Helften en kwarten

Begin met een heel papieren vierkant. Het geheel is het complete ding. Scheur het in stukken en elk stuk is een deel. Leg elk stuk weer op zijn plaats en je hebt het geheel terug.

Een geheel kan ook een groepje zijn. Een doos met 8 kleurpotloden is één heel groepje. Je kunt dat groepje verdelen zonder een kleurpotlood te breken.

Controleer de grootte van stukken papier

Gelijke delen zijn precies even groot. Vouw een papieren vierkant dubbel door het midden. Leg de hoeken en randen op elkaar. De twee kanten bedekken elkaar en er steekt niets uit. Het zijn gelijke delen.

Denk nu aan een koekje dat vlak bij de rand is gebroken. Het heeft een groot en een klein stuk. Dit zijn ongelijke delen. Als je twee stukken telt, weet je hoeveel stukken er zijn. Je weet dan nog niet of ze even groot zijn.

Dezelfde controle is ook bij vier stukken nodig. Een pizza met één reusachtige punt en drie piepkleine punten heeft vier stukken. Die stukken zijn ongelijk.

Tel de voorwerpen in elk deel

Als je een groepje verdeelt, controleer je het aantal in elk deel. Stel je voor dat je 6 druiven tussen jou en een vriend verdeelt.

• Jij krijgt 3 druiven. Je vriend krijgt 3 druiven. De delen zijn gelijk.
• Jij krijgt 4 druiven. Je vriend krijgt 2 druiven. De delen zijn ongelijk.

Een eerlijk deel is een gelijk deel. Je kunt de druiven in twee rijen leggen. Wijs in elke rij één druif aan en maak zo paren. Met 3 in elke rij heeft elke druif een maatje. Met 4 en 2 blijven er in de langere rij druiven zonder maatje over.

Kleuren veranderen het aantal niet. Het ene deel kan 2 rode auto’s en 1 blauwe auto bevatten. Het andere kan 3 blauwe auto’s bevatten. Elk deel heeft 3 auto’s, dus de groepjes hebben gelijke aantallen.

Controleer ook een lijn

Een lijn over papier maakt niet altijd gelijke delen. Teken een lijn over een strook, dicht bij een uiteinde. Je krijgt een kort en een lang deel. Vouw het korte deel over het lange deel. Een stuk van het lange deel steekt uit.

Verplaats de lijn naar het midden. Breng de uiteinden van de strook bij elkaar om het te controleren. Nu passen de twee delen op elkaar.

Je kunt gelijke delen maken met papier of met een groepje voorwerpen. Leg bij papier de randen op elkaar. Geef voorwerpen om de beurt aan iedereen.

Vouw een papieren figuur

Pak een papieren rechthoek.

1. Breng de linkerrand naar de rechterrand.
2. Leg de hoeken op elkaar en druk de vouw plat.
3. Vouw het papier open. De vouw geeft twee gelijke delen aan.

Je kunt ook de bovenrand naar de onderrand brengen. Zo maak je op een andere manier twee gelijke delen. Een lijn van een hoek naar de overstaande hoek werkt ook. Daarmee maak je twee driehoeken die op elkaar passen.

Bij een papieren cirkel geeft een rechte vouw door het middelpunt, precies in het midden, twee gelijke delen. Een rechte lijn aan één kant van het middelpunt geeft een groter en een kleiner deel.

Om vier gelijke delen van een vierkant te maken, vouw je het dubbel. Laat het gevouwen en vouw het nog eens dubbel. Leg de randen steeds op elkaar. Vouw het helemaal open en bekijk de vier delen.

Geef iedereen een beurt

Leg 10 knikkers in het midden en verdeel ze over twee plekken.

1. Leg één knikker op de eerste plek.
2. Leg één knikker op de tweede plek.
3. Blijf de plekken om de beurt een knikker geven tot er in het midden niets meer ligt.
4. Tel beide delen. Elk deel heeft 5 knikkers.

