Centrummaten en spreidingsbreedte

Een gegevensverzameling is een verzameling vastgelegde waarden. Elke waarde is een waarneming. Als twaalf leerlingen elk een aantal boeken opgeven, zijn er twaalf waarnemingen. Twee leerlingen kunnen hetzelfde antwoord geven; beide antwoorden horen bij de gegevens.

Kies gegevens voor een getallenlijn

Kwantitatieve gegevens zijn aantallen of metingen, zoals gelezen boeken of minuten die aan lezen zijn besteed. Hun plaats op een getallenlijn heeft betekenis. Kwalitatieve gegevens zijn namen, zoals favoriete sporten. Bij die namen past een staafdiagram, omdat ze geen plaats op een getallenlijn hebben.

Behoud elke waarneming

Twaalf leerlingen geven deze aantallen boeken op:

3, 5, 2, 4, 3, 6, 3, 1, 4, 3, 5, 2.

Schrijf de waarden van klein naar groot:

1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6.

De geordende rij heeft nog steeds twaalf waarden. De vier keer 3 staan voor vier verschillende leerlingen. Als je 3 maar één keer opschrijft, verlies je drie waarnemingen. De letter $n$ staat vaak voor het aantal waarnemingen; hier is $n=12$.

Maak het diagram

1. Bepaal de kleinste en grootste waarde: 1 en 6 boeken.
2. Teken een getallenlijn waarop die waarden passen. Maak elke stap even groot.
3. Zet bij de lijn “Boeken gelezen vorige maand”.
4. Teken één stip voor elke waarneming. Stapel herhaalde waarden boven hun getal.
5. Tel alle stippen om het resultaat te controleren.

De voltooide stapels bevatten:

Deze tabel geeft de stippen die je boven elk getal moet plaatsen. Stapel ze in het diagram omhoog. Gebruik even grote stippen en gelijke tussenruimtes. Het totaal is:

Dat komt overeen met de twaalf leerlingen. Een stipdiagram, ook wel stippenplot genoemd, kan kruisjes in plaats van stippen gebruiken. Elk teken geeft nog steeds één waarneming weer.

Laat ruimte voor ontbrekende waarden

Stel dat een andere lijst 4, 5, 9 en 10 bevat. Een schaalverdeling met stappen van 1 moet ook 6, 7 en 8 bevatten, zelfs als daar geen stippen staan. Als je direct van 5 naar 9 springt, verberg je het hiaat. Gelijke afstanden op de getallenlijn moeten gelijke veranderingen in waarde weergeven.

Een nuttige laatste controle is de gegevens terug te lezen. Eén stip boven 1 geeft één keer 1; twee stippen boven 2 geven twee keer 2. Als je elke stapel leest, moet je de volledige geordende rij terugvinden.

Een stipdiagram laat zowel de vastgelegde waarden zien als hoe vaak ze voorkomen. Het getal onder een stapel geeft de waarde. Het aantal stippen geeft de frequentie, dus hoe vaak die waarde voorkomt.

Lees waarden en aantallen apart af

In het boekendiagram staan vier stippen boven 3. Dat betekent dat vier leerlingen elk drie boeken lazen. De hoogte is een aantal leerlingen; de positie is een aantal boeken. Om het aantal leerlingen in de hele groep te bepalen, tel je elke stip, ook de stippen in lagere stapels.

Woorden als “meer dan” en “minstens” veranderen het aantal:

• “Meer dan 4 boeken” omvat 5 en 6 boeken: $2+1=3$ leerlingen.
• “Minstens 4 boeken” omvat 4, 5 en 6 boeken: $2+2+1=5$ leerlingen.

Tel de grenswaarde mee als de vraag die insluit.

Benoem wat je ziet

Een cluster is een groep waarden die dicht bij elkaar liggen. Een piek is een hoogste stapel. Een hiaat is een leeg gedeelte tussen vastgelegde waarden. De spreiding beschrijft hoe ver de waarden uiteenlopen.

In het boekendiagram liggen de meeste waarnemingen tussen 2 en 5 boeken. De piek ligt bij 3 boeken. Het kleinste aantal is 1 boek en het grootste is 6. Bij elke positie met een geheel getal daartussen staan stippen, dus er is geen hiaat.

Een uitschieter ligt ver van de rest. Bekijk deze reistijden in minuten:

6, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15, 40.

