercios, es el número de muestras tomadas cada segundo por canal. Una frecuencia de 44 100 Hz es 44,1 kHz. Los CD usan 44,1 kHz, las pistas de sonido de vídeo suelen usar 48 kHz y el audio de telefonía tradicional usa 8 kHz. Las muestras registran valores en esos instantes; no son un registro continuo de todos los instantes intermedios.

La profundidad de bits determina cuántos niveles puede usar cada muestra. Ocho bits ofrecen 256 niveles, 16 ofrecen 65 536 y 24 ofrecen 16 777 216. Redondear una medida a un nivel es la cuantificación. La diferencia respecto a la medida original produce un error de cuantificación que puede oírse como ruido. Más bits ofrecen niveles más finos y reducen ese error.

La frecuencia de muestreo controla el detalle temporal; la profundidad de bits controla el detalle de la amplitud medida. Aumentar una no sustituye aumentar la otra.

Capta el rango de frecuencias

El teorema del muestreo exige una frecuencia de muestreo mayor que el doble de la frecuencia máxima que se desea captar. Para captar 20 kHz, la frecuencia debe superar 40 kHz. Exactamente el doble no basta para una señal arbitraria en el límite.

A 44,1 kHz, el límite teórico está por debajo de 22,05 kHz. El margen por encima de unos 20 kHz, el límite superior aproximado del oído humano, deja espacio para un filtro contra el solapamiento espectral. Las frecuencias superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo pueden aparecer como frecuencias falsas más bajas, lo que se llama solapamiento espectral. Un convertidor filtra esas frecuencias altas antes de muestrear.

Una frecuencia de 44 100 Hz se aplica a cada canal, no a la grabación como un flujo combinado. Por tanto, el estéreo almacena 88 200 valores de muestra cada segundo. El factor de canales forma parte de la fórmula de almacenamiento porque cada instante tiene un valor izquierdo y otro derecho. No duplica la frecuencia máxima que puede captar cada canal; ese límite sigue dependiendo de su propia frecuencia de muestreo.

Calcula el audio sin comprimir

El mono tiene un canal; el estéreo tiene dos. El tamaño de la carga útil es

Para una grabación estéreo de tres minutos a 44 100 Hz y 16 bits, la tasa es $44100\times 16\times 2=1411200$ bit/s. Multiplica por 180 segundos para obtener 254 016 000 bits y después divide entre 8: 31 752 000 bytes, unos 31,8 MB.

Una grabación mono de diez segundos a 8000 Hz y 8 bits da $8000\times 8\times 1\times 10=640000$ bits, u 80 000 bytes. Una grabación estéreo con los mismos ajustes ocuparía el doble.

Elige qué almacenar

Unas frecuencias y profundidades mayores requieren más espacio. Los ajustes de CD suelen bastar para escuchar; los estudios suelen usar 24 bits y 48 kHz o más para dejar margen de procesamiento y edición.

MIDI registra instrucciones de notas: qué notas, cuándo empiezan, su intensidad y los instrumentos elegidos. Puede ocupar mucho menos que una interpretación muestreada, pero la reproducción depende de los sonidos de instrumentos disponibles. MIDI puede describir la melodía de una persona que canta como notas; no puede contener su voz grabada real.

La compresión sin pérdidas permite que la descompresión reconstruya exactamente los bits originales. El texto, los archivos de programas, las hojas de cálculo y otros datos exactos necesitan esa propiedad. ZIP, PNG, GIF y FLAC son formatos sin pérdidas conocidos. Aprovechan la redundancia: información repetida o predecible que tiene una descripción más corta.

Describe rachas repetidas

La codificación por longitud de rachas, o RLE, sustituye símbolos idénticos consecutivos por un recuento y el símbolo. La cadena de 18 caracteres «AAAAAABBBCCCCCCCCD» se convierte en «6A3B8C1D», ocho caracteres según esta convención de recuento y símbolo. La decodificación desarrolla cada par: seis A, tres B, ocho C y una D.

La misma idea sirve para zonas de imagen de color plano. La fila de píxeles 0000000011110000 puede describirse como ocho ceros, cuatro unos y cuatro ceros. Un archivo real debe definir cómo se almacenan los recuentos y los símbolos para que la decodificación sea inequívoca.

Las rachas cortas pueden aumentar el tamaño con RLE. «ABCD» se convierte en «1A1B1C1D», lo que duplica el número de caracteres antes de añadir cualquier cabecera. La compresión solo funciona cuando el ahorro supera el coste de describir el patrón.

Haz referencia a una secuencia repetida

Un método de compresión por diccionario sustituye una secuencia repetida por una referencia. Los métodos de la familia LZ son la base de formatos como ZIP y PNG. En «nunca digas: nunca», el segundo «nunca» puede sustituirse por una instrucción para retroceder 13 caracteres y copiar cinco. Los espacios cuentan como caracteres. El decodificador ya tiene ese texto anterior y puede reproducir la secuencia a partir de la referencia.