Alle knikkers zijn verdeeld en de aantallen zijn gelijk. Je kunt het geheel controleren door op te tellen:

Maak voor vier kinderen vier plekken. Verdeel 8 aardbeien en geef elk kind om de beurt één aardbei. Na één ronde heeft ieder kind er 1. Na de volgende ronde heeft ieder kind er 2. Controleer alle vier de delen:

Kijk of er iets overblijft

Probeer 7 speelgoedauto’s over twee plekken te verdelen. Op elke plek komen 3 auto’s en er blijft 1 auto in het midden over. Als je die auto op één van de plekken legt, worden de delen ongelijk.

Met eten dat je kunt splitsen, heb je nog een mogelijkheid. Verdeel 7 koekjes en geef ieder 3 hele koekjes. Splits het laatste koekje in twee gelijke stukken. Iedereen krijgt 3 koekjes en een half koekje.

Een half is één van twee gelijke delen van een geheel. Je kunt “een half” zeggen. Samen noem je de twee delen helften.

Leg de twee helften van een boterham tegen elkaar. Samen vormen ze de hele boterham, zonder dat er een stukje ontbreekt.

Helften kunnen er verschillend uitzien

Stel je drie papieren vierkanten voor die allemaal even groot zijn.

• Vouw het eerste overdwars door het midden. Je krijgt twee rechthoeken.
• Vouw het tweede van boven naar beneden door het midden. Je krijgt op een andere manier twee rechthoeken.
• Vouw het derde van een hoek naar de overstaande hoek. Je krijgt twee driehoeken.

Elk vierkant heeft twee delen die op elkaar passen. Elk deel is een half van zijn vierkant. Een half hoeft geen rechthoek of driehoek te zijn. Het gaat erom hoeveel ruimte het van het geheel inneemt.

Een papieren cirkel kun je ook in helften verdelen. Vouw hem zo dat de ronde randen op elkaar liggen. De vouw gaat door het middelpunt. Vouw hem open en elke helft ziet eruit als de helft van een ronde pizza.

Kleur één van de twee gelijke delen van je vierkant of cirkel. Je hebt een half gekleurd. Kleur ook het andere deel en het geheel is gekleurd.

Bepaal het midden van een lengte

Pak een papieren strook en breng de twee uiteinden bij elkaar. Houd de strook plat en leg de randen op elkaar. Druk de vouw aan en vouw de strook open. De vouw geeft het midden van de lengte aan.

Het deel van elk uiteinde tot de vouw is half zo lang als de hele strook. Je kunt dit controleren door opnieuw te vouwen: de twee lengtes liggen op elkaar.

Denk aan een trein van 10 gelijke kubussen op een rechte rij. Splits hem in twee gelijke treinen. Elke trein heeft 5 kubussen en is dus half zo lang als de eerste trein.

Halveren betekent helften maken

Iets halveren betekent het in twee gelijke delen splitsen. Je halveert een vierkant door twee gelijke stukken te maken. Je halveert een strook door twee gelijke lengtes te maken.

Twee stukken alleen zijn niet genoeg. Een boterham met een groot en een klein stuk heeft ongelijke stukken. Bij rekenen bestaat er geen “grootste helft”. Controleer of er twee delen zijn en of ze gelijk zijn.

De helft van een groepje is één van twee gelijke groepjes. Om die te bepalen, verdeel je alles over twee plekken. Daarna tel je de voorwerpen op één plek.

Verdeel 12 stickers

Sam heeft 12 stickers. Hij geeft de helft aan zijn zus.

1. Verdeel de stickers één voor één over twee plekken.
2. Tel de stickers op elke plek. Op beide plekken liggen er 6.
3. Geef één deel aan zijn zus. Zij krijgt 6 stickers.

Sam houdt de andere 6. Controleer:

Er zijn twee groepjes, maar het antwoord is 6 stickers. De vraag is hoeveel stickers er in één helft zitten.

Gebruik een dubbelsom die je kent

Halveren en verdubbelen maken elkaar ongedaan. Het dubbele van 4 is 8, dus de helft van 8 is 4. Het dubbele van 6 is 12, dus de helft van 12 is 6.

Dit zijn de helften van even getallen tot en met 20:

Je kunt elke rij controleren door de helft bij zichzelf op te tellen. Bijvoorbeeld: 7 en 7 zijn samen 14.

Reken terug vanaf een half

De helft van een doos eieren is 6 eieren. Hoeveel eieren zitten er in een volle doos?