Tien tijden liggen tussen 6 en 15 minuten. De tijd van 40 minuten staat apart, met een groot hiaat ertussen. Het is een uitschieter. Controleer de vastgelegde waarde: het kan een typefout zijn of een echte reis van verder weg. De afstand tot de andere waarden is een reden om de waarde te onderzoeken, niet om die te wissen.

Beschrijf de hele vorm

Een symmetrisch diagram heeft kanten die ongeveer elkaars spiegelbeeld zijn. Een scheef diagram loopt aan één kant uit in een langere staart. Noem de scheefheid naar die staart:

• Een staart naar grotere waarden betekent rechtsscheef.
• Een staart naar kleinere waarden betekent linksscheef.

De reistijden hebben een hoofdgroep rond 10 minuten en één waarde ver weg bij 40. Die waarde trekt het hele patroon naar rechts. Het diagram is rechtsscheef, ook al staan de meeste stippen aan de linkerkant.

Gebruik getallen en de situatie in een beschrijving. Bijvoorbeeld: “De meeste reizen duurden 6 tot 15 minuten. De tijd die het vaakst voorkwam, was 10 minuten. Eén reis duurde 40 minuten, ver buiten de hoofdgroep.” Dit zegt meer dan “De stippen staan grotendeels bij elkaar.”

De modus is de waarde die het vaakst voorkomt. Die kan een winkel helpen bepalen welke maat op voorraad moet komen of laten zien wat de populairste lunchkeuze is. De modus, mediaan en het gemiddelde heten centrummaten, of maten voor het centrum. Elk vat de gegevens op een andere manier samen.

Tel de herhalingen

In één uur werden schoenen verkocht in de maten:

6, 9, 7, 5, 7, 8, 6, 7.

In een geordende rij kun je de herhalingen gemakkelijk tellen:

5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9.

Maat 7 komt drie keer voor. Elke andere maat komt minder vaak voor, dus de modus is maat 7. Het getal 3 is de frequentie. Geef de maat zelf als naar de modus wordt gevraagd.

Je kunt elke maat ook turven. Je zet dan één streepje per verkoop en houdt herhaalde maten bij elkaar. De maat met de meeste turfstreepjes is de modus. Lees in een stipdiagram het getal onder de hoogste stapel af.

Twee modi of geen modus

In de lijst 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6 komen zowel 3 als 5 twee keer voor. Geen van beide komt vaker voor dan de andere en geen enkele waarde komt vaker voor. De modi zijn 3 en 5. Een gegevensverzameling met twee modi is bimodaal. Behoud beide modi; als je hun gemiddelde neemt, beantwoord je een andere vraag.

In 4, 7, 9, 12 komt elke waarde één keer voor. Er is geen modus. Schrijf die woorden op. Als je 0 schrijft, beweer je dat nul de waarde is die het vaakst voorkomt, terwijl nul ontbreekt.

Categorieën hebben ook modi

Een klas kiest favoriete fruitsoorten:

Appel heeft het hoogste aantal, dus appel is de modus, of modale categorie. Het antwoord is de naam van de fruitsoort; 8 is het aantal leerlingen dat die kiest. Fruitnamen hebben geen numeriek totaal of middelste positie, dus het gemiddelde en de mediaan beschrijven deze keuzes niet.

Vaak voorkomend betekent niet altijd centraal

Bekijk 1, 1, 8, 9, 10. De modus is 1 omdat die twee keer voorkomt. Toch zijn drie van de vijf waarden 8 of meer. Als je een representatieve waarde dicht bij het midden zoekt, is de modus hier geen goede aanwijzing. Hij beantwoordt nog steeds correct de vraag “Welke waarde komt het vaakst voor?” Het doel van de vraag is belangrijk als je een centrummaat kiest.

De mediaan is de middelste waarde van gegevens die van klein naar groot zijn gezet. Zet elke waarneming op volgorde voordat je het midden zoekt. Herhalingen en nullen behouden elk hun eigen plaats.

Een oneven aantal waarden

De scores 12, 15, 9, 20, 15, 11, 18 worden:

9, 11, 12, 15, 15, 18, 20.

Er zijn zeven scores. Drie staan vóór de vierde score en drie erna. De mediaan is 15. Het midden van de oorspronkelijke, ongeordende lijst was 20. Dat laat zien waarom je eerst ordent.

Eén manier om het midden te vinden is steeds de kleinste en grootste overgebleven waarde samen weg te strepen. Ga door tot er één waarde overblijft. Bij zeven waarden streep je drie paren weg, zodat de vierde waarde overblijft.