Asigna códigos más cortos a los símbolos frecuentes

Un código de longitud variable usa distintas longitudes de bits para distintos símbolos. La codificación de Huffman construye códigos a partir de las frecuencias de los símbolos. En «ABRACADABRA», A aparece cinco veces, B y R dos veces cada una, y C y D una vez cada una. Un código de ancho fijo para cinco símbolos necesita tres bits por símbolo, o 33 bits para once letras.

Un código libre de prefijos adecuado es A = 0, B = 10, R = 110, C = 1110 y D = 1111. Los datos codificados usan $5\times 1+2\times 2+2\times 3+1\times 4+1\times 4=23$ bits. La tabla de códigos añade sobrecarga, por lo que 23 bits por sí solos no son el tamaño completo del archivo.

Libre de prefijos significa que el código de ningún símbolo es el inicio del código de otro. Por tanto, leer 0110 da A seguido de R sin necesitar separadores. Esta propiedad permite que un decodificador de Huffman reconozca un símbolo en cuanto termina su código.

El decodificador debe conocer la convención de codificación además de la carga útil. Para un flujo de tipo Huffman, necesita la correspondencia entre símbolos y códigos; para RLE, necesita distinguir un recuento de un símbolo. Un mensaje pequeño puede ahorrar bits de carga útil y, aun así, aumentar de tamaño total al incluir esta descripción. Compara los tamaños completos original y codificado al decidir si un método ha reducido realmente el archivo.

Mide el ahorro y reconoce las limitaciones

La relación de compresión es el tamaño original dividido entre el tamaño comprimido. Reducir 6 MB a 2 MB da 3:1. Usa la misma unidad en ambos lados.

Ningún método sin pérdidas puede acortar todos los archivos posibles. Hay $2^n$ entradas diferentes de n bits, pero solo $2^n-1$ cadenas de bits más cortas que n bits. La recuperación exacta exige que las distintas entradas sigan siendo distinguibles, así que no todas pueden recibir salidas más cortas. Los datos aleatorios y los archivos ya comprimidos suelen reducirse poco o aumentar por la sobrecarga añadida.

La compresión con pérdidas elimina información para reducir el tamaño del archivo. La descompresión crea una versión próxima a la original, con algunos detalles perdidos de forma permanente. Las fotografías, la música, la voz y el vídeo pueden tolerar pérdidas seleccionadas que el texto exacto o los datos de programas no pueden admitir.

Comprime imágenes según su importancia visual

JPEG aprovecha la distinta sensibilidad de la visión humana al brillo, al color y a los detalles finos. Un JPEG típico reduce la resolución de los detalles finos de color y redondea los detalles finos de imagen representados en bloques de 8 por 8. Su ajuste de calidad controla con qué intensidad se descarta información. Una compresión mayor puede producir bloques, desenfoque y halos cerca de los bordes nítidos.

Una fotografía suele poder alcanzar aproximadamente 10:1 con poca pérdida visible. Con esa relación, una imagen con 6 220 800 bytes de datos de píxeles sin comprimir usaría unos 622 080 bytes comprimidos, aproximadamente 0,6 MB. La relación es un ejemplo, no una propiedad fija de todos los JPEG.

Comprime sonido según lo que puede oírse

MP3 y AAC usan codificación perceptual. Un sonido débil puede quedar enmascarado por otro más fuerte de una frecuencia cercana, de modo que el codificador puede dedicar menos bits a información que probablemente no se oiga. Un archivo más pequeño puede seguir sonando de forma muy parecida al original.

Con una tasa de bits constante, el tamaño en bits equivale a la tasa de bits multiplicada por la duración. A 128 kbit/s, una grabación de tres minutos necesita $128000\times 180=23040000$ bits, o 2 880 000 bytes, unos 2,9 MB. Es aproximadamente una undécima parte de los 1411,2 kbit/s del audio de CD sin comprimir. La tasa comprimida ya describe el flujo codificado; no la multipliques de nuevo por la profundidad de bits de las muestras originales.

Aprovecha las similitudes entre fotogramas de vídeo

Los fotogramas vecinos suelen mostrar casi la misma escena. Los formatos de vídeo como H.264 y AV1 comprimen los detalles de imagen y describen muchos fotogramas mediante cambios o predicciones a partir de otros fotogramas. Esto elimina información repetida a lo largo del tiempo y también dentro de cada imagen.

Ajusta el formato al uso

Conserva un original sin pérdidas para futuras ediciones. Decodificar y volver a codificar repetidamente con pérdidas puede añadir pérdida generacional. Convertir un JPEG que ya tiene pérdidas a PNG conserva sus píxeles decodificados actuales, pero no puede restaurar los detalles eliminados antes.

Una compresión mayor puede costar calidad, tiempo de procesamiento o ambos. La elección útil depende de lo que contiene el archivo y de cómo se usará; el archivo más pequeño no siempre es el más útil.