De andere helft bevat ook 6 eieren. Voeg de twee helften samen:

In de hele doos zitten 12 eieren. Hier verdubbel je de helft om het geheel te bepalen. Als je 6 nog eens halveert, krijg je een kleiner deel.

Anders neerleggen geeft dezelfde helft

Leg 10 telfiches op een rij. De helft is 5 telfiches. Leg dezelfde telfiches in een cirkel. Het zijn er nog steeds 10 en de helft is nog steeds 5. Door voorwerpen anders neer te leggen, komen er geen bij en gaan er geen af.

Bij oneven groepjes blijft er iets over als je hele voorwerpen verdeelt. Bij 7 knikkers blijft er na twee delen van 3 nog 1 knikker over. Bij 7 appels kun je de laatste appel in gelijke helften splitsen. Elk deel bestaat dan uit 3 appels en een halve appel.

Een kwart is één van vier gelijke delen van een geheel. Een vierde deel betekent hetzelfde. Vier kwarten vormen samen weer het geheel.

Vouw een kwart

Begin met een papieren vierkant.

1. Vouw het dubbel en leg de randen op elkaar.
2. Laat het gevouwen. Vouw die helft nog eens dubbel.
3. Vouw het vierkant helemaal open.

De vouwen maken vier gelijke kleine vierkanten. Kleur één klein vierkant. Je hebt een kwart van het oorspronkelijke vierkant gekleurd.

De tweede vouw heeft elke helft in twee kleinere delen gesplitst. Daarom is een kwart de helft van een half.

Probeer andere vormen van kwarten

De kwarten van een vierkant kunnen er verschillend uitzien. Eén lijn overdwars door het midden en één lijn van boven naar beneden door het midden maken vier kleine vierkanten. Twee lijnen van hoek naar hoek maken vier gelijke driehoeken. Drie lijnen overdwars, op gelijke afstanden van elkaar, maken vier gelijke stroken.

Controleer steeds de grootte en tel vier delen. De vorm van een stuk kan veranderen terwijl het een kwart blijft.

Stel je bij een cirkel twee rechte lijnen door het middelpunt voor. Ze kruisen elkaar als een plusteken en maken rechte hoeken. De cirkel heeft vier gelijke punten. Elke punt is een kwart.

Een kwart van een strook

Breng de uiteinden van een papieren strook bij elkaar en vouw de strook dubbel. Laat hem gevouwen en breng de uiteinden nog eens bij elkaar. Vouw hem helemaal open.

Je ziet drie vouwen overdwars in de strook. Tel de stukken tussen de vouwen en de uiteinden. Er zijn vier gelijke delen. Elk deel is een kwart van de lengte van de strook.

Van een trein van 8 gelijke kubussen kun je vier kortere treinen maken. Elke kortere trein heeft 2 kubussen, dus een kwart van de lange trein is 2 kubussen lang.

Tel de delen en controleer de grootte

Drie lijnen overdwars op een strook kunnen vier delen maken. Tel de delen, niet de lijnen.

Als een figuur vier gelijke delen heeft en één deel is gekleurd, is een kwart gekleurd. Bij ongelijke delen vertelt het tellen van vier stukken je niet hoe groot het gekleurde stuk is. Controleer hoeveel van het geheel het bedekt.

Om een kwart van een groepje te bepalen, maak je vier gelijke groepjes. Tel de voorwerpen in één groepje. Dat aantal is een kwart van het geheel.

Verdeel onder vier vrienden

Vier vrienden verdelen 20 knikkers. Maak vier plekken en geef elke plek om de beurt één knikker. Ga door tot alle knikkers zijn verdeeld.

Elke vriend krijgt 5 knikkers. Een kwart van 20 is 5. Controleer de vier delen:

De 4 vertelt hoeveel delen je moet maken. Hij vertelt niet hoeveel knikkers elke vriend krijgt.

Halveer en halveer nog eens

Je kunt een kwart bepalen zonder elk voorwerp apart uit te delen. Begin met 12 telfiches.

1. Bepaal de helft van 12. Twee gelijke groepjes hebben elk 6 telfiches.
2. Pak één groepje van 6. Halveer het in 3 en 3.
3. Eén van die kleinere groepjes heeft 3 telfiches. Dat is een kwart van de oorspronkelijke 12.