Een even aantal waarden

Zes waarden hebben twee middelste posities. In 3, 5, 8, 10, 12, 14 zijn dat de derde en vierde positie. De waarden zijn 8 en 10. Bepaal het getal precies ertussenin:

De mediaan kan ontbreken in de oorspronkelijke lijst. Bij 4, 6, 7, 9 zijn de middelste waarden 6 en 7. Hun gemiddelde is 6,5, dus de mediaan kan ook een decimaal getal zijn.

Posities zijn geen waarden

Voor een geordende rij met $n$ waarnemingen is de middelste positie:

Voor zeven waarnemingen geeft dit positie 4. Lees de waarde op die positie af om de mediaan te krijgen. Voor twintig waarnemingen geeft dit 10,5: halverwege positie 10 en 11. Zoek die twee waarden en neem hun gemiddelde. Het positienummer 10,5 is niet zelf de mediaan.

Herhaalde waarden nemen nog steeds afzonderlijke posities in. In 0, 0, 2, 3, 7 is de mediaan 2. Als je één nul verwijdert, veranderen de lijst en het midden ervan.

Stippen en decimale getallen

Stippen op een getallenlijn staan al op volgorde van waarde. Tel afzonderlijke stippen vanaf links, ook elke stip in een stapel. In het boekendiagram van de twaalf leerlingen vallen positie 6 en 7 allebei boven 3. De mediaan is 3 boeken.

Zet looptijden van 12,4; 11,8; 13,1 en 12,0 seconden eerst op volgorde:

11,8; 12,0; 12,4; 13,1.

De twee middelste tijden geven:

De mediaan is 12,2 seconden. De eenheid blijft dezelfde als die van elke vastgelegde tijd.

De spreidingsbreedte geeft aan hoe ver een reeks getallen uiteenloopt. Het is een spreidingsmaat. Bepaal de grootste waargenomen waarde en trek de kleinste ervan af:

Bepaal de uiteinden van de gegevens

De dagelijkse maximumtemperaturen waren 22, 19, 26, 24 en 20 °C. De laagste was 19 °C en de hoogste was 26 °C:

De spreidingsbreedte is 7 °C. Met “19 tot 26 °C” geef je de eindpunten. De spreidingsbreedte is het ene getal dat hun verschil meet.

De eerste en laatste waarde van een ongeordende lijst kunnen overal in de gegevens liggen. Hier zijn dat 22 en 20. Als je die van elkaar aftrekt, mis je beide uiterste waarden. Door de lijst op volgorde te zetten, vind je gemakkelijker de werkelijk kleinste en grootste waarde.

Een spreidingsbreedte kan niet negatief zijn: de grootste waarde is minstens zo groot als de kleinste. Als elke uitkomst 7 punten is, is de spreidingsbreedte nul. Alle uitkomsten vallen samen.

Lees waargenomen waarden af in een stipdiagram

Gebruik de meest linkse en meest rechtse stip, niet de getekende uiteinden van de schaalverdeling. Een getallenlijn kan van 0 tot 10 lopen terwijl de stippen van 1 tot en met 6 staan. De spreidingsbreedte is:

De lege posities buiten de stippen voegen geen waarnemingen toe. Hiaten binnen de gegevens blijven deel van de afstand tussen de uiterste waarden.

Leg een kleine of grote spreidingsbreedte uit

De scores van een speler liggen tussen 12 en 18 punten. Die van een andere speler liggen tussen 6 en 23 punten. Hun spreidingsbreedten zijn 6 en 17 punten. De scores van de eerste speler liggen dichter bij elkaar en zijn dus regelmatiger over die wedstrijden.

Een grote spreidingsbreedte beschrijft een grote spreiding. Het betekent niet dat de scores zelf hoog zijn. Twee verzamelingen kunnen vergelijkbare gemiddelden hebben terwijl de ene veel meer spreiding heeft.

Let op een uitschieter

De reistijden 6, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15 en 40 minuten hebben een spreidingsbreedte van:

Zonder de tijd van 40 minuten zou de spreidingsbreedte zijn:

Eén waarde ver van de rest verandert de spreidingsbreedte sterk, omdat de regel alleen de twee uiterste waarden gebruikt. Als je een waarde binnen de bestaande eindpunten verplaatst, blijft de spreidingsbreedte gelijk.

Het gemiddelde is het totaal van alle waarden gedeeld door het aantal waarden. In het dagelijks taalgebruik betekent “het gemiddelde” meestal dit rekenkundig gemiddelde.