De andere helft van 12 kun je op dezelfde manier splitsen. Je krijgt dan in totaal vier groepjes van 3.

Deze hele groepjes kun je in kwarten verdelen:

Als je groepjes van vier maakt, kun je een ander antwoord krijgen. Met 8 aardbeien gebruik je ze allemaal als je twee groepjes van 4 maakt. Maar voor een kwart heb je vier gelijke groepjes nodig: 2 in elk groepje.

Maak het geheel vanuit een kwart

Een kwart van een zak is 3 appels. De hele zak bevat vier gelijke delen. Tel ze alle vier op:

In de hele zak zitten 12 appels. Als je maar twee delen optelt, krijg je een halve zak.

Kijk of er iets overblijft

Verdeel 10 hele kleurpotloden over vier plekken. Op elke plek komen er 2 en er blijven 2 kleurpotloden over. Als je die aan maar twee plekken geeft, worden de delen ongelijk.

Je kunt 10 halveren in 5 en 5. Maar 5 hele kleurpotloden kun je niet eerlijk halveren. Om vier gelijke delen met hele kleurpotloden te krijgen, moeten beide stappen van het halveren zonder rest lukken.

Als je een geheel in kwarten splitst, krijg je vier gelijke delen die je kunt samenvoegen. Blijf aan hetzelfde geheel denken terwijl je de delen verplaatst.

Twee kwarten vormen samen een half

Vouw een vierkant in vier gelijke kleine vierkanten. Kleur de twee vierkanten links. Samen bedekken ze de linkerhelft van het vierkant.

Er zijn twee gekleurde stukken, maar samen zijn ze zo groot als een half. Twee kwarten vormen samen een half. Je kunt ze ook twee vierde delen noemen.

Dit werkt ook bij groepjes. Een kwart van 8 schelpen is 2 schelpen. Voeg twee kwarten samen:

De helft van 8 is ook 4. De twee namen beschrijven dezelfde hoeveelheid.

Drie van de vier delen

Drie kwarten betekent drie van vier gelijke delen. Stel je een boterham voor die in kwarten is gesneden. Eet één kwart op en er blijven drie kwarten over.

Om drie kwarten van 12 telfiches te bepalen:

1. Bepaal een kwart van 12. Dat zijn 3 telfiches.
2. Pak drie van die gelijke kwarten.
3. Tel ze bij elkaar op.

Drie kwarten van 12 is 9 telfiches. Het vierde deel heeft 3 telfiches. Daarmee wordt het totaal weer 12.

Bij 8 telfiches is één kwart 2. Drie kwarten is 2 en 2 en 2, samen 6.

Wat vult de lege plek?

Een kwart en drie kwarten vullen samen een geheel. Twee kwarten en nog eens twee kwarten vullen samen ook een geheel.

Een half en een kwart vormen samen drie kwarten. Op je gevouwen vierkant kun je zien waarom. Een half bedekt twee kleine vierkanten. Nog een kwart bedekt een derde klein vierkant. Eén kwart is nog leeg.

Bij een pizza vertelt dit je beide hoeveelheden. Als jij een half eet en een vriend een kwart, zijn drie kwarten opgegeten. Er blijft één kwart over.

Tel stukken zorgvuldig. Drie gescheurde stukken kunnen allerlei groottes hebben. Als je een hoeveelheid drie kwarten wilt noemen, controleer dan of die even groot is als drie van de vier gelijke delen van het geheel.

Stel je één pannenkoek voor. Splits je die in twee gelijke delen, dan is elk deel een half. Splits je dezelfde pannenkoek in vier gelijke delen, dan is elk deel een kwart.

Elk kwart is kleiner. De pannenkoek is niet gegroeid toen je meer stukken maakte. Meer gelijke delen van hetzelfde geheel geven kleinere delen.

Vergelijk een half met kwarten

Pak twee even grote papieren vierkanten. Vouw het ene in helften. Vouw het andere in kwarten.

Leg twee kwarten op één helft. Ze bedekken die precies. Eén kwart bedekt maar de helft van die ruimte. Een half is twee keer zo groot als een kwart van hetzelfde geheel.

Het getal 4 in “vier gelijke delen” geeft het aantal stukken aan. Het betekent niet dat één kwart groter is dan een half.

Vergelijk een groepje door te tellen

Bij een groepje van 12 telfiches:

• De helft is 6 telfiches.
• Een kwart is 3 telfiches.
• Drie kwarten is 9 telfiches.
• Het geheel is 12 telfiches.

Tel van de kleinste hoeveelheid naar de grootste: 3, 6, 9, 12. Bij dit geheel staan de delen in deze volgorde:

een kwart, een half, drie kwarten, het geheel.

Kijk naar het geheel waarmee je begint

De helft van een piepklein koekje kan kleiner zijn dan een kwart van een grote pizza. De stukken komen uit gehelen van verschillende grootte.

Je kunt dit ook met groepjes controleren. De helft van 4 druiven is 2 druiven. Een kwart van 20 druiven is 5 druiven. Hier bevat het kwart meer druiven omdat het oorspronkelijke groepje veel groter is.

Als je zegt “een half is groter dan een kwart”, moet het dus om hetzelfde geheel gaan. Met twee even grote pannenkoeken of twee groepjes met hetzelfde aantal kun je de delen direct vergelijken.

Meer dan de helft of minder dan de helft

De helft van 10 kleurpotloden is 5 kleurpotloden. Vergelijk de hoeveelheid met 5.

Als je 7 van die 10 kleurpotloden hebt, heb je meer dan de helft. Zeven is meer dan 5. Als je er 4 hebt, heb je minder dan de helft. Vier is minder dan 5. Als je er precies 5 hebt, heb je de helft.

In een verhaalsom kan worden gevraagd hoeveel iemand eet, deelt, houdt of aan het begin heeft. Stel je het verhaal voor voordat je gaat rekenen.

Zoek wat er in het verhaal wordt gevraagd

Lily heeft 10 druiven en eet de helft op. Hoeveel druiven zijn er over?

1. Het geheel is 10 druiven.
2. Een half betekent twee gelijke delen. De helft van 10 is 5.
3. Lily eet één deel van 5 op. Het andere deel blijft over.
4. Ze heeft 5 druiven over. Beide delen zijn samen weer 10.

Woorden kunnen je helpen een deel te kiezen. “Doormidden snijden” en “eerlijk verdelen tussen twee” wijzen op helften. “Een vierde deel” en “eerlijk verdelen onder vier” wijzen op kwarten.

Gebruikt en overgebleven kunnen verschillen

Papa snijdt een taart in vier gelijke punten. Het gezin eet drie punten op. Hoeveel taart is er over?

Elke punt is een kwart. Het gezin eet drie kwarten op. Er blijft één kwart over. Als je “drie kwarten” antwoordt, heb je bepaald hoeveel er is opgegeten, niet hoeveel er overblijft.

Bepaal het deel van één persoon

Vier vrienden verdelen 16 kleurpotloden eerlijk. Een kwart van 16 is het deel van één vriend.

De helft van 16 is 8. De helft van 8 is 4. Elke vriend krijgt 4 kleurpotloden. Controleer alle vier de delen:

Bens trein heeft 12 wagons en de helft is rood. De helft van 12 is 6. Er zijn 6 rode wagons en 6 wagons die niet rood zijn.

Bepaal wat er aan het begin was

Mia at de helft van haar crackers op. Ze at 4 crackers. Hoeveel had ze er aan het begin?

De 4 opgegeten crackers zijn één helft. De andere helft bevat er ook 4. Voeg beide delen samen:

Ze had aan het begin 8 crackers. Het getal dat je kent, kan een deel zijn, dus kijk waar het getal bij hoort.

Bepaal waar je halverwege een pad bent

Een boom staat 10 even grote stappen verderop. Halverwege betekent op de helft van de weg. De helft van 10 is 5, dus na 5 stappen ben je halverwege.

Je moet nog 5 stappen lopen. De twee gelijke stukken vormen samen het hele pad naar de boom.

Een draai betekent ronddraaien terwijl je op dezelfde plek blijft. Draai een speelgoedauto op een tafel. De voorkant wijst een andere kant op, maar de auto rijdt niet over de tafel.

Helemaal of half rond

Zet de auto eerst met de voorkant naar een deur. Draai hem helemaal rond totdat hij weer naar de deur wijst. Dat is een hele draai, ook wel een volledige draai genoemd.