Verdeel zonder het totaal te veranderen

Vier vrienden hebben 3, 5, 6 en 10 stickers. Hun totaal is:

Als ze de stickers bij elkaar leggen en gelijk verdelen, krijgt ieder:

Hun gemiddelde is 6 stickers. Slechts één vriend begon met zes stickers, maar het gemiddelde beschrijft wat ieder na een gelijke verdeling zou hebben.

Je kunt dit voorstellen door torens van kubussen gelijk te maken. Torens van 2, 7 en 3 kubussen bevatten samen twaalf kubussen. Verplaats twee kubussen van de hoogste toren naar de eerste toren. Verplaats er nog één naar de derde toren. Elke toren heeft nu vier kubussen. Er is niets bijgekomen of verdwenen; het gemiddelde is vier kubussen.

Bepaal het evenwichtspunt

Het gemiddelde brengt ook afstanden op een getallenlijn in evenwicht. Vergelijk bij de aantallen stickers elke waarde met 6:

De afstanden eronder zijn samen 4, evenveel als de afstand erboven. Het gemiddelde is een evenwichtspunt. Waarden die verder weg liggen, trekken sterker, net zoals een gewicht verder van het midden van een wip sterker trekt.

Controleer wat het gemiddelde kan zijn

Het gemiddelde ligt tussen de kleinste en grootste waarde, waarbij het ook gelijk aan een van beide kan zijn. Een gemiddelde van 12 voor 3, 5, 6 en 10 stickers zou niet aan die controle voldoen. Als je gelijk verdeelt, kun je niet iedereen meer geven dan de grootste beginhoeveelheid.

Het gemiddelde hoeft niet in de gegevens voor te komen. Gezinnen met 1, 2, 3 en 4 kinderen hebben samen tien kinderen. Het gemiddelde is 2,5 kinderen per gezin. Dat beschrijft het totaal van de groep verdeeld over vier gezinnen. Het beschrijft geen deel van een echt kind.

Waarnemingen met waarde nul tellen ook mee. Drie leerlingen scoren 0, 4 en 5 doelpunten. Het totaal is negen doelpunten, verdeeld over drie leerlingen, dus het gemiddelde is drie doelpunten. Als je door twee deelt, laat je de leerling zonder doelpunten weg.

Drie centrummaten kunnen verschillende antwoorden geven

Bij 2, 3, 3, 4, 8 is het totaal 20 en het gemiddelde 4. De mediaan is 3 en de modus is ook 3. Het gemiddelde verdeelt het totaal; de mediaan bepaalt het midden van de geordende rij; de modus bepaalt de waarde die het vaakst voorkomt. Je kunt verschillende antwoorden krijgen terwijl je alle drie correct berekent.

Om een gemiddelde te berekenen, tel je elke waarde op, tel je de waarnemingen en deel je. Bij de toetsscores 7, 9, 6, 10 en 8 is het totaal 40 punten. Vijf scores geven een gemiddelde van 8 punten. Controleer of de uitkomst tussen 6 en 10 ligt.

Decimale getallen en invoer op de rekenmachine

Vijf dagelijkse metingen van de neerslag zijn 1,2; 0,8; 0; 2,5 en 1,5 mm. Het totaal is 6 mm, dus het gemiddelde is 1,2 mm per dag. De droge dag draagt nul bij aan het totaal en één aan het aantal.

Bij 5, 8, 6, 9, 7, 4, 8 is het totaal 47. Het gemiddelde is:

Rond alleen het eindresultaat af. Op één decimaal is het gemiddelde 6,7. Volg de nauwkeurigheid die een vraag verlangt; gebruik anders één decimaal als afronden nodig is.

Een rekenmachine moet de hele som delen. Bepaal de som en druk op het isgelijkteken voordat je deelt, of voer in:

Zonder haakjes wordt bij een invoer als $5+8+6+9+7+4+8÷7$ alleen de laatste 8 gedeeld. Delen gaat vóór optellen, wat ongeveer 40,1 geeft. Dat ligt boven elke oorspronkelijke waarde en kan dus niet het gemiddelde ervan zijn.

Zet in een spreadsheet één waarneming in elke cel. Gebruik voor de cellen A1 tot en met A7 =AVERAGE(A1:A7) voor het gemiddelde, =MEDIAN(A1:A7) voor de mediaan en =MAX(A1:A7)-MIN(A1:A7) voor de spreidingsbreedte.

Reken terug naar het totaal

Als je de deling omkeert, krijg je:

Vijf toetsscores met een gemiddelde van 82 punten moeten samen zijn:

Gebruik het aantal dat bij het gemiddelde hoort.

Bepaal een ontbrekende waarde

Vijf getallen hebben een gemiddelde van 8. Vier ervan zijn 6, 9, 10 en 11.

1. Het benodigde totaal is $8\times 5=40$.
2. Het bekende totaal is $6+9+10+11=36$.
3. De ontbrekende waarde is $40-36=4$.

Controleer door alle vijf getallen op te tellen en door vijf te delen.

Bereik een gewenst gemiddelde

Maya's eerste vier toetsscores hebben een gemiddelde van 80. Ze wil na vijf toetsen een gemiddelde van 82. Het oude en het gewenste gemiddelde horen bij verschillende aantallen:

• Eerste vier toetsen: $80\times 4=320$ punten.
• Alle vijf toetsen: $82\times 5=410$ punten.
• Benodigde vijfde score: $410-320=90$ punten.

Een score van 82 op de laatste toets zou het lagere eerdere gemiddelde niet ongedaan maken.

Voeg groepen van verschillende grootte samen

Een klas heeft 20 leerlingen met een gemiddelde score van 15. Een andere heeft 10 leerlingen met een gemiddelde score van 18. Bereken elk totaal:

Samen hebben ze 480 punten verdeeld over 30 leerlingen:

Het gezamenlijke gemiddelde is 16 punten. Het gemiddelde van 15 en 18 is 16,5, maar dan behandel je de twee klassen alsof ze even groot zijn. De grotere klas bevat meer scores en draagt dus meer bij aan het totaal.

Een frequentietabel koppelt elke waarde aan het aantal keren dat die voorkomt. De waarde vertelt wat er bij één waarneming gebeurde. De frequentie vertelt hoeveel waarnemingen die uitkomst hadden.

Lees elke rij als een zin

Een voetbalteam houdt zijn doelpunten in twintig wedstrijden bij:

Lees de eerste rij als “In vier wedstrijden vielen nul doelpunten”. Lees de rij voor 2 als “In vijf wedstrijden vielen elk twee doelpunten”. De frequentie 5 telt wedstrijden. Het is geen score van vijf doelpunten.

Je kunt de tabel uitschrijven als een lijst: vier keer 0, zeven keer 1, vijf keer 2, drie keer 3 en één keer 4. Een stipdiagram zou stapels met dezelfde hoogten laten zien. Elke weergave bevat dezelfde waarnemingen.

Tel de waarnemingen

Tel de frequenties op om het aantal wedstrijden te bepalen:

De totale frequentie heet vaak $n$. Turfstreepjes kunnen helpen deze frequenties te verzamelen: zet voor elke wedstrijd een streepje in de bijbehorende doelpuntenrij en tel daarna de streepjes.

Als je de doelpuntaantallen optelt, krijg je $0+1+2+3+4=10$. Die som geeft niet het aantal wedstrijden en ook niet het totale aantal doelpunten van het team. Een waarde in de tabel moet zo vaak worden herhaald als de frequentie aangeeft.

Bepaal de modus

De hoogste frequentie is 7. Die hoort bij 1 doelpunt, dus de modus is 1 doelpunt. De tabel laat zien dat een wedstrijd met één doelpunt vaker voorkwam dan elke andere uitkomst. Als je 7 geeft, noem je het aantal van die wedstrijden in plaats van hun score.

Voor categorieën werkt het aflezen hetzelfde. Zoek in een tabel met favoriete fruitsoorten de grootste frequentie en geef de bijbehorende fruitnaam als modus. Categorieën zoals appel en banaan hebben geen numerieke spreidingsbreedte.

Bepaal de spreidingsbreedte

Het kleinste waargenomen aantal doelpunten is 0. Het grootste is 4:

De spreidingsbreedte is 4 doelpunten. Trek de waargenomen aantallen doelpunten van elkaar af, niet de frequenties van hun rijen.

Stel dat er nog een rij is met 5 doelpunten en frequentie 0. Die geeft geen wedstrijden met vijf doelpunten weer. De grootste waargenomen score blijft 4, dus de spreidingsbreedte blijft 4 doelpunten. Een waarde in de tabel wordt pas onderdeel van de gegevens als de frequentie groter is dan nul.

De mediaan van een tabel is het midden van alle waarnemingen erin. Rijen kunnen verschillende aantallen waarnemingen bevatten. Om het midden te vinden, zet je de waarden op volgorde en houd je bij welke posities elke rij vult.

Tel de frequenties steeds op

Bij een doorlopend totaal, ook wel cumulatieve frequentie genoemd, tel je elke frequentie op bij de frequenties erboven. Voor de voetbaltabel:

De eerste vier waarden van de volledige lijst zijn 0. Als je de zeven wedstrijden met één doelpunt erbij telt, komt het aantal op 11. Die waarden 1 vullen positie 5 tot en met 11. Elk doorlopend totaal geeft de laatste positie die door die rij wordt gevuld.

Bepaal beide middelste posities

Twintig wedstrijden geven een even aantal. Het midden ligt tussen positie 10 en 11. Beide liggen in de rij met één doelpunt, dus beide middelste waarden zijn 1. De mediaan is 1 doelpunt.

De formule $\frac{n+1}{2}$ geeft hier positie 10,5. Die wijst halverwege de twee posities. Ze zegt niet dat de mediane score van het team 10,5 doelpunten is.

Een oneven totaal

Een andere tabel geeft het aantal personen per auto:

Er zijn 25 auto's, dus het midden is positie 13. De eerste rij eindigt bij positie 9. De volgende rij vult positie 10 tot en met 17, dus ook 13. De mediaan is 2 personen per auto.

Een middelste paar kan over rijen verdeeld zijn

Zestien leerlingen geven het aantal gelezen boeken op: 1 boek voor 3 leerlingen, 2 voor 5 leerlingen, 3 voor 4 leerlingen en 4 voor 4 leerlingen. De doorlopende totalen zijn 3, 8, 12 en 16.

De middelste posities zijn 8 en 9. Positie 8 is de laatste 2; positie 9 is de eerste 3. Hun gemiddelde geeft:

Er zijn vier rijen, maar je vindt de mediaan niet door alleen het midden van die rijwaarden te nemen. Elke waarde staat voor meerdere leerlingen. Schrijf een kleine tabel uit als een volledige geordende rij om te controleren of je dezelfde middelste waarden vindt.

Het gemiddelde verdeelt het totaal altijd over de waarnemingen. In een frequentietabel bereken je met vermenigvuldigen het totaal dat de kortere weergave verbergt.

Vermenigvuldig binnen elke rij

Vijf wedstrijden met elk twee doelpunten dragen tien doelpunten bij. De berekening voor de rij is:

Vermenigvuldig elke waarde met de bijbehorende frequentie. Voeg een productkolom toe aan de voetbaltabel:

De laatste kolom telt doelpunten. De frequentiekolom telt wedstrijden. Het team scoorde dertig doelpunten in twintig wedstrijden, wat geeft:

Het gemiddelde is 1,5 doelpunt per wedstrijd. Geen enkele wedstrijd heeft een half doelpunt. Dit is het totaal van het team gelijk verdeeld over alle wedstrijden.

Gebruik de juiste noemer

De regel is:

Sommige boeken schrijven $\frac{\mathrm{\Sigma }fx}{\mathrm{\Sigma }f}$. Hier is $x$ een waarde, $f$ de bijbehorende frequentie en betekent $\mathrm{\Sigma }$ “tel alles op”. De teller telt de producten op; de noemer telt de frequenties op.

Als je dertig deelt door vijf rijen, krijg je zes. Dat kan niet het gemiddelde zijn, omdat de scores alleen van nul tot vier lopen. Als je alleen het gemiddelde van de waardenkolom neemt, gaat het ook fout: dan behandel je elke score alsof die even vaak voorkomt, terwijl wedstrijden met één doelpunt zeven keer voorkwamen en wedstrijden met vier doelpunten maar één keer.

Een waarde nul heeft nog steeds een frequentie. De vier wedstrijden zonder doelpunten voegen nul doelpunten toe, maar blijven vier van de twintig wedstrijden.

Probeer een andere eenheid

Bij auto's met 1 persoon in 9 auto's, 2 personen in 8 auto's, 3 personen in 5 auto's en 4 personen in 3 auto's tellen de producten personen:

Er zijn 25 auto's. Het gemiddelde is:

Dat is 2,08 personen per auto, tussen het kleinste en grootste aantal.

De voetbaltabel geeft nu alle vier de samenvattingen: modus 1 doelpunt, mediaan 1 doelpunt, gemiddelde 1,5 doelpunt per wedstrijd en spreidingsbreedte 4 doelpunten. De enkele hogere scores verhogen het gemiddelde tot boven de mediaan. De methode verandert met de maat, ook al blijven de gegevens gelijk.

Het gemiddelde gebruikt de grootte van elke waarde. De mediaan gebruikt de middelste posities. De modus gebruikt aantallen en de spreidingsbreedte gebruikt de twee uiterste waarden. Deze verschillende regels verklaren waarom een verandering in de gegevens elke maat anders beïnvloedt.

Volg één uitschieter

De reistijden 6, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15 en 40 minuten bevatten één ongebruikelijk lange reis. Vergelijk de samenvattingen met en zonder die tijd van 40 minuten:

Het volledige totaal is 145 minuten. Zonder 40 is het 105. Zowel het totaal als het aantal verandert als je een waarde verwijdert:

De lange tijd trekt het gemiddelde omhoog. Het midden blijft op 10 en 10 blijft het vaakst voorkomen. De spreidingsbreedte verandert sterk omdat de grootste waarde verandert. Als je een waarneming verwijdert, kan de mediaan in andere lijsten verschuiven; controleer de nieuwe middelste posities.

Controleer ongebruikelijke registraties

Een uitschieter kan echt zijn. Een leerling kan veel verder van school wonen. Behoud een echte waarneming en leg het effect ervan uit. Als er 400 staat terwijl de werkelijke tijd 40 was, verbeter je de fout. Als de juiste waarde niet meer te achterhalen is, verwijder je de foutieve registratie en vermeld je waarom. Als je een echte uitkomst verwijdert alleen omdat die het gemiddelde verandert, geeft dat een misleidend beeld.

Voeg één waarde toe of verwijder er één

Vergelijk een nieuwe waarde met het huidige gemiddelde:

• Boven het gemiddelde: als je die toevoegt, stijgt het gemiddelde.
• Onder het gemiddelde: als je die toevoegt, daalt het gemiddelde.
• Gelijk aan het gemiddelde: als je die toevoegt, blijft het gemiddelde gelijk.

De toetsscores 7, 9, 6, 10, 8 hebben een gemiddelde van 8. Als je nog een 8 toevoegt, krijg je 48 punten over zes scores, nog steeds gemiddeld 8. Als je in plaats daarvan 14 toevoegt, krijg je 54 punten over zes scores, gemiddeld 9.

Verwijderen keert de richting om. Als je een waarde boven het gemiddelde verwijdert, daalt het gemiddelde van de overgebleven gegevens. Als je een waarde onder het gemiddelde verwijdert, stijgt het.

Verander elke waarde tegelijk

Als elke toetsscore twee punten stijgt, stijgt elke centrummaat twee punten. De kleinste en grootste score stijgen ook allebei met twee, dus hun verschil blijft gelijk:

De spreidingsbreedte blijft 4 punten.

Verbind centrummaten met de vorm

Een lange staart naar rechts trekt het gemiddelde meestal boven de mediaan. Een lange staart naar links trekt het er meestal onder. Bij ongeveer symmetrische gegevens liggen de twee dicht bij elkaar. Een groot verschil is een reden om in het diagram naar een staart of een uitschieter te zoeken.

Een centrummaat moet helpen een vraag over de gegevens te beantwoorden. Vraag je eerst af wat je nodig hebt: de uitkomst die het vaakst voorkomt, een representatieve middelste waarde of een gelijk deel van het totaal.

Kies op basis van het doel

Bij favoriete lunchkeuzes geeft de modus de populairste categorie aan. Namen van broodjes optellen of hun numerieke midden bepalen heeft geen betekenis.

Een winkel die kiest welke schoenmaat wordt besteld, heeft ook de maat nodig die het vaakst voorkomt. Een gemiddelde maat zoals 6,875 geeft niet aan welke maat het vaakst is verkocht. Ook bij deze kwantitatieve gegevens heb je de modus nodig, omdat het doel is een populaire maat op voorraad te nemen.

Gebruik de mediaan voor een ongelijk verdeelde groep

Zeven kinderen krijgen dit wekelijkse zakgeld:

€ 5, € 5, € 6, € 8, € 10, € 10, € 45.

Het totaal is 89 euro. Het gemiddelde is ongeveer € 12,71, meer dan zes van de zeven kinderen krijgen. Het hoge zakgeld trekt het gemiddelde omhoog. De mediaan is € 8, hier een bruikbaardere beschrijving van het zakgeld van een doorsnee kind.

De modi zijn € 5 en € 10. Beide komen vaak voor, maar geen van beide geeft het midden van de geordende rij. Een duidelijke reden om de mediaan te kiezen is: “Het zakgeld van € 45 is een uitschieter, dus de mediaan van € 8 beschrijft het doorsnee zakgeld beter.”

De mediaan is ook bruikbaar voor doorsnee huizenprijzen of inkomens als enkele zeer grote bedragen de gegevens naar boven uitrekken. Als je “gemiddelde” leest, controleer dan welke centrummaat de schrijver bedoelt.

Gebruik het gemiddelde als het totaal ertoe doet

Voor de redelijk evenwichtige toetsscores 7, 9, 6, 10, 8 geeft het gemiddelde van 8 een bruikbare samenvatting met alle vijf scores. De mediaan werkt ook. Als de opdracht is kosten gelijk te verdelen, geeft het gemiddelde direct het aandeel van elke persoon, omdat alle aandelen samen weer het totaal moeten vormen.

Gebruik deze volgorde om een keuze te maken:

1. Gebruik voor categorieën zonder volgorde de modus.
2. Bekijk voor een representatieve getalswaarde de vorm en de uitschieters. Bij een uitschieter of lange staart heeft de mediaan de voorkeur.
3. Bij redelijk symmetrische kwantitatieve gegevens zonder uitschieters is het gemiddelde meestal bruikbaar.
4. Controleer het doel. Een vraag over gelijk verdelen heeft nog steeds het gemiddelde nodig; een vraag over de maat die het vaakst voorkomt heeft de modus nodig.

Een reden moet een kenmerk van deze gegevens of dit doel noemen. “De mediaan is het best” laat die redenering onuitgelegd.

Een centrummaat beschrijft het centrum van een groep. De spreidingsbreedte beschrijft de spreiding. Als je beide vergelijkt, zie je hoe hoog of laag uitkomsten zijn en hoe dicht ze bij elkaar liggen.

Bereken dezelfde maten

Ana's scores in zes wedstrijden zijn 12, 14, 15, 15, 16 en 18 punten. Die van Ben zijn 6, 10, 15, 20, 22 en 23 punten.

Deel bij Ana 90 door zes wedstrijden om 15 te krijgen. Trek 12 af van 18 om 6 te krijgen. Bens overeenkomstige berekeningen geven 16 en 17.

Vergelijk een gemiddelde met een gemiddelde of een mediaan met een mediaan. Als je Ana's gemiddelde met Bens mediaan vergelijkt, vergelijk je twee verschillende soorten samenvattingen.

Vertel wat de getallen betekenen

“Ben scoorde gemiddeld meer punten per wedstrijd: zijn gemiddelde was 16 punten, tegenover 15 voor Ana. Ana's scores waren regelmatiger: haar spreidingsbreedte was 6 punten, tegenover 17 voor Ben.”

Elke zin bevat beide resultaten en hun betekenis. Bij alleen een tabel met getallen moet de lezer de vergelijking zelf maken.

Bens grotere spreidingsbreedte betekent een grotere spreiding. Het betekent niet dat hij meer punten scoorde; zijn gemiddelde geeft die afzonderlijke informatie. Een algemene bewering zoals “Ben is beter” heeft een doel nodig. Ben heeft in deze wedstrijden het hogere gemiddelde aantal punten. Ana is volgens de spreidingsbreedte regelmatiger. Zes wedstrijden geven ook beperkt bewijs over latere prestaties.

Bepaal wat hoger betekent

Hoger is meestal beter bij gescoorde punten. Lager is beter bij wedstrijdtijden of aantallen fouten. Een zwemmer met een gemiddelde tijd van 31,2 seconden is gemiddeld sneller dan iemand met een gemiddelde tijd van 32,5 seconden. Houd de eenheid en betekenis bij elkaar voordat je een resultaat beoordeelt.

Vergelijk groepen van verschillende grootte

Een team scoort 60 punten in vijf wedstrijden. Een ander scoort 66 punten in zes wedstrijden. Hun gemiddelden zijn:

Het eerste team scoort gemiddeld meer per wedstrijd, ondanks het kleinere totaal. Bij alleen totalen haal je de prestatie en het aantal gespeelde wedstrijden door elkaar.

Vergelijk stipdiagrammen eerlijk

Teken beide diagrammen met dezelfde schaalverdeling. Een groep verder naar rechts heeft grotere waarden; een bredere groep heeft meer spreiding. Koppel dat beeld aan het berekende gemiddelde en de spreidingsbreedte. Als de schaalverdelingen verschillen, vergelijk dan zorgvuldig de aangegeven waarden: alleen de breedte op de pagina kan misleidend zijn.