Begin weer met de voorkant naar de deur. Draai de auto maar half rond. De auto wijst nu van de deur af. Dat is een halve draai. Hij wijst uiteindelijk de andere kant op.

Je kunt dit ook met je lichaam proberen. Kijk naar de deur en draai dan tot je met je rug naar de deur staat. Je hebt een halve draai gemaakt.

Draai naar een zijkant

Een kwartdraai is één van vier gelijke delen van een hele draai. Kijk eerst naar de deur en draai dan tot je naar een zijmuur kijkt.

Je oude en nieuwe richting vormen een rechte hoek. Je kunt die hoek zien door twee vingers langs twee randen van een vel papier te leggen die bij elkaar komen.

Met een kwartdraai kom je niet helemaal tot je naar achteren kijkt. Je hebt twee kwartdraaien in dezelfde richting nodig om de andere kant op te kijken.

Kies links of rechts

Na een kwartdraai naar rechts kijk je naar rechts. Na een kwartdraai naar links kijk je naar links. Je kijkt dan verschillende kanten op.

Een halve draai naar rechts en een halve draai naar links eindigen allebei in de tegenovergestelde richting van waar je begon. Ze gaan langs verschillende kanten, maar je kijkt daarna dezelfde kant op.

Bijna helemaal rond

Maak drie kwartdraaien naar rechts, vlak na elkaar. Dat is een driekwartdraai. Je bent voorbij de helft en moet nog één kwartdraai maken voor een hele draai.

Je kunt draaien van klein naar groot op volgorde zetten:

een kwartdraai, een halve draai, een driekwartdraai, een hele draai.

Kijk hoe ver de auto ronddraait. Na een hele draai wijst hij weer dezelfde kant op als aan het begin, ook al is hij helemaal rondgedraaid.

Kleine draaien kun je samenvoegen tot een grotere draai. Let op welke kant je op draait en hoe ver.

Voeg kwartdraaien samen

Kijk naar de deur. Maak een kwartdraai naar rechts. Maak nog een kwartdraai naar rechts. Nu sta je met je rug naar de deur. Twee kwartdraaien in dezelfde richting vormen samen een halve draai.

Maak nog twee kwartdraaien naar rechts. Je kijkt weer naar de deur. Vier kwartdraaien in dezelfde richting vormen samen een hele draai. Twee halve draaien in dezelfde richting vormen ook een hele draai.

Probeer nu een andere weg. Kijk naar de deur, draai een kwart naar rechts en daarna een kwart terug naar links. De tweede draai maakt de eerste ongedaan. Je kijkt weer naar de deur, maar je bent niet helemaal rondgegaan.

Na drie kwartdraaien naar rechts kijk je dezelfde kant op als na één kwartdraai naar links. De wegen die je aflegt, zijn verschillend lang.

Volg de grote wijzer

Kijk naar een wijzerplaat. Volg de grote wijzer van 12 naar 1, dan naar 2 en dan naar 3. Hij maakt een kwartdraai.

Blijf de wijzer dezelfde kant op volgen:

• Van 12 naar 6 is een halve draai.
• Van 12 naar 9 is een driekwartdraai.
• Van 12 helemaal rond naar 12 is een hele draai.

De getallen 12, 3, 6 en 9 geven vier gelijke delen van de draai aan. Elk kwart heeft 3 ruimtes tussen opeenvolgende getallen. Een half heeft 6 van de 12 ruimtes op de klok.

Tel de ruimtes, niet alleen de getallen die je ziet. Van 12 naar 3 ga je door de ruimtes van 12 naar 1, van 1 naar 2 en van 2 naar 3.

Begin bij een ander getal

Volg de wijzer van 3 via 4 en 5 naar 6. Hij beweegt 3 ruimtes, dus dat is ook een kwartdraai. Van 6 via 7, 8, 9, 10 en 11 naar 12 is een halve draai. De grootte van de draai hangt af van hoe ver de wijzer beweegt.

De woorden voor de tijd gebruiken deze draaien. Van een heel uur naar “kwart over” gaat de grote wijzer van 12 naar 3. Van een heel uur naar “half” gaat hij van 12 naar 